实数的定义及其运算
一、实数的定义:
实数:包括有理数和无理数。其中无理数就是无限不循环小数,有理数就包括整数和分数。 算数平方根:一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x?=a,那么这个数x叫做a的算术平方根。记为“”读作“根号a”。
平方根:一般地,如果一个数x的平方等于a,即x?=a,那么这个数x就叫做a的平方根(也叫做二次根)。记为?,读作“正负根号a”。
平方根的性质 1、一个正数有两个平方根;2、0只有一个平方根,是它本事“0”;3、负数没有平方根。 例
题
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1(下面几个数:0.23 ,1.010010001„,,3π,,,其中,无理数的个数有(C )
A、1 B、2 C、3 D、4
2、下列说法中正确的是( )
A、的平方根是?3 B、1的立方根是?1 C、=?1 D、是5的平方根的相反数 3、1)1.25的算术平方根是__________;平方根是__________.2) -27立方根是__________.
3) _______, ___________,___________.
二、有理数及其分类:
有理数:整数与分数统称为有理数。整数包括三类:正整数、零、负整数。分数包括两类:正分数和负分数。
按整数、分数的关系分类: 按正数、负数、零的关系分类:
,,正整数正整数,,正有理数,,,,整数零正分数,,,,,,,负整数有理数有理数零 ,,,
,,负整数,正分数,,,负有理数分数,,,,负分数负分数,,,,
三、数轴:
1.数轴的概念:规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
注意:?数轴是一条直线,可以向两端无限延伸;?数轴有三要素:原点、正方向、单位长度三者缺一不可;?原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定,都是根据实际需要而定的。
2.数轴的画法:?画一条水平的直线;?在直线的适当位置选取一点作为原点,并用0
表
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示这点;?确定向右为正方向,用箭头表示出来;?选取适当的长度作为单位长度,从原点向右,每隔一个单位长度取一点,依次为1,2,3,„;从原点向左,每隔一个单位长度取一点,依次为,1,,2,,3,„。
如图1所示。
四、绝对值:
绝对值的几何定义:在数轴上,表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值,记作|a|。
绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
注意:?绝对值的求法:先判断这个数是正数、负数、还是零,再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号;?绝对值的非负性:无论是绝对值的几何定义,还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要
aa (0),,
,|0 (0)aa|,,性质—非负性。也就是说,任何一个有理数的绝对值都是非负数,即,。 |a|0,,
,,,aa (0),
五、非负数
若数a?0,则称a为非负数。
非负数的性质:任何非负数的和仍为非负数;如果几个非负数的和为0,则这几个非负数均为0。
3. 点A在数轴上表示的数为,点B在数轴上表示的数为,则AB两点的距离为______ ,
解析:在数轴上找到A、B两点,
例题:1、如图,数轴上表示1,的对应点分别为A,B,点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是( )(
A(,1 B(1, C(2, D(,2
选C
2、化简下列各式:
(1) |-1.4| (2) |π-3.142|
(3) |-| (4) |x-|x-3|| (x?3)
3、 已知实数、、在数轴上的位置如图所示:
化简
【答案】:
六、倒数
乘积为1的两个有理数互为倒数。
倒数的求法:求一个数的倒数,直接可写成这个数分之一;求一个分数的倒数,只要将分子、分母颠倒即可;求一个带分数的倒数,应先将带分数化成假分数,再将分子、分母颠倒;求一个小数的倒数,应先将小数化成分数,然后再求倒数。
只有零没有倒数,其他任何有理数都有倒数。正数的倒数为正数,负数的倒数为负数。 七、相反数
只有符号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。
从数轴上看,表示互为相反数的两个数,分别位于原点的两侧,且与原点的距离相等,如图1,3与,3互为相反数。
注意:相反数是成对出现的,不能单独存在,如+2与,2互为相反数,说明+2的相反数是,2,,2的相反数是+2,单独一个数不能说相反数;“只有”的含义说明像+5与,3这样的两个数不是互为相反数。
八、有理数运算律
1、乘法的交换律 ab=ba;
2、乘法的结合律 a(bc)=(ab)c;
3、分配律 a(b+c)=ab+ac;
4、0a,0 文字解释:一个数乘0还于0。
注意:实数的运算顺序
先乘方、开方,后乘除,最后加减;有括号时,先算括号里面的;同级运算按从左至右的顺序进行,同时注意运算律的灵活应用。
例题:1、已知那么a+b-c的值为___________
2、计算: ×+×
一、选择题:
1(下列各式中正确的是( )
A( B. C. D.
2. 的平方根是( )
A(4 B. C. 2 D.
3. 下列说法中 ?无限小数都是无理数 ?无理数都是无限小数 ?-2是4的平方根 ?带根号的数都是
无理数。其中正确的说法有( )
A(3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
4(和数轴上的点一一对应的是( )
A(整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数
5(对于来说( )
A(有平方根 B(只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定
6(在(两个“1”之间依次多1个“0”)中,无理数
的个数有( )
A(3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
7(面积为11的正方形边长为x,则x的范围是( )
A( B. C. D.
8(下列各组数中,互为相反数的是( )
A(-2与 B.?-?与 C. 与 D. 与
9(-8的立方根与4的平方根之和是( )
A(0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或4
10(已知一个自然数的算术平方根是a ,则该自然数的下一个自然数的算术平方根是( )
A( B. C. D.
二、填空:
11(的相反数是________,绝对值等于的数是________,??=_______。
12(的算术平方根是_______,=______。
13(____的平方根等于它本身,____的立方根等于它本身,____的算术平方根等于它本身。
14(已知?x?的算术平方根是8,那么x的立方根是_____。
15(填入两个和为6的无理数,使等式成立: ___+___=6。
16(大于,小于的整数有______个。
17(若?2a-5?与互为相反数,则a=______,b=_____。
18(若?a?=6,=3,且ab0,则a-b=______。
19(数轴上点A,点B分别表示实数则A、B两点间的距离为______。
20(一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4,则a=_____,x=_____。
三、认真解一解
21(计算
? ? ?
? ??+?? ? 4×[ 9 + 2×()] (结果保留3个有效数字)