反常积分

反常积分第一节反常积分教学目的：了解反常积分的概念教学重点：反常积分的计算教学难点：被积函数有无穷型间断点的反常积分的识别教学内容：一、无穷限反常积分定义设函数在区间上连续，取 .如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作 ,即 . 这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,函数在无穷区间上的反常积分就没有意义,习惯上称为反常积分发散,这时记号不再表示数值了. 类似地,设函数在区间上连续,取 . 如果极...

第一节反常积分教学目的：了解反常积分的概念教学重点：反常积分的计算教学难点：被积函数有无穷型间断点的反常积分的识别教学内容：一、无穷限反常积分定义设函数在区间上连续，取 .如果极限存在,则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分,记作 ,即 . 这时也称反常积分收敛;如果上述极限不存在,函数在无穷区间上的反常积分就没有意义,习惯上称为反常积分发散,这时记号不再表示数值了. 类似地,设函数在区间上连续,取 . 如果极限存在，则称此极限为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即这时也称反常积分收敛；如果上述极限不存在，就称反常积分发散. 设函数在区间上连续，如果反常积分和都收敛，则称上述两反常积分之和为函数在无穷区间上的反常积分，记作，即这时也称反常积分收敛；否则就称反常积分发散. 例1 计算反常积分：（1）；（2）（是常数，且）解：（1）（2）例2 证明：反常积分当时收敛；当时发散. 证：当时，当时，故命题得证. 二、无界函数的反常积分定义设函数在上连续，而在点的右邻域内无界，如果极存在，则称此极限为函数在上的反常积分，仍然记作 .即 . 这时也称反常积分收敛。如果上述极限不存在，就称反常积分发散. 类似地，设函数在上连续，而在点的左邻域内无界，如果极限存在，则定义 .否则，就称反常积分发散. 设函数在上除点外连续，而在点的邻域内无界，如果两个反常积分与都收敛，则定义否则，就称反常积分发散. 例1 计算反常积分解：例2 讨论反常积分的收敛性解：故所求反常积分发散. 例3 证明反常积分当时收敛；当时发散. 证：当时，；当时， . 故反常积分当时收敛；当时发散.

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