“一题多解”与“一题多变”及其教学

“一题多解”与“一题多变”及其教学 “一题多解”与“一题多变”及其教学 ——读《一道中考试题的多思路求解》的联想 周继光 【专题名称】中学数学教与学(初中读本) 【专 题 号】G351 【复印期号】2009年11期 【 原文 少年中国说原文俱舍论原文大医精诚原文注音大学原文和译文对照归藏易原文 出处】《数学教学》(沪)2009年7期第3,6页 【作者简介】周继光，上海周继光工作室(200025)。 看了浙江嵊州市阮庙中学施良红老师在《数学教学》2009年第2期发 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 的文章《一道中考试题的多思路求解》后，对“一题多解”“一题多变”及“多题一解”有所联想。 施老师在该文(下称“原文”)中对2008年广州市中考试题中第24题的第(3)题进行了评析，并给出了五种解法。该试题的题目是: 如图1，扇形OAB的半径OA=3，圆心角?AOB=90?，点C是弧AB上异于A、B的动点，过点C作CD?OA于点D，作CE?OB于点E，连接DE，点G、H在线段DE上，且DG=GH=HE， (1)求证:四边形OGCH是平行四边形。 (2)当点C在弧AB上运动时，在CD、CG、DG中，是否存在长度不变的线段,若存在，请求出该线段的长度。 (3)求证:是定值。 图1 一、一题五解，钻研精神可嘉 笔者从《08全国中考试题集锦》(华东师范大学出版社2008年7月出版)一书中得知:原命题者给出的参考解答恰为原文中的方法三。施老师对该题的解答不是“人云亦云”，也不迷信“ 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 答案”。而是经过独立思考，得出该题的五个解法(见原文)。施老师在前两个解法中设CD=x，用x的代数式来表示，得出。从而求出 ，学生容易接受。虽然该题的参考答案(即原文中的方法三)也是这个思路，但表述不如前两个解法简洁、明了。 现在有些老师在初中数学总复习时，为了对付中考的“压轴题”，成了历年全国各地中考压轴题的“搬运工”，把题目的解答“照本宣科”，塞给学生，使得学生负担很重，而且还不得要领。从这个意义上说，我们要学习施老师的做法，对这些中考压轴题作一番分析和思考。我想，凡是要给学生讲的或让学生做的题，教师先做一遍是有好处的，这样不但能提高教学的效果，而且还能“教学相长”，提高教师自己的水平。 二、各种解法，源于同一思路 笔者体会施老师在原文中提出的五个解法，还不能算是该题的“多思路求解”，而只是“一题多解”。该题的核心是在“点C是在上异于A、B的动点”的条件下，求证的值是一个常数。原文的五个解法中，设CD=x，用x的大小来刻画动点的位置，很自然想到用x的式子来表示，写出随x变化的函数的解析式，用函数作为工具解决问题。所以施老师的五种解法其实质是在“变化”中寻求“不变”的思路引领下的不同方法(途径或手段)而已 三、解题教学，关键在于 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 规律 在解题教学中，“一题多解”虽能调动学习的积极性，但要适度。“多解”不是目的，从“多解”中寻求解决问题的一般规律，让学生能够理清思路，掌握方法，运用它来“举一反三”，解决其他同类问题，这才是我们要追求的目标。“一题多解”作为教学手段，切忌贪“多”、求“全”，尤其要注意引导学生对各种解法进行比较，寻求最佳解法。例如原文中的“方法四”，所谓“面积法”，在计算时出现了x的四次式，并不简便。而且得出 ED?CK=CD?CE， 并非只有用面积公式一条路，也可以通过锐角三角比得出: 如图2，在Rt?ECD中， 图2 又如原文中的“方法五”也不简便。在解的过程中，先要证明，其实这是勾股定理的推广，在上世纪六十年代的初中几何课本中有这个定理，现在已被删减。事实上这个定理是可以用余弦定理推出的，但余弦定理属于高中阶段教学 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 ，在教学中也不宜给一般的初中生作介绍。 俗话说:“要给学生一杯水，教师要有一桶水。”但是，如果教师有了一桶水，那么倒给学生哪杯水,怎样倒法不至于把水倒出杯外,要讲究教学的方法，就需要教学的艺术。 四、巧妙解法，源于基本思路 从上面分析得出的基本思路着手，对原文的“方法五”加以改进，可以得出一个简单的解法: 分析题意，如图3，在矩形OECD中，连接OC，?CED=?COA=α，而点C在上的位置，不仅可以由CD的长来决定，也可以由?COA=α决定。如果我们用α的大小来刻画动点C的位置，一个“新”的解法就会爆出来。 