海伦公式

海伦公式 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得:S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长:p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 。 编辑本段证明过程 证明(1) 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√ [1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明(2) 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除,所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以q=1/4{a^2*c^2-[(a ^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 当P=1时,△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得△^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得:S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)代入解得s=8√ 3 证明(3) 在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心,r 为其内切圆半径,p为其半周长有tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ∴ S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 证明(4) 通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1) 编辑本段推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:设△ABC 中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c)/2,则S△ABC =1/2 aha =1/2 ab×sinC = r p = 2R^2sinAsinBsinC = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中,S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:设△abc中,a、b、c分别为角a、b、c的对边,ha为a 边上的高,r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则s △abc = aha= ab×sinc = r p = 2r2sinasinbsinc = = 其中,s△abc = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的变形s= = ①= ②= ③= ④= ⑤二、海伦公式的证明证一勾股定理 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 :先从三角形最基本的计算公式s△abc = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。证明:如图ha⊥bc,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴s△abc = aha= a×= 此时s△abc为变形④,故得证。证二:斯氏定理分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△abc边bc上任取一点d,若bd=u,dc=v,ad=t.则t 2 = 证明:由证一可知,u = v = ∴ha 2 = t 2 = -∴s△abc = aha = a ×= 此时为s△abc的变形⑤,故得证。证三:余弦定理分析:由变形②s = 可知,运用余弦定理c2 = a2 + b2 -2abcosc 对其进行证明。证明:要证明s = 则要证s = = = ab×sinc 此时s = ab×sinc为三角形计算公式,故得证。证四:恒等式分析:考虑运用s△abc =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式:若∠a+∠b+∠c =180○那么tg ·tg + tg ·tg + tg ·tg = 1 证明:如图,tg = ①tg = ②tg = ③根据恒等式,得:+ + = ①②③代入,得:∴r2(x+y+z) = xyz ④如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z = 代入④,得:r 2 ·= 两边同乘以,得:r 2 ·= 两边开方,得:r ·= 左边r ·= r·p= s△abc 右边为海伦公式变形①,故得证。证五:半角定理半角定理:tg = tg = tg = 证明:根据tg = = ∴r = ×y ①同理r = ×z ②r = ×x ③①×②×③,得:r3 = ×xyz 编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的证明 证一:勾股定理如右图勾股定理证明海伦公式 。证二:斯氏定理如右图。证三:余弦定理斯氏定理证明海伦公式 分析:由变形②S = 可知,运用余弦定理c^2 = a^2 + b^2 -2abcosC 对其进行证明。证明:要证明S = 则要证S = ab×sinC 此时S = (ab ×sinC)/2为三角形计算公式,故得证。证四:恒等式恒等式证明(1) 恒等式证明(2) 证五:半角定理∵由证一,x = = -c = p-c y = = -a = p-a z = = -b = p-b ∴r3 = ∴r = ∴S△ABC = r·p = 故得证。二、海伦公式的推广 由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。证明:如图,延长DA,CB交于点E。设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180°∠2+∠3 =180°∴∠1 =∠3 ∴△EAB≌△ECD ∴= = = 解得:e = ① f = ②由于S四边形ABCD = S△EAB 将①,②跟b = 代入公式变形④,得到:∴S四边形ABCD = 所以,海伦公式的推广得 证。 编辑本段例题: C语言版:如图四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求:四边形可能为等腰梯形。