[重点]初探三角函数图像的平移变换

[重点]初探三角函数图像的平移变换[重点]初探三角函数图像的平移变换初探三角函数图像的平移变换江苏王怀学 1、利用函数图像平移变换规律研究同名三角函数图像平移问题 ,,,,,,例1、为了得到函数的图象，可将函数的图象yxsin2sin2yx,，,,,,,,66,,,, ,,A(向右平移个单位 B(向左平移个单位 1212 ,,C(向右平移个单位 D(向左平移个单位 66 解析:利用三角函数图像平移变换规律，即“左加右减，上加下减”，分别对A 、B、C选项进行逐个验证，只有C成立。点评:两个函数名称相同，可以直接用图像平移变换规律，...

[重点]初探三角函数图像的平移变换初探三角函数图像的平移变换江苏王怀学 1、利用函数图像平移变换规律研究同名三角函数图像平移问题 ,,,,,,例1、为了得到函数的图象，可将函数的图象yxsin2sin2yx,，,,,,,,66,,,, ,,A(向右平移个单位 B(向左平移个单位 1212 ,,C(向右平移个单位 D(向左平移个单位 66 解析:利用三角函数图像平移变换规律，即“左加右减，上加下减”，分别对A 、B、C选项进行逐个验证，只有C成立。点评:两个函数名称相同，可以直接用图像平移变换规律，即“左加右减，上加下减” ,,,的图象验证。还要记住左右平移变换，仅仅对x本身进行改变，如将函数sin2yx,，,,6,, ,,,,,向右平移个单位，得到。 yxsin2(),,，,,666,, 2、异名三角函数图象平移一般要化为同名函数 ,y,sin(2x,)例2、为了得到函数的图象，可以将函数的图象( B )y,cos2x6 ,,A(向右平移个单位长度 B(向右平移个单位长度 63 ,,C(向左平移个单位长度 D(向左平移个单位长度 63 ,,,y,sin(2x,)yx,,，cos(2)解析:将函数解析式化成余弦函数，得626 2,,,,,,,cos(2)cos2()xx。将函数的图象向右平移个单位长度，可得y,cos2x333 ,y,sin(2x,)到函数的图象。 6 点评:当平移前后函数名称不同，一般将函数是复杂的函数名化成较为简单的函数名。转化中，主要运用诱导公式，本题转换方法还有三种: ,,,,yxxx,,，,,,，,,，cos(2)cos(2)cos2()(1); 2636 355,,,,(2);,,,，,,,，,,,yxxxcos(2)cos(2)cos2()2636 342,,,,(3) ,，,,，,，yxxxcos(2)cos(2)cos2()2633 ,例3(2005天津卷)要得到函数的图象，只需将函数y,2sin(2x，)y,2cosx4 的图象上所有的点的 ,1(A)横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度28 ,1(B)横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度24 ,(C)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动个单位长度4 ,(D)横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动个单位长度8 ,,,,y,2sin(2x，)2cos(2),,,x2cos(2)x,解析:=，再搞清楚是将4424 ,yx,,2cos(2)变换成，首先是横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，y,2cosx4 ,,,,yx,,2cos()yx,,2cos(),得到，再向左平行移动个单位长度，使中的4444消失，得到。答案 :(C). y,2cosx 3、利用向量的几何意义例4、若函数 ,,，，y,2sinx，的图象按向量(,2)平移后，它的一条对称轴是x,，,64 ,则的一个可能的值是( ) ,,,,5A、 B、 C、 D、 121236 ,,yx,,，，2sin()2解析:得,yx,，2sin(,2)的图象按向量平移后，，，,66 ,,,,,,x它的一条对称轴是，,sin()1,，,,,，,，,kkZ(),,,则，解得446462 5,。答案:A。 ,，,kkZ(),,12 点评:向量几何意义，即向量起点落在原点，中点坐标及时向量的坐标。函m,(h, k) 数图像按向量平移，可以分解为沿 x轴、y轴两个方向平移的合成。显然向量m,(h, k) 横坐标是正(负)数，则图像向右(左)平移，向量纵坐标是正(负)数，则图像向上(下) 平移。这样将函数图像按向量平移，转化为函数图像的平移问题，最终运用函m,(h, k) 数图像的平移关系规律，研究三角函数平移变换问题。例5、设函数f(x)=a?b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， 3sin2x)，x?R. ,,3(?)若f(x)=1,且x?[,，]，求x; 33 ,(?)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(mn)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象，，2求实数m、n的值. ,23解:(?)依题设，f(x)=2cosx+sin2x=1+2sin(2x+). 6 ,,33由1+2sin(2x+)=1,，得sin(2 x +)=,. 662 ,,,,,,,,5?-?x?，?-?2x+?，?2x+=-，即x=-. 33266634(?)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x,m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象. ,,,由(?)得 f(x)=2sin2(x+)+1.?|m|<，?m=-，n=1. 12212 4、利用平移变换公式 ,f(x),Asin(,x，,) (A,0, ,,0, |,| ,)例6、已知函数的图象(部分)2 如图所示. (1) 求函数的解析式; f(x) 1,g(x),1，sinx( |h| , )(2) 若函数的图象按向量平移后得到函m,(h, k)22 数的图象, 求向量m。 y,f(x) 212,1A,1.,,,T,4(,，,),4,,解: (1)根据图象,?周期?.T233 2,x,,sin(，,),1当时, y,1,?. 33 1,,,|,| ,,,,,f(x),sin(x，). ?? ?6226 11(2)函数的图象按向量平移后,得到g(x),1，sinxy,k，1，sin(x,h),m,(h, k)22 1,,即的图象? f(x),sin(x，),|h| ,,y,f(x)226 ,,?, ? h,,,k,,1m,(,, ,1)33 ,,点评:设函数的图象上任一点,函数的图象上对应点，由 ygx,()(,)xyy,f(x)(,)xy,,xxh,，xxh,,,,11,,，得到代入，即 y,k，1，sin(x,h),ykxh,,，,1sin(),,,,22yyk,,yyk,，,, 1,该函数解析式与函数为同一式子。利用平移变换公式，注意准确区分f(x),sin(x，).26 平移前后的函数解析式，不能混淆。另一方面，函数图像平移规律与按向量平移是统一的。函数的图象按ygx,() 平移，得，将该解析式变形后，m(, )(0,0),,,hkhkykgxh,,,() ，用函数图像平移变换规律理解，函数的图象向右h，向上加得ygxhk,,，()ygx,()k,也能得到函数的图象。向量横坐标是正数h，图像向右平移h个单位，这ygxhk,,，() xh,与“右减”是相符的，因为“右减”中的减是指中的减，不是h本身的负号。

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