如图3，设?ODE=α。过点G作GM?OA于点M。 因为?CED=?ODE=α， 所以CD=DE。sinα=OC?sinα=3sinα。 在Rt?ODE中， OD=DE?COSα=3cosα。 图3 上面的解法，与原文中的五个解法比较，不仅源于同一思路，而且所用的知识也是相同的，一是勾股定理，二是比例与相似或锐角三角比，即使用锐角三角比来解，所用的公，本质上也是由勾股定理得出的。一般解题中所用的知识载体是由已知条件决定的，已知中的矩形条件决定了要用到勾股定理。已知中的等分线段(即DG=GH=HE)条件决定了要用到比例线段或相似三角形，可见分析题意在解题中至关重要。 五、题目“变式”，中考命题秘籍 在中考复习中，猜题、押题不可取。纵观全国各省市中考数学试卷的压轴题，层出不穷，年年翻花头，但是万变不离其宗，大多是陈题变式而来，算是“推陈出新”。以原文提出的广州市2008年第24题为例，我们介绍几个“陈题”以供欣赏。 题1 (上海市2000年中考压轴题)如图4(下页)，在半径为6，圆心角为90?的扇形OAB的上，有一个动点P，PH?OA，垂足为H，?OPH的重心为G。 (1)当点P在上运动时，线段OG、GP、GH中有无长度保持不变的线段,如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度。 (2)设PH=x，GP=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域。 (3)如果?PGH是等腰三角形，试求线段PH的长。 图4 题2 如图5，已知在中，G、H是对角线DE上的两点，且DG=HE。 求证:四边形OGCH是平行四边形。 图5 在各种版本的初中数学教材中一般都有这道题，如上海市九年义务教育课本数学(八年级第二学期)第4-22节例6。把题2的已知条件特殊化:四边形ODCE由平行四边形改为矩形，把DG=HE改成为DG=GH=HE，并把它放到中心角为90?的扇形中，就变成了广州中考压轴题的第(1)题。 广州市2008年的中考题与上海市2000年的压轴题类似，它的第(1)题又是课本中题目变化而来，这不是个别现象，在近年更是屡见不鲜。 图6 值得指出课本中的题目虽然简单，但也很有价值，如上题可以应用平行四边形的定义和四个判定定理得到五个不同的证法。原文中题(1)的解法，如图6所示虽需要添置辅助线，但它是几种解法中的最佳解法。它和一些难题一样，蕴含着较高的思维价值。因此，我们在中考复习时要重视课本中例题和习题在培养学生思维能力中的作用，也要重视在历年中考试题的填空、选择题中精选一些思维含量较高的题，不妨抬高它的“身价”，改为简答题，让学生思考、练习。不要老是盯着“难题”，“简单”题目中往往蕴含着重要的思想方法，培养学生思维能力仅靠做难题，得不偿失。 六、“一题多变”，钻研题目无止境 前面用改变已知条件的方法，把“课本题”变为“中考题”，有时还可以在同样的已知条件下衍生出新的结果，编出新的题目来。例如原文中的广州市中考试题，在原有的条件下，除了是定值外， 等也都是定值。“一题多变”，题目钻研真是无止境。 由此可见这些结论都是一脉相通的，也让我们看到初中数学中的一些“难题”是怎么编造出来的～ 七、移花接木，巧解“上海考题” 上面，我们曾用锐角三角比巧解广州中考题，现在我们移花接木，也用锐角三角比来解一道上海的中考题。 题目 (上海市2008年中考试卷第24题)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数的图像经过点A(-1，0)，顶点为B。 (1)求这个二次函数的解析式，并写出顶点B的坐标。 (2)如果点C的坐标为(4，0)，AE?BC，垂足为点E，点D在直线AE上，DE=1。求点D的坐标。 第(1)题容易解得b=2，将解析式右边配方，得点B的坐标为B(1，4)，解法从略。这里着重分析第(2)题的解题思路。 命题者已给出了一个参考解答(本文略)，详见华师大出版社出版的《08全国中考试题集锦》一书上海卷的参考解答(该书第133页)。我们给出它的另一种解法: 如图7，过点B作BF?OC于点F，由已知及(1)的结果可知:AC=BE，易证:?BCF??ACE，得AE=BF=4。 因为?EAC=?CBF， 图7 虽然这道上海考题与原文中的广州考题命题的背景不同，但它们都可以归结为直角三角形中线段长度的计算问题，在这类问题中，锐角三角比有用武之地，因为锐角三角比的概念由相似而来，所以在直角三角形中，凡能通过相似计算线段长的问题，一般都可以用三角比来简化计算，这也是初中教学锐角三角比的一个重要目的之一，从中告诉我们，在总复习教学中，更要注意引导学生巧用、活用学过的知识。^NU1DA20100120