解:设BC = x 由海伦公式的推广,得:(4-x)(2+x)2 =27 x4-12x2-16x+27 = 0 x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1) = 0 (x-1)(x3+x2-11x-27) = 0 x = 1或x3+x2-11x-27 = 0 当x = 1时,AD = BC = 1 ∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox("请输入三角形第一边的长度") b=inputbox("请输入三角形第二边的长度") c=inputbox("请输入三角形第三边的长度") a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*q msgbox("三角形面积为"&s), ,"三角形面积" 在VC中实现#include #include main() int a,b,c,s; printf("输入第一边\n"); scanf("%d",&a); printf("输入第二边\n"); scanf("%d",&b); printf("输入第三边\n"); scanf("%d",&c); s=(a+b+c)/2; printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))); C#版:using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args) double a, b, c, p, s; Console.WriteLine("输入第一条边的长度:\n"); a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("输入第二条边的长度:\n"); b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("输入第三条边的长度:\n"); c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); p =(a+b+c)/2; s = Math.Sqrt(p*(p - a)*(p - b)*(p - c)); Console.WriteLine("我算出来的面积是{0}", s); Console.Read(); SB 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。假设在平面内,有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长:p=(a+b+c)/2 ——————————————————————————————————————————————注1:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。——————————————————————————————————————————————由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。 编辑本段证明过程 证明 (1) 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab S=1/2*ab*sinC =1/2*ab*√(1-cos^2 C) =1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 设p=(a+b+c)/2 则p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角形ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 证明(2) 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”。秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到中斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数,小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除, 所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。所谓“实”、“隅”指的是,在方程px 2=q,p为“隅”,q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 当P=1时,△2=q, △=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} 因式分解得△^2=1/16[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2)^2] =1/16[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) =1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) =1/16 [2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)] =p(p-a)(p-b)(p-c) 由此可得:S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a+b+c) 这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。S=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2)/2 ]^2} .其中c>b>a. 根据海伦公式,我们可以将其继续推广至四边形的面积运算。如下题:已知四边形ABCD为圆的内接四边形,且AB=BC=4,CD=2,DA=6,求四边形ABCD的面积这里用海伦公式的推广S圆内接四边形= 根号下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p为周长一半,a,b,c,d,为4边)代入解得s=8√ 3 证明(3) 在△ABC中∠A、∠B、∠C对应边a、b、c O为其内切圆圆心,r 为其内切圆半径,p为 其半周长有 tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1 r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2)=r ∵r=(p-a)tanA/2=(p-b)tanB/2=(p-c)tanC/2 ∴r(tanA/2tanB/2+tanB/2tanC/2+tanC/2tanA/2) =[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tanA/2tanB/2tanC/2 =ptanA/2tanB/2tanC/2 =r ∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3 ∴S^2=p^2r^2=(pr^3)/(tanA/2tanB/2tanC/2) =p(p-a)(p-b)(p-c) ∴S=√p(p-a)(p-b)(p-c) 证明(4) 通过正弦定理:和余弦定理的结合证明(具体可以参考证明方法1) 编辑本段推广 关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:设△ABC 中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,ha为a边上的高,R、r分别为△ABC外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c)/2,则S△ABC =1/2 aha =1/2 ab×sinC = r p = 2R^2sinAsinBsinC = √[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中,S△ABC =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。