高斯混合模型算法

高斯混合模型算法 下面介绍一下几种典型的机器算法 首先第一种是高斯混合模型算法: 高斯模型有单高斯模型(SGM)和混合高斯模型(GMM)两种。 (1)单高斯模型: 为简单起见，阈值t的选取一般靠经验值来设定。通常意义下，我们一般取t=0.7-0.75之间。 二维情况如下所示: (2)混合高斯模型: 对于(b)图所示的情况，很明显，单高斯模型是无法解决的。为了解决这个问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ，人们提出了高斯混合模型(GMM)，顾名思义，就是数据可以看作是从数个高 斯分布中生成出来的。虽然我们可以用不同的分布来随意地构造 XX Mixture Model ，但是 GMM是 最为流行。另外，Mixture Model 本身其实也是可以变得任意复杂的，通过增加 Model 的个数，我们可以任意地逼近任何连续的概率密分布。 每个 GMM 由 K 个 Gaussian 分布组成，每个 Gaussian 称为一个“Component”，这些 Component 线性加成在一起就组成了 GMM 的概率密度函数: (1) 其中，πk表示选中这个component部分的概率，我们也称其为加权系数。 根据上面的式子，如果我们要从 GMM 的分布中随机地取一个点的话，实际上可以分为两步: (1)首先随机地在这 K 个 Component 之中选一个，每个 Component 被选中的概率实际上就是它的系数 πk，选中了 Component 之后，再单独地考虑从这个 Component 的分布中选取一个点就可以了??这里已经回到了普通的 Gaussian 分布，转化为了已知的问题。假设现在有 N 个数据点，我们认为这些数据点由某个GMM模型产生，现在我们要需要确定 πk,μk,σk 这些参数。很自然的，我们想到利用最大似然估计来确定这些参数，GMM的似然函数如下: (2) 在最大似然估计里面，由于我们的目的是把乘积的形式分解为求和的形式，即在等式的左右两边加上一个log函数，但是由上文博客里的(2)式可以看出，转化为log后，还有log(a+b)的形式，因此，要进一步求解。 我们采用EM算法，分布迭代求解最大值: EM算法的步骤这里不作详细的介绍，可以参见博客: 贴出代码: 1 function varargout = gmm(X, K_or_centroids) 2 % ============================================================ 3 % Expectation-Maximization iteration implementation of 4 % Gaussian Mixture Model. 5 % 6 % PX = GMM(X, K_OR_CENTROIDS) 7 % [PX MODEL] = GMM(X, K_OR_CENTROIDS) 8 % 9 % - X: N-by-D data matrix. 10 % - K_OR_CENTROIDS: either K indicating the number of 11 % components or a K-by-D matrix indicating the 12 % choosing of the initial K centroids. 13 % 14 % - PX: N-by-K matrix indicating the probability of each 15 % component generating each point. 16 % - MODEL: a structure containing the parameters for a GMM: 17 % MODEL.Miu: a K-by-D matrix. 18 % MODEL.Sigma: a D-by-D-by-K matrix. 19 % MODEL.Pi: a 1-by-K vector. 20 % ============================================================ 21 22 threshold = 1e-15; 23 [N, D] = size(X); 24 25 if isscalar(K_or_centroids) 26 K = K_or_centroids; 27 % randomly pick centroids 28 rndp = randperm(N); 29 centroids = X(rndp(1:K), :); 30 else 31 K = size(K_or_centroids, 1); 32 centroids = K_or_centroids; 33 end 34 35 % initial values 36 [pMiu pPi pSigma] = init_params(); 37 38 Lprev = -inf; 39 while true 40 Px = calc_prob(); 41 42 % new value for pGamma 43 pGamma = Px .* repmat(pPi, N, 1); 44 pGamma = pGamma ./ repmat(sum(pGamma, 2), 1, K); 45 46 % new value for parameters of each Component 47 Nk = sum(pGamma, 1); 48 pMiu = diag(1./Nk) * pGamma' * X; 49 pPi = Nk/N; 50 for kk = 1:K 51 Xshift = X-repmat(pMiu(kk, :), N, 1); 52 pSigma(:, :, kk) = (Xshift' * ... 53 (diag(pGamma(:, kk)) * Xshift)) / Nk(kk); 54 end 55 56 % check for convergence 57 L = sum(log(Px*pPi')); 58 if L-Lprev < threshold 59 break; 60 end 61 Lprev = L; 62 end 63 64 if nargout == 1 65 varargout = {Px}; 66 else 67 model = []; 68 model.Miu = pMiu; 69 model.Sigma = pSigma; 70 model.Pi = pPi; 71 varargout = {Px, model}; 72 end 73 74 function [pMiu pPi pSigma] = init_params() 75 pMiu = centroids; 76 pPi = zeros(1, K); 77 pSigma = zeros(D, D, K); 78 79 % hard assign x to each centroids 80 distmat = repmat(sum(X.*X, 2), 1, K) + ... 81 repmat(sum(pMiu.*pMiu, 2)', N, 1) - ... 82 2*X*pMiu'; 83 [dummy labels] = min(distmat, [], 2); 84 85 for k=1:K 86 Xk = X(labels == k, :); 87 pPi(k) = size(Xk, 1)/N; 88 pSigma(:, :, k) = cov(Xk); 89 end 90 end 91 92 function Px = calc_prob() 93 Px = zeros(N, K); 94 for k = 1:K 95 Xshift = X-repmat(pMiu(k, :), N, 1); 96 inv_pSigma = inv(pSigma(:, :, k)); 97 tmp = sum((Xshift*inv_pSigma) .* Xshift, 2); 98 coef = (2*pi)^(-D/2) * sqrt(det(inv_pSigma)); 99 Px(:, k) = coef * exp(-0.5*tmp); 100 end 101 end 102 end