椭圆(知识点)

椭    圆 1.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常数 ，且此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，轨迹是线段F F ，当常数小于 时，无轨迹； 如（1）已知定点 ，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 A．   B．   C． D． 2. 椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程 （标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： 焦点在 轴上时 （ ） （参数方程，其中 为参数），焦点在 轴上时 ＝1（ ）。 方程 表示椭圆 __________________。 如（1）已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为____________； （2）若 ，且 ，则 的最大值是______， 的最小值是______ 3. 椭圆焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 由 , 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 如已知方程 表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是__________ 4. 椭圆的几何性质： （以 （ ）为例） ①范围： ；②焦点：两个焦点 ；③对称性：两条对称轴 ，一个对称中心（0,0），四个顶点 ，其中长轴长为2 ，短轴长为2 ；④准线：两条准线 ； ⑤离心率： ，椭圆 ， 越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆 的离心率 ，则 的值是_______； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为_______ 5、点 和椭圆 （ ）的关系： （1）点 在椭圆外 ；（2）点 在椭圆上 ＝1；（3）点 在椭圆内 6．直线与椭圆的位置关系： 直线与椭圆相交； 直线与椭圆相切； 直线与椭圆相离. 如（1）直线y―kx―1=0与椭圆 恒有公共点，则m的取值范围是_______； （2）求椭圆 上的点到直线 的最短距离__________； 7、焦半径（椭圆上的点P到焦点F的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径 ，其中 表示P到与F所对应的准线的距离。 （1）点P在椭圆 上，它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍，则点P的横坐标为_______；（2）椭圆 内有一点 ，F为右焦点，在椭圆上有一点M，使 之值最小，则点M的坐标为_______； 8、焦点三角形（椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点 到两焦点 的距离分别为 ，焦点 的面积为 ，则在椭圆 中， ① ＝ ，且当 即 为短轴端点时， 最大为 ＝ ； ② ，当 即 为短轴端点时， 的最大值为bc。 如（1）短轴长为 ，离心率 的椭圆的两焦点为 、 ，过 作直线交椭圆于A、B两点，则 的周长为________； （2）椭圆 的焦点为F1、F2，点P为椭圆上的动点，当 · <0时，点P的横坐标的取值范围是    ； 10、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两点A、B，且 分别为A、B的横坐标，则 ＝ ，若 分别为A、B的纵坐标，则 ＝ ，若弦AB所在直线方程设为 ，则 ＝ 。 11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率k=－ . 如（1）如果椭圆 弦被点A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是        ； （2）已知直线y=－x+1与椭圆 相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线L：x－2y=0上，则此椭圆的离心率为_______； （3）试确定m的取值范围，使得椭圆 上有不同的两点关于直线 对称。 特别提醒：因为 是直线与椭圆相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！ 12．你了解下列结论吗？ （1）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆方程可设为 ； （4）椭圆的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； 13．动点轨迹方程： （1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法： ①直接法：直接利用条件建立 之间的关系 ； 如：已知动点P到定点F(1,0)和直线 的距离之和等于4，求P的轨迹方程． ②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数。 ③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程； 如：由动点P向圆 作两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=600，则动点P的轨迹方程为                    ； ④代入转移法：动点 依赖于另一动点 的变化而变化，并且 又在某已知曲线上，则可先用 的代数式表示 ，再将 代入已知曲线得 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 的轨迹方程； 如：动点P是抛物线 上任一点，定点为 ,点M分 所成的比为2，则M的轨迹方程为__________； ⑤参数法：当动点 坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 如（1）AB是圆O的直径，且|AB|=2a，M为圆上一动点，作MN⊥AB，垂足为N，在OM上取点 ，使 ，求点 的轨迹。； （2）若点 在圆 上运动，则点 的轨迹方程是____； 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。 如：已知椭圆 的左、右焦点分别是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足 点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足 （1）设 为点P的横坐标，证明 ； （2）求点T的轨迹C的方程； （3）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使△F1MF2的面积S= 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. ②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响. ③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等. ④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化. 14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容： （1） 给出直线的方向向量 或 ； （2）给出 与 相交,等于已知 过 的中点; （3）给出 ,等于已知 是 的中点; （4）给出 ,等于已知 与 的中点三点共线; （5） 给出以下情形之一：① ；②存在实数 ；③若存在实数 ,等于已知 三点共线. （6） 给出 ，等于已知 是 的定比分点， 为定比，即 （7） 给出 ,等于已知 ,即 是直角,给出 ,等于已知 是钝角, 给出 ,等于已知 是锐角, （8）给出 ,等于已知 是 的平分线。 （9）在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是菱形; （10） 在平行四边形 中，给出 ，等于已知 是矩形; （11）在 中，给出 ，等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）； （12） 在 中，给出 ，等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； （13）在 中，给出 ，等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）； （14）在 中，给出 等于已知 通过 的内心； （15）在 中，给出 等于已知 是 的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）； （16） 在 中，给出 ,等于已知 是 中 边的中线; w.w.w.k.s.5.u.c.o.m www.ks5u.com