[要诀]平方根数列递推公式推导通项公式
平方根数列递推公式推导通项公式
可以用以下关于数列{a}的递推公式来计算平方根a(a > 0)的近似值n
1a+a = (a + )(a > 0，n?N)nn ? 12an ? 1
数列{a}的初值为a，这里a可以为任意接近于a的有理数。可以证明，对于任意的n00
正数a，当n ? ?时，数列{a}收敛，极限为a，因此a也可以取为任意正数。n0
下面根据数列{a}的递推公式和初值a导出{a}的通项公式a，推导过程如下n0nn
2 ? a)1a(an ? 1a ? a = (a + ) ? a = nn ? 12a2an ? 1n ? 1
2 + a)1a(an ? 1a + a = (a + ) + a = nn ? 12a2an ? 1n ? 1
以上两式作比值可得
a ? a ? aann ? 12 = ()a + aa + ann ? 1
a ? a1 + bnn2 +为了方便计算，记b = ，则a = a，可得b = b(n?N)，于是nnnn ? 11 ? bna + an
n ? 12 2 22 222+ b = b = (b) = ((b)) = … = b(n?N)nn ? 1n ? 2n ? 31
根据数列{a}的递推公式和a与b之间的关系，可以得到nnn
2a + a1aa ? aa ? a0102a = (a + ) = ，b = = ()1012a2a00a + aa + a10
于是
n ? 1n ? 1n ? a ? aaa202202+ b = b = [(] = ((n?N)))n1 a + aa + a00
因此
n ? aa02 1 + () a + a1 + b0n+a = a = a(n?N)nn1 ? bn ? aa20 1 ? () a + a0
因为a > 0，a > 0，容易证明不等式0
a ? a0? 1 < < 1 a + a0
即
a ? a,,0 < 1,,,,a + a0
na ? a02 当n ? ?时，() ? 0，因此数列{a}收敛于a，即n a + a0
lim a = an n??
于是可以得到，数列{a}的通项公式为n
na ? a02 1 + () a + a0+a = a(a > 0，n?N)nn ? aa02 1 ? () a + a0
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