《等差数列求和公式》教案
等差数列求和公式
教学目标
(知识目标 1
(1)掌握等差数列前n项和公式,理解公式的推导方法;
(2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
(能力目标 2
经历公式的推导过程,体会数形结合的数学思想,体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3(情感目标
通过生动具体的现实问题,激发学生探究的兴趣和欲望,树立学生求真的勇气和自信心,增强学生学好数学的心理体验,产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
教学重点、难点
1(等差数列前n项和公式是重点。
2(获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
教学过程
复习回顾:
1(等差数列的定义;
2(等差数列的通项公式。
新课引入:
问题一:
介绍德国著名数学家高斯,相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道算术题:1+2+3+„+100=,。结果高斯很快就算出了答案,你知道高斯是怎么很快的算出结果的吗,
请同学起来回答,如何进行首尾配对求和:
100(1100)(299)...(5051),,,,,===5050. S,,,,,123...100()1100,,n2
师:非常好~这位同学和数学家高斯一样聪明~这里高斯的配对法就是采用的“首尾配对法”。师:这里1,2,3,„,100这是一个什么数列,生:等差数列。
123...100,,,,师:这里就是在求一个等差数列的和的问题。引出课题:7.2.2等差数列求和。
一、数列的前n项和意义
一般地,设有数列aaaa,,,,,„,我们把叫做数列的aaaa,,,,{}a123n123nn前n项和,记作(即( Saaaa,,,,,Snnn123
1
问题二:
(课件出示印度泰姬陵的图片),介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成,共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多少宝石吗,
学生回答:即求。师:怎么求, S,,,,,1232121
生:仿照上面的方法,首尾配对(1+21)+(2+20)+„+(10+12)。师:这里一共配成了几对呢,生:10对,再加上中间一个数11,得到结果231。师:很好。我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么,有没有更简单一点的配对方法呢,
课件演示,在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案,将两个三角形拼成平行四边形。则
原三角形红宝石图案:, S,,,,,1232121
后添的三角形蓝宝石图案:, S,,,,,212019121
平行四边形图案所有宝石数:, 2(121)21S,,,21
(121)21,,所以,。 S,,231212
这种求和方法叫倒序相加法,与高斯的首尾相配法原理如出一辙。
师:上面我们求了,在这两个问题中,最后,这个和都可以写成首项SS,10021
()aan,1n与末项的和乘以项数的一半。那么,是不是所有的等差数列都有这S,n2个求和公式呢,下面我们来证明这个公式。
二(等差数列的前n项和公式
设有等差数列:公差为d,前项和为,则 aaaa,,,,,{}aSnn123nn
; Saadadand,,,,,,,,,()(2)[(1)]n1111
. Saadadand,,,,,,,,,()(2)[(1)]nnnnn
将两式分别相加,得:, 2()Snaa,,nn1
由此得到等差数列的前项和的公式 {}ann
()aan,1n (公式一) S,n2
说明:这里一共有4个量,已知3个量就可以求出第4个量。
2
因为,所以上面的公式又可以写成 aand,,,(1)n1
nn(1), (公式二) Snad,,n12
例题:
例1:在等差数列中, {a}n
1(1)已知,求;(2)已知,求。 aa,,3,101SSad,,3,11010182
通过此例题,让学生体会在具体的问题中如何根据已知条件选择适当的求和公式。
例2:一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放1支,最上面一层放120支。这个V形架上共放了多少支铅笔, 请学生回答。先归结为数学问题,然后选择适当的求和公式,代入求解。 课堂小练:
135(21),,,,,,n1(计算: 。
2(已知数列为等差数列, {a}n
(1)若,求; aa,,5,10S188
(2)若,求; aa,,5,10S128
(3)若,求; aa,,5,10S278
例3:已知等差数列,10,,6,,2,2,…,的前多少项和为54,
1315例4:在等差数列中,已知,求及。 daS,,,,{a}a,,nnnn1222
请学生思考,列出两个关于和的方程,再求解。 an1
说明:在等差数列的通项公式与前n项公式中,含有五个量,已adnaS,,,,1nn知其中的3个量就可以求出余下的两个量。
课堂小结:
1(等差数列前n项和Sn公式的推导--倒序相加法;
2(等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用;
()aan,nn(1),1n(公式一); (公式二) S,Snad,,n1n22
3
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