《基础拓扑学试卷》
试卷6 一、填空题(每小题2分，共20分)
1. 设拓扑空间存在可数子集使得, 则称为一个_______________空间. DX,DXX2. 拓扑空间的每一个有限集是闭集当且仅当是___________________空间. XX3. 可分度量空间的每一个子空间都是___________空间. 4. 在_____________空间中, 一个子集是闭集的充分必要条件是是紧的. BB
5. 一个拓扑空间, 如果__________________, 就称为满足第二可数公理的空间. (,)X,
WxX,6. 设为度量空间, 如果存在____________, 则称集合是点的一个邻域. X
7. 仅含有有限个点的拓扑空间是可度量化的空间当且仅当它是__________空间.
n,18. 设是个拓扑空间的积空间, 是拓扑空XXXX,，，，？XXX,,,？Y12n12n
间, pXX:,是投射, 则映射是连续映射当且仅当对于每一个fYX:,jj
pfYX,:,, 复合映射是________________________. jn,1,2,,？jj
是局部连通的充分必要条件是的任何一个开集的任何一个连通分支9. 拓扑空间XX
都是___________________.
n10. 给出的一个可数基如下: ____________________________________. R
二、单项选择题 (每小题2分, 共20分)
A11. 设是拓扑空间, 下面不正确的命题是( ) A. 若是紧的, 则是可数紧的. AA
B. 若是可数紧的, 则是列紧的. AA
AC. 若是序列紧的, 则是可数紧的. A
D. 若是列紧的Lindelöf空间, 则是紧的. AA
fXY:,12. 设和是拓扑空间, 映射是连续开映射, 则由此得到正确的结论是( ) XY
fA. 映射不一定是同胚映射.
fB. 映射是一对一的连续映射.
fC. 映射是连续闭映射.
fD. 映射一定不是闭映射.
{}x13. 设X是拓扑空间, 是X中的序列, 则下面正确的命题是( ) n
{}xA. 若在X中收敛, 则极限唯一; n
B. 若是第一可数的, 在中收敛, 则极限唯一; {}xXXn
C. 若是空间, 在中收敛, 则极限唯一; T{}xXX2n
D. 若是正则空间, 在中收敛, 则极限唯一. {}xXXn
14. 设集合, 那么下面______________不是上的拓扑. X,{1,5,3}X
A. {{1},{1,5},,},X
B. {{5},,},X
C. {{1},{1,5},{5,3},,},X
D. {{5},{5,3},,},X
15. 设是拓扑空间, 下面不正确的命题是( ) X
A. 若满足第二可数公理的性质, 则满足第一可数公理的性质. XXB. 若满足第二可数公理的性质, 则是可分的. XXC. 若是可分的度量空间, 则是Lindelöf的. XX
是Lindelöf空间, 则是可分的. D. 若XX
16. 是非空的连通的拓扑空间, 下面不正确的命题是( ) X
,. 中不存在一个既开且闭的非空的子集. X
XAB,:,. 中不存在两个非空的开集与使得且与不相交. XABAB
XAB,:,. 中不存在两个非空的闭集与使得且与不相交. XABAB
XAB,:,. 中不存在两个非空的隔离子集与使得. XAB17. 设是拓扑空间, 下面正确的命题是( ) X
A. 若正规空间, 则是T空间. XX1
B. 若是空间且正则, 则是T空间; TXX01C. 若是正规空间, 则是正则空间; XX
TD. 若是正则空间, 则是空间. XX1
fX:,R18. 设为拓扑空间, 为实数空间, 为连续映射的充分必要条件是( ) XR
,1A. 对任意实数是的闭集. Xcfc,([,))，,
,1B. 对任意实数是的闭集. Xdfd,((,]),,
,1C. 对任意实数是的闭集. Xcdfcd,,([,])
,1D. 对R中任意闭集是X的闭集. BfB,()
19. 设为拓扑空间, 关于的积拓扑, 下面不正确的命题是( ) XY,XY，
A. 若连通, 则连通. XY,XY，
B. 若是紧的, 则也是紧的. XY,XY，
C. 若是可分的, 则可分. XY,XY，
D. 上述三个命题至少有一个错的.
20. 以下正确的命题是( )
A. 满足第一可数公理的性质是遗传性质. B. 紧性是遗传性质.
C. 可分性质是遗传性质.
D. Lindelöf性质是遗传性质.
三、简答题 (每小题5分, 共20分)
21. 若为拓扑空间, 为的子集. 证明: 为的凝聚点当且仅当为的凝聚Ax,{}xxAAXX
点.
22. 设为拓扑空间, 为的子集. 证明: . AXXAA,23. 证明:在一维实数空间的子空间中, 是开集. (0,2](1,2]R
24. 叙述Tietze扩张定理.
四、反例论证题 (本题10分)
25. 举例说明存在这样的拓扑空间, 它是正规的但不是空间. TX0五、论证题 (每小题15分, 共30分) 26. 设XY,fXY:,为拓扑空间, 映射在点xX,连续等价于:有一个邻域子基fx()00
,1MUM,, 使得对于任何, 原像是的一个邻域. 请证明. xfU()yy027. 证明: Hausdorff空间中每一个紧集都是闭集.
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