r_循环矩阵的逆矩阵
* 循环矩阵的逆矩阵 r-
** 钟祥贵 曾立新
广西师范大学数学科学学院广西桂林 ( , 541004)
循环矩摘要给出 循环矩阵的逆矩阵的初等算法将文献和中的主要结果推广到 r- ,[5][6]r- :
阵关键词循环矩阵;逆矩阵;相。 :
似矩阵
中图分类号文献标识码文章编号: O151?21 : A : CN11- 5340 /N(2007)06- 0001- 03
本文讨论的都是 阶方阵复数域上一个任意 阶 循环矩阵是指n . n r- :
$!% " aa a a n- 1 201 "% " % % " "raa% aa 12 03 % " % "% ".A= % " " % " % %"raa raan- 3 0n- 2 n- 1 " % "% " % "% raraa ra # n- 1 n- 2 0& 1
其中 是非零实数r .
循环矩阵决定于它的第一行元素与实数 特别时 即为循环 简记为 r- r, A=C(a,a, , a,a)., r=1 A r0n- 121矩阵时 即为反循环矩阵,r=- 1 A .
循环矩阵是一种特殊的 矩阵 位于任一条平行于主对角线的直线上的元素全相等在数据 r- T- (), 处理有限元法以及编码理论等广泛学科和技术领域里常常遇到矩阵的性质不易探讨因此人们 , . T- . 很早就把兴趣集中在与 矩阵联系密切的矩阵或特殊的 矩阵上循环矩阵是 矩阵的一个特殊 T- T- . T- 情形对循环矩阵的可逆问题已经进行了较广泛的研究年以三阶循环矩阵为例 . . 1955 , D.Greenspan
[2] 对循环矩阵逆矩阵的求法作了说明年利用 标准形理论给出了计算循环矩 . 1962 , T.L.GilbertJordan
[3] 阵逆矩阵的方法年给出了与文献和不相同的新的初等算法年李炯 . 1979 , S.R.Searle [1][2]. 1981 , [4][5][6]生给出了中方法的初等
证明
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年李天林改进了与的方法和证明年王济荣给 [1]. 1983 , [1][4]. 1992 , 出了反循环矩阵的概念及求逆方法.
本文继续文献的工作讨论 循环矩阵的可逆性求逆等问题同时将文献和中的主要结 [9], r- 、, [5][6]果推广到 循环矩阵r- .
首先讨论 循环矩阵的可对角化问题为了方便引进若干记号如下r- . , :
n- 2n- 1叫做 的行多项式( i) f(x)=a+ax+ +ax+ax?C[x]A ; 0n- 121
- 1 - 1 nn jn 2j+1是二项方程 的 个根或者 其中( ) : ii!,!, ,!x=r n !=r!,r>0 !=(- r)!,r<0.,j=0,1, ,n- 1. 01n- 1 jj
e" e" 2nn 而 是虚数单位且 或者 显然 或者 而=cos +isin ,i , i=- 1, e=2,r>0, e=1,r<0. =1,r>0, =- 1,r<0. !!!n n
n !=r,j=0,1, ,n- 1; j
n- 1 1 1 - 1 s - 1 其中 ( iii) b= f(),0?s?n- 1,f() = ,0?r?n- 1;!!! (srr rn f() !r=0 r
基金项目广西科学基金项目桂科基 广西研究生教育创新计划项目: ( 0575050) , ( 2007106020701M51)
收稿日期* : 2007- 09- 21
作者简介钟祥贵男湖南武冈人广西师范大学副教授** : ( 1963- ) , , , 。
1
北京教育学院学报自然科学版 ( )
是由 确定的 阶 矩阵( ) ivV ,, ,n Vandermonde . !!!01n- 1
定理 对固定的非零实数 是复数域上一个任意 阶 循环矩阵那么存在复数域上的 设 1 r, A n r- ,
- 1可逆矩阵 同时对角化使 V, VAV .
- 1 直接计算得 又 与 无关定理 的结论显然证明a, VAV=diag(f(),f(), ,f()). V a,a, ,,a1 !!!01n- 10n- 121
成立.
n- 1
由于相似矩阵有相同的秩利用定理 证明中的等式循环矩阵 可逆当且仅当现, 1 , r- A f(!)?0. !rr=0
在我们给出可逆的 循环矩阵的逆矩阵公式, r- .
定理 对固定的非零实数 是复数域上一个任意 阶可逆 循环矩阵设 2 r, A=C(a,a, ,a,a)n r- , r0n- 121
- 1- 1- 1- 1那么 的逆矩阵是 A A=C(b,rb, ,rb,rb).r0n- 121
- 1- 1- 1 证明记 我们将证明 为 阶单位矩阵而这等价于证明 的B=C(b,rb, ,rb,rb). AB=I(I n ), A r0n- 121
第 行乘 的第 列元素 或者 对成立即可下面仅就 的情形i B j C=0,i?j, C=1,i=j i,j?{0,1, ,n- 1}.r>0 #ijij
- 1 n in予以证明此时 当 时其证明类似注意到 为 的根我们有, , , =r,r<0 .x=r !!!ir C=ab++ab+ab+ab+ab+ iji- 1n- i+1 in- i 1n- 100n- 11 n- 1 1 - 1n- i+1 n- 1 0 n- i = f(!)(a!+ +a!+a!+a!+ +a!) &ri- 1r1r 0r n- 1rir n r=0
n- 1 1 - 1n- i n- 1 = f()(a+a+ +a+ +a)!!!! &r0n- 1rir 1r n r=0
n- 1 1 - 1= f(!)f(!)=1. &rrn r=0
当 时我们证明 的情形当 其证明类似i?j , i
j, .
