数列通项公式总结

数列通项公式总结数列通项公式的求法 —by飞哥把本节内容认真系统的学习完，可以说对于数列求通项公式的内容，乃至高考，只要不出现计算问题，基本都能拿到满分！各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对你有帮助。一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列 ...

数列通项公式的求法 —by飞哥把本节内容认真系统的学习完，可以说对于数列求通项公式的内容，乃至高考，只要不出现计算问题，基本都能拿到满分！各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。本文总结出几种求解数列通项公式的方法，希望能对你有帮助。一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列是递增数列，前n项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式. 解：设数列公差为 ∵ 成等比数列，∴ ，即 ∵ ， ∴ ………………………………① ∵ ∴ …………② 由①②得：， ∴ 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解。例2．已知数列的前项和满足．求数列的通项公式。解：由当时，有 ……，经验证也满足上式，所以点评：利用公式求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。类型1 递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累加法(逐差相加法)求解。 (2004全国卷I.22) 自己做做看已知数列中, ,其中 ……，求数列的通项公式。例3. 已知数列满足，，求。解：由条件知：分别令，代入上式得个等式累加之，即所以，类型2 （1）递推公式为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 (2004全国卷I.15)已知数列{an}，满足a1=1，an=a1+2a2+3a3+…+(n－1)an－1(n≥2)，则{an}的通项例4. 已知数列满足，，求。解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即又，（2）．由和确定的递推数列的通项可如下求得：由已知递推式有，，，依次向前代入，得，简记为，这就是叠（迭）代法的基本模式。（3）递推式：解法：只需构造数列，消去带来的差异．例5．设数列：，求 . 解：设，将代入递推式，得 …（１）则 ,又，故代入（１）得说明：（1）若为的二次式，则可设 ;(2)本题也可由 , （）两式相减得转化为求之. 例6．已知，，求。解：。类型3 递推公式为（其中p，q均为常数，）。解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。 (2006.重庆.14）在数列中，若，则该数列的通项例7. 已知数列中，，，求 . 解：设递推公式可以转化为即 .故递推公式为 ,令，则 ,且 .所以是以为首项，2为公比的等比数列，则 ,所以 . 类型4 递推公式为（其中p，q均为常数，）。（或 ,其中p，q, r均为常数）（2006全国I.22）（本小题满分12分）设数列的前项的和，（Ⅰ）求首项与通项；解法：该类型较类型3要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：引入辅助数列（其中），得：再应用类型3的方法解决。例8. 已知数列中， , ，求。解：在两边乘以得：令，则 ,应用例7解法得：所以类型5 递推公式为（其中p，q均为常数）。解法：先把原递推公式转化为其中s，t满足，再应用前面类型3的方法求解。（2006.福建.理.22）（本小题满分14分）已知数列满足（I）求数列的通项公式；例9. 已知数列中， , , ，求。解：由可转化为即或这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以 ,应用类型1的方法，分别令，代入上式得个等式累加之，即又，所以。类型6 递推公式为与的关系式。(或 ) 解法：利用进行求解。 (2006.陕西.20) (本小题满分12分) 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an 例10. 已知数列前n项和 . （1）求与的关系；（2）求通项公式 . 解：（1）由得：于是所以 . （2）应用类型4的方法，上式两边同乘以得：由 .于是数列是以2为首项，2为公差的等差数列，所以类型7 双数列型解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。例11. 已知数列中，；数列中，。当时， , ，求 , . 解：因所以即 …………………………………………（1）又因为所以 …… .即 ………………………（2）由（1）、（2）得：，总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中. 一定要学会总结，在本节的内容中，会有很多容易混淆的地方，如果不及时总结、复习，上完课的作用也发挥不出极致，所以还是希望你能够在课堂的基础上，课下按照本节的学习内容顺序，把讲过的每个例题再做一遍，边做，边思考总结方法！期待你能在数列内容有一个新的飞跃！

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