[知识]球冠表面积
计算公式
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计算方法
假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ,对应球半径 R 更关系:r = Rc
osθ,则更球冠积分表达:
球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ
积分下限为θ,上限π/2
所以:S = 2πR*R(1 - sinθ)
其中:R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H
所以:S = 2πRH
S=?dS =?2πr*Rdθ=? 2πR^2*cosθ dθ=2πR^2?cosθ dθ= 2πR*R(1 - sinθ)
注
1》2πR^2中^2为2πR的平方
2》? 要更写上下标,分别为π/2 ,θ
球冠的面积计算公式
推导过程如下:
假定球冠最大开口部分圆的半径为 r ，对应球半径 R 有关系:r =
Rcosθ，则有球冠积分表达:
球冠面积微分元 dS = 2πr*Rdθ = 2πR^2*cosθ dθ 积分下限为θ，上限π/2
所以:S = 2πR*R(1 - sinθ)
其中:R(1 - sinθ)即为球冠的自身高度H 所以:S = 2πRH
球冠概念的
分析
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:1:球冠不是几何体,而是一种曲面,它是球面的一部分,是球面被一个平面截成的,也可以看成由一段弧绕着经过它的一个端点的直径旋转而成的曲面。球冠的任何部分都不能展开平面。
:2:球冠的底面是圆,而不是圆面,故球冠的面积不能包括底面圆的面积。
:3:球面被一个平面截成两个部分,它们都是球冠,其中一个球冠的高小于球的半径,另一个球冠的高大于球的半径。
:4:球冠面积公式S球冠,2πRh对其高小于、等于或大于球
2半径的球冠都适用。球面积公式S球面,4πr可看成球冠面积公式当h,2R的特例。由于同一个球的半径是一个常量,所以球冠面积是它的高的一个正比例函数,即S球冠,f(h) ,2πRh:0，h?2R:。
:5:若用距离为h的两个平行平面去截同一个球面,夹在这两
个平行平面间的部分叫做球带,h叫做球带的高。把球带面积看成其高分别为h1,h2:h1，h2:的两个球冠面积之差,则更S球带,2πRh1,2πRh2,2πR(h1,h2),2πRh,其中为球的半径。
2由此可知,S,tπR可以看成球的表面积、球冠的面积、球带的面积的统一计算公式。这里体现了特殊与一般可以互相转化的基本数学思想。
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