- 1- 1- 1C=ab+ +ab+rab+rab+ +rab+ab+ab+ +abiji- 1n- (j- 1)1n- (j- i+1)0n- (j- i)n- 1n- (j- i- 1)n- (j- i- 1)n- 1n- (j- i)0n- (j- i+1)1in- j
n- 1 1j- i i- j n- i+1 n- 1 - 1 n - 1 n+1 - 1 n+j- i- 1 j- i+1 - 1 + +r +a+ = [a!a!a!+a!+ +a+r a+r +!!!f()!! i- 1r n- 1r n- (j- i- 1)r n- (j- i)r n- (j- i+1) r &1r 0r rrn r=0
n- i ]a!ir n- 1 1 i- j - 1j- i+1j- in- i n- 1= f()[a+a+!!!+a!+a ! + +a ! +a ! ] & rr 0n- 1ri r 1 r n- (j- i- 1)r n- (j- i) r n r=0
n- 1 1 - 1i- j = f()f()!!! &rr rn r=0
n- 1 1 i- j = !& rn r=0
i- j !i- j( i- j) (n- 1) 0 (1+ + + ) !!= n
i- j n i- j !1- (! ) 0 = =0.i- j n 1- !
由定理 立得如下推论推论 是文献和的主要结果推论 是文献的主要结果2 . 1 [4][5], 2 [6]. - 1推论 设 是复数域上一个任意 阶可逆循环矩阵那么 的逆矩阵是 1 A=C(a,a, , a,a)n , A A= 10n- 121
n- 1 2" 2" 1 - 1s 其中而 是 次本原单位根即 C(b,b, ,b,b). ,b= f(),0?s?n- 1, n , =cos +isin ,!!! ! &10n- 121srr n n n r=0
n!=1.
推论 设 是复数域上一个任意 阶可逆反循环矩阵那么 的逆矩阵是2 A=C(a,a, , a,a)n , A - 10n- 121
n- 1 1 - 1- 1s 其中A=C(b,- b, ,- b,- b).,b= f(!)!,0?s?n- 1. &- 10n- 121srr n r=0
2
钟祥贵 曾立新循环矩阵的逆矩阵: r-
e" e" 定理 虽然可以推出文献的主要结果但在实用上因为要算出 以2 [4- 6], =cos +isin (e=1,2),!n n
及 等其中包含复杂的三角函数运算定理 的意义主要在理论方面下面我们利用, , f(!),f(!), ,f(!)2 ., 01n- 1
定理 的结果给出另一种重要的计算 循环矩阵的逆矩阵的具体方法 2 r- .
定理 对固定的非零实数 是复数域上一个任意 阶可逆 循环矩阵那么 的逆矩阵设 3 r, A n r- , A
A A A - 111 21 n1 这里是 的第 行第一个元素的代数余子式, ). , AdetA j , j=1,2, ,n. 是 j1 ,A=C(, rdetA detA detA
1 - 1其中 是矩阵 的伴随矩阵当 是 循证明 利用熟知的矩阵求逆公式adjA A . A r- adjA, : A= detA
1 - 1 - 1- 1- 1环矩阵时定理 表明 仍然是 循环矩阵设由伴随矩阵的定, 2 Ar- , adjA=C(b,rb, ,rb,rb). r0n- 121detA
AAAA- 1- 1- 121 n- 1,1 11 n,1 义有 这正是所要证明的, . , . b= ,rb= ,rb= ,rb= 0n- 121detA detA detA detA
注意定理 需要用到一般 阶 循环矩阵 的行列式公式: : 3 n r- A detA=f()f() f() !!!01n- 1
- 1- 1事实上由定理 的证明有 从而又, , 1 VAV=diag(f(),f(),, ,f()). det(VAV)=f()f() f().!!!!!!01n- 101n- 1- 1故 det(VAV)=detA.detA=f()f() f().!!!01n- 1
定理 对固定的实数 阶可逆 循环矩阵的集合 对矩阵乘法构成一个交换群 复数域上 , 4 rn r- S .
II0 0 n- 1 n- i i n 由数学归纳法易证证明 设 是 阶单位阵特别: Im , F= , . F = . F =rI .!" "!m n 0 0 r rI i
n- 2n- 1 由于 则 是关于 的矩阵多项式所以复数, A=C(a,a, ,a,a).A=f(F)=aI+aF+ +aF +aF F r0n- 1210nn- 121
域上 阶可逆 循环矩阵对矩阵乘法封闭又 的结论即知 是一个交换 结合定理 n r- .I=C(1,0, ,0), 2 S nr
群.
参考文献 :
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施敏雪史美华关于 循环矩阵的若干性质浙江教育学院学报[9],.r- [J]..2005,4:14- 18.
The Inver se Matr ices of r - Cyclic Matr ices
Zhong Xianggui Zeng Lixin
( School of Mathematical Sciences, Guangxi Normal University, Guilin, Guangxi, 541004, China) Abstr act: In this paper, we give some elementary operational methods for evaluating inverse matrices of r- cyclic matrices and some relative questions are discussed. The main results in the references [5] and [6] are improved.
Keywor ds: cyclic matrices; inverse matrices; similar matrices
( 责任编辑张景瑞 )
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