[资料](重点)平面向量数量积公式的应用
平面向量数量积公式的应用
向量的数量积是我们学习向量中的一种新的运算，它是两个向量之间的乘法关系，它们
的积是数量，因此，数量积公式充分把向量与数结合在一起，为我们解题提供了一种新的思
维方式。下面谈谈数量积公式在解题中的应用。
一、解决平面几何问题:
1(长度问题
例1:设AC是平行四边形ABCD的长对角线，从C引AB、AD的垂线CE、CF，垂
2足分别为E、F，如图所示，求证:。AB,AE，AD,AF,AC
F
CD
AEB
2(垂直问题
例2:如图所示，四边形ADCB是正方形，P是对角线DB上一点，
y。 PFCE是矩形，证明: PA,EFBA
PE
DO xFC
3(夹角问题 y
例3:求等腰直角三角形两直角边上的中线所成的钝角。A
E
OCxDB
二、解决三角问题:
1(证明一些公式: Y
A,例4:对于任意实数，,，求证:
a
cos(,，,),cos,cos,,sin,sin,。
,B1,,O1AX
b
B
2(证明三角恒等式:
22例5:已知、为锐角，且，,,3sin,，2sin,,1A56A,A4，求证:。2，,3sin2,,2sin2,,0,,2
A7eA3
1AA2
3(求三角函数值:
246,,,coscoscos，，例6:求值:。 777
4(解与三角形有关的问题:
3cosA，cosB,cos(A，B),例7:在锐角?ABC中，已知，求角C的值。2
三、证明等式:
一般来说，等式的证明都要进行恒等运算，但应用向量的有关知识和运算，并且简单明
了。
xy22222ab,0,例8:设()，求证:(x，y)(a，b),(ax，by)ab
2222例9:已知，求证:。 a，b,1a1,b，b1,a,1
四、解方程:
解决一些特殊的方程时，也可以适用向量的
方法
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解决。
x，4x,1，4,x,4x例10:解方程:。
五、求函数的最值或值域:
某些条件最值如果按常规方法求不易入手，但是若能仔细观察题目条件和结论，恰当地
构造向量，则会使问题变得简单。
例11:求函数的最大值。 f(x),5x，6,x
2222b,Ra，b,4ax，byyxa例12:已知，(，，，)，求的极值。x，y,9
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