关于三角形的面积计算公式在解题中主要应用的有:设△abc中,a、b、c分别为角a、b、c的对边,ha为a 边上的高,r、r分别为△abc外接圆、内切圆的半径,p = (a+b+c),则s △abc = aha= ab×sinc = r p = 2r2sinasinbsinc = = 其中,s△abc = 就是著名的海伦公式,在希腊数学家海伦的著作《测地术》中有记载。海伦公式在解题中有十分重要的应用。一、海伦公式的 变形s= = ①= ②= ③= ④= ⑤二、海伦公式的证明证一勾股定理分析:先从三角形最基本的计算公式s△abc = aha入手,运用勾股定理推导出海伦公式。证明:如图ha⊥bc,根据勾股定理,得: x = y = ha = = = ∴s△abc = aha= a×= 此时s△abc为变形④,故得证。证二:斯氏定理分析:在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。斯氏定理:△abc 边bc上任取一点d,若bd=u,dc=v,ad=t.则t 2 = 证明:由证一可知,u = v = ∴ha 2 = t 2 = -∴s△abc = aha = a ×= 此时为s△abc的变形⑤,故得证。证三:余弦定理分析:由变形②s = 可知,运用余弦定理c2 = a2 + b2 -2abcosc 对其进行证明。证明:要证明s = 则要证s = = = ab×sinc 此时s = ab×sinc为三角形计算公式,故得证。证四:恒等式分析:考虑运用s△abc =r p,因为有三角形内接圆半径出现,可考虑应用三角函数的恒等式。恒等式:若∠a+∠b+∠c =180○那么tg ·tg + tg ·tg + tg ·tg = 1 证明:如图,tg = ①tg = ②tg = ③根据恒等式,得:+ + = ①②③代入,得:∴r2(x+y+z) = xyz ④ 如图可知:a+b-c = (x+z)+(x+y)-(z+y) = 2x ∴x = 同理:y = z = 代入④,得:r 2 ·= 两边同乘以,得:r 2 ·= 两边开方,得:r ·= 左边r ·= r·p= s△abc 右边 为海伦公式变形①,故得证。证五:半角定理半角定理:tg = tg = tg = 证明:根据tg = = ∴r = ×y ①同理r = ×z ②r = ×x ③①×②×③,得:r3 = ×xyz 编辑本段海伦公式在解题中有十分重要的应用。 一、海伦公式的证明 证一:勾股定理如右图勾股定理证明海伦公式 。证二:斯氏定理如右图。证三:余弦定理斯氏定理证明海伦公式 分析:由变形②S = 可知,运用余弦定理c^2 = a^2 + b^2 -2abcosC 对其进行证明。证明:要证明S = 则要证S = ab×sinC 此时S = (ab ×sinC)/2为三角形计算公式,故得证。证四:恒等式恒等式证明(1) 恒等式证明(2) 证五:半角定理∵由证一,x = = -c = p-c y = = -a = p-a z = = -b = p-b ∴r3 = ∴r = ∴S△ABC = r·p = 故得证。二、海伦公式的推广 由于在实际应用中,往往需计算四边形的面积,所以需要对海伦公式进行推广。由于三角形内接于圆,所以猜想海伦公式的推广为:在任意内接与圆的四边形ABCD中,设p= ,则S四边形= 现根据猜想进行证明。证明:如图,延长DA,CB交于点E。设EA = e EB = f ∵∠1+∠2 =180°∠2+∠3 =180°∴∠1 =∠3 ∴△EAB≌△ECD ∴= = = 解得:e = ① f = ②由于S四边形ABCD = S△EAB 将①,②跟 b = 代入公式变形④,得到:∴S四边形ABCD = 所以,海伦公式的推广得证。 编辑本段例题: C语言版:如图四边形ABCD内接于圆O中,SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 求:四边形可能为等腰梯形。解:设BC = x 由海伦公式的推广,得:(4-x)(2+x)2 =27 x4-12x2-16x+27 = 0 x2(x2—1)-11x(x-1)-27(x-1) = 0 (x-1)(x3+x2-11x-27) = 0 x = 1或x3+x2-11x-27 = 0 当x = 1时,AD = BC = 1 ∴四边形可能为等腰梯形。在程序中实现(VBS): dim a,b,c,p,q,s a=inputbox("请输入三角形第一边的长度") b=inputbox("请输入三角形第二边的长度") c=inputbox("请输入三角形第三边的长度") a=1*a b=1*b c=1*c p=(a+b+c)*(a+b-c)*(a-b+c)*(-a+b+c) q=sqr(p) s=(1/4)*q msgbox("三角形面积为"&s), ,"三角形面积" 在VC中实现#include #include main() int a,b,c,s; printf("输入第一边\n"); scanf("%d",&a); printf("输入第二边\n"); scanf("%d",&b); prin tf("输入第三边\n"); scanf("%d",&c); s=(a+b+c)/2; printf("面积为:%f\n",sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))); C#版:using System; using System.Collections.Generic; using System.Text; namespace CST09078 class Program static void Main(string[] args) double a, b, c, p, s; Console.WriteLine("输入第一条边的长度:\n"); a = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("输入第二条边的长度:\n"); b = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); Console.WriteLine("输入第三条边的长度:\n"); c = Convert.ToDouble(Console.ReadLine()); p =(a+b+c)/2; s = Math.Sqrt(p*(p - a)*(p - b)*(p - c)); Console.WriteLine("我算出来的面积是{0}", s); Console.Read(); SB