高中排列组合知识点汇总及典型例题

高中排列组合知识点汇总及典型例题 一(基本原理 ?能被9整除的数的特征:各位数字之和是9的倍数?能被4整除的数的特征:末两位是4的倍数。 ?能被5整除的数的1(加法原理:做一件事有n类办法，则完成这件事的方法数等于各类方法数相加。 特征:末位数是0或5。 2(乘法原理:做一件事分n步完成，则完成这件事的方法数等于各步方法数相乘。 ?能被25整除的数的特征:末两位数是25，50，75。 ?能被6整除的数的特征:各位数字之和是3的倍数的偶数。 注:做一件事时，元素或位置允许重复使用，求方法数时常用基本原理求解。 4(组合应用题:(1).“至少”“至多”问题用间接排除法或分类法: (2)( “含”与“不含” 用间接排除法或分二(排列:从n个不同元素中，任取m(m?n)个元素，按照一定的顺序排成一类法: m3(分组问题: 列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，所有排列的个数记为A.n均匀分组:分步取，得组合数相乘，再除以组数的阶乘。即除法处理。 n!m非均匀分组:分步取，得组合数相乘。即组合处理。 1.公式:1. A,nn,1n,2„„n,m，1,，，，，，，n混合分组:分步取，得组合数相乘，再除以均匀分组的组数的阶乘。 ，，n,m! 4(分配问题: 2. 定额分配:(指定到具体位置)即固定位置固定人数，分步取，得组合数相乘。 规定:0!1, 随机分配:(不指定到具体位置)即不固定位置但固定人数，先分组再排列，先组合分堆后排，注意平均分堆除以均匀分nnnnnn!(1)!,(1)!(1)!,，,，，,，nnnnnnnnn，,，,，,，，,,，,![(1)1]!(1)!!(1)!!(1); (2) 组组数的阶乘。 nnn，,，1111115(隔板法: 不可分辨的球即相同元素分组问题 (3) ,,,,,(1)!(1)!(1)!(1)!!(1)!nnnnnn，，，，，例1.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共 有 种不同的播放方式(结果用数值 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示). 三(组合:从n个不同元素中任取m(m?n)个元素并组成一组，叫做从n 个不同的m 元素中任取 m 个元素的组合数，2424记作 Cn 。 种;中间4个为不同的商业广告有A种，从而应当填 A?A,48. 从而应填解:分二步:首尾必须播放公益广告的有A2424 m48( nnnm,,，11„„A，，，，n!mn 1. 公式: 例3.6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少种排法, C,,,nmm!mnm!!,A，，6554m解一:间接法:即 AAAA,,，,,，，,72021202450465540 规定:C,1解二:(1)分类求解:按甲排与不排在最右端分类. n511,,mnmmm1m01nn(1) 甲排在最右端时,有种排法; (2) 甲不排在最右端(甲不排在最左端)时，则甲有种排法，乙有种排法，AAA C,C，C，C,C，C，C，„„，C,22.组合数性质:454，nnnnn1nnn41145114其他人有种排法，共有种排法，分类相加得共有+=504种排法 AAAAAAAA44544444?;?;?;? 例.有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法, rrrrrrrrrrrrrrr，，，111 注:CCCCCCCCCCCCCCC，，，，,，，，，,，，，,rrrnnrrrnnrrnnn，，,，，，,，，,，121112122114分析一:先在7个位置上任取4个位置排男生，有A种排法.剩余的3个位置排女生，因要求“从矮到高”，只有1种排7mm12若 CC,,则或m=mm+mnnn12124法，故共有A?1=840种. 7四(处理排列组合应用题 1.?明确要完成的是一件什么事(审题) ?有序还是无序 ?分步还是分类。 1.从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同的取法共有 2(解排列、组合题的基本策略 解析1:逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共有(1)两种思路:?直接法; 333?间接法:对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列组合应用题时一种常用CCC,,,70种,选.C 945的解题方法。 解析2:至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有(2)分类处理:当问题总体不好解决时，常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。注意:分类不重复不遗漏。即:每2112台,选C. CCCC，,70两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。 5454新疆(3)分步处理:与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。在处理排列组合王新敞奎屯2(从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛(1)如果4人中男生和女生各选2人，有 种选法; (2)如果 问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。 男生中的甲与女生中的乙必须在内，有 种选法; (3)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有 种选法; (4) 新疆(4)两种途径:?元素分析法;?位置分析法。 王新敞奎屯如果4人中必须既有男生又有女生，有 种选法 3(排列应用题: 分析:本题考查利用种数公式解答与组合相关的问题.由于选出的人没有地位的差异，所以是组合问题. 2222(1)穷举法(列举法):将所有满足题设条件的排列与组合逐一列举出来; (2)、特殊元素优先考虑、特殊位置优先考解:(1)先从男生中选2人，有C种选法，再从女生中选2人，有C种选法，所以共有CC=60(种); 4554虑; 22(3)(相邻问题:捆邦法: (2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，所以共有CC=21(种); 27对于某些元素要求相邻的排列问题，先将相邻接的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再对相邻44CC,(3)在9人选4人的选法中，把甲和乙都不在内的去掉，得到符合条件的选法数:=91(种); 元素内部进行排列。 97131322332(4)、全不相邻问题，插空法:某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法.即先安排好没有限制条件直接法，则可分为3类:只含甲;只含乙;同时含甲和乙，得到符合条件的方法数=91CCCCCCCCC，，,，，171727777的元素，然后再将不相邻接元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入。 (种). (5)、顺序一定，除法处理。先排后除或先定后插 444(4)在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数CCC,,=120(种). 解法一:对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于954 132231这几个元素的全排列数。即先全排，再除以定序元素的全排列。 CCCCCC，，直接法:分别按照含男生1、2、3人分类，得到符合条件的选法为=120(种). 545454解法二:在总位置中选出定序元素的位置不参加排列，先对其他元素进行排列，剩余的几个位置放定序的元素，若定序元 素要求从左到右或从右到左排列，则只有1种排法;若不要求，则有2种排法; 1(6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( ) (6)“小团体”排列问题——采用先整体后局部策略 A(40 B(50 C(60 D(70 对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小3C62团体”内部的排列。 [解析] 先分组再排列，一组2人一组4人有C,15种不同的分法;两组各3人共有,10种不同的分法，所以乘车方62A2(7)分排问题用“直排法”把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。 法数为25×2,50，故选B. (8)(数字问题(组成无重复数字的整数) 2(有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( ) ? 能被2整除的数的特征:末位数是偶数;不能被2整除的数的特征:末位数是奇数。?能被3整除的数的特征:各位数A(36种 B(48种 C(72种 D(96种 字之和是3的倍数; 32 [解析] 恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人，然后插空，从而共AA,72种排法，(A)12种 (B)18种 (C)36种 (D)54种 34故选C. 3(只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有( ) A(6个 B(9个 C(18个 D(36个 【解析】标号1,2的卡片放入同一封信有种方法;其他四封信放入两个信封，每个信封两个有种方法，共有1 [解析] 注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有C,3(种)选法，322即1231,1232,1233，而每种选择有A×C,6(种)排法，所以共有3×6,18(种)情况，即这样的四位数有18个( 23 4(男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有( ) 种，故选B. A(2人或3人 B(3人或4人 C(3人 D(4人 2115. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不[解析] 设男生有人，则女生有(8,)人，由题意可得CC,30，解得,5或,6，代入验证，可知女生为2人或3 nnnnn8,n排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 共有 人( A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种 5(某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则214方法有( ) 种方法 解析:分两类:甲乙排1、2号或6、7号 共有2，AAA244A(45种 B(36种 C(28种 D(25种 24113甲乙排中间,丙排7号或不排7号，共有种方法 4A(A，AAA)224333 [解析] 因为10?8的余数为2，故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有2步，那么共有C,28种走法( 8故共有1008种不同的排法 6(某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( ) A(24种 B(36种 C(38种 D(108种 [解析] 本题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编112程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C种分法，然后再分到两部门去共有CA种方法，第三步只需将其他3人分3321成两组，一组1人另一组2人即可，由于是每个部门各4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C种方法，3121由分步乘法计数原理共有2CAC,36(种)( 323 7(已知集合A,{5}，B,{1,2}，C,{1,3,4}，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为( ) A(33 B(34 C(35 D(36 13 [解析] ?所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C?A,12个; 23133?所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C?A，A,18个; 2331?所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C,3个( 3 故共有符合条件的点的个数为12，18，3,33个，故选A. 8(由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( ) A(72 B(96 C(108 D(144 212233 [解析] 分两类:若1与3相邻，有A?CAA,72(个)，若1与3不相邻有A?A,36(个) 232333 故共有72，36,108个( 9(如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( ) A(50种 B(60种 C(120种 D(210种 [解析] 先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种:(1,2)、(2,3)、(3,4)、(4,5)、(5,6)、(6,7)，12甲任选一种为C，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A种，按照分步乘法计数原理6512可知共有不同的安排方法C?A,120种，故选C. 65 10(安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种((用数字作答) 25 [解析] 先安排甲、乙两人在后5天值班，有A,20(种)排法，其余5人再进行排列，有A,120(种)排法，所以共有2055 ×120,2400(种)安排方法( 11(今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法((用数字作答) 423 [解析] 由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C?C?C,1260(种)排法( 953 12(将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆服务，不同的分配方案有________种(用数字作答)( 22CC644 [解析] 先将6名志愿者分为4组，共有种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共有A种分法，故所有分配方42A222C?C644案有:?A,1 080种( 42A2 13(要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法(用数字作答)( [解析] 5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法(若1、3同色，2有2种种法，若1、3不同色，2有1种种法，?有4×3×2×(1×2，1×1),72种( 14. 将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中(若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有