对数指数函数公式全集　

指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 x 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数在yayx,,，log aa,1及01,,a两种不同情况。 1、指数函数: x 定义:函数叫指数函数。 yaaa,,,01且，， ，底数是常数，指数是自变量。 定义域为R x 为什么要求函数中的a必须。 ya,aa,,01且 1xa,0y,,4 因为若时，，当时，函数值不存在。 x,，，4 xa,0x,0 ，，当，函数值不存在。 y,0 xa,1 时，对一切x虽有意义，函数值恒为1，但y,1 xx的反函数不存在， 因为要求函数中的y,1ya, 。 aa,,01且 x1,, xx 1、对三个指数函数yyy,,2，，,10的图象的,, ,,2 认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 (1)图象都位于x轴上方; xa,0(1)x取任何实数值时，都有; x,0y,1(2)无论a取任何正数，时，; (2)图象都经过点(0，1); xxx,xa,,01，则(3)在第一象限内的纵坐yy,,210，,a,1时， (3)当,x,xa,,01，则标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，, xx,xa,,01，则1,,,01,,a 当时， y,的图象正好相反; ,,,,,x2,xa,,01，则, xxxa,1(4)的图象自左到右逐渐(4)当时，ya,是增函数， yy,,210， x01,,aya,当时，是减函数。 1 x1,,上升，y,的图象逐渐下降。 ,,,,2 对图象的进一步认识，(通过三个函数相互关系的比较): xxx ?所有指数函数的图象交叉相交于点(0，1)，如和相交于，当x,0时，y,2y,10()01，y,10 22,,22x的图象在的图象的上方，当x,0，刚好相反，故有102,及102,。 y,2 x1,,x ?与y,的图象关于y轴对称。 y,2,,,,2 x1,,xxx ?通过，，y,三个函数图象，可以画出任意一个函数()的y,2y,10ya,aa,,01且,,,,2 x1,,xxx示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中间，且过点，从而y,也由y,3y,2y,10()01，,,,,3 x1,,y,关于y轴的对称性，可得的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 ,,,,3 2、对数: b 定义:如果，那么数b就叫做以a为底的对数，记作(a是底数，N 是aNaa,,,()01且bN,loga真数，logN是对数式。) a bNa,,0 由于故logN中N必须大于0。 a 当N为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: ,,52 求log ,,032.4,, ,,52 分析:对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log，再改写为指数式就,x,,032.4,,比较好办。 ,,52log 解:设 ,x,,032.4,, 2 52x则032.,4 1,x288,,,,即,,,,,,,,,2525 1?x,,2 ,,521即log,,,,032.42,, 评述:由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题，因此必须因题而异。 x35,x如求中的，化为对数式即成。 x,log53 (2)对数恒等式: b 由 aNbN,,()log()12 logNaaaN, 将(2)代入(1)得 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 ,log21 计算: 33，， 1log,122,log11,,232,,3 解:原式。 3,, ,,3 (3)对数的性质: ?负数和零没有对数; ?1的对数是零; ?底数的对数等于1。 (4)对数的运算法则: ， ?logloglogMNMNMNR,，,， ，，，，aaa M，n ?logloglog， ，，aaa ,,,MNMNR，loglogNnNNR,, ? ，，，，aa n N1， ?loglogN,,NNR ，，aa n 3、对数函数: x 定义:指数函数yaaa,,,()01且的反函数 x,，,(,)0yx,log叫做对数函数。 a 1、对三个对数函数yxyx,,loglog，， 21 2yx,lg的图象的认识。 图象特征与函数性质: 3 图象特征 函数性质 +(1)图象都位于 y轴右侧; (1)定义域:R，值或:R; (2)图象都过点(1，0); (2)x,1时，。即; y,0log10,a a,1时，若x,1，则，若(3)当y,0(3)，当时，图象x,1yx,logyx,lg201,,x，则; y,0 当01,,a时，若x,0，则，若y,0在x轴上方，当00,,x时，图象在x轴下 01,,x时，则; y,0方，与上述情况刚好相反; yx,log1 2 a,1时，是增函数; (4)yx,log(4)从左向右图象是上yxyx,,loglg，a2 升，而从左向右图象是下降。 yx,log101,,a时，是减函数。 yx,loga2 对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较): x,0 (1)所有对数函数的图象都过点(1,0)，但是与在点(1,0)曲线是交叉的，即当yx,logyx,lg2 01,,x时，的图象在的图象上方;而时，的图象在的图象的下方，yx,logyx,lgyx,logyx,lg22故有:;。 log.lg.1515,log.lg.0101,22 (2)的图象与的图象关于x 轴对称。 yx,logyx,log21 2 (3)通过yx,log，yx,lg，yx,log三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的示意图，如21 2 x,0作的图象，它一定位于和两个图象的中间，且过点(1,0)，时，在yx,logyx,logyx,lgyx,lg32 01,,x的上方，而位于yx,log的下方，时，刚好相反，则对称性，可知yx,log的示意图。 21 3 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式: logNa logN,b logba 10LNNeN,,log(.)其中…称为的自然对数271828ne 由换底公式可得: lgNlgN LNN,log称为常数对数gLN,,,2303.lgN n lge04343. 由换底公式推出一些常用的结论: 1 (1)logb,,或?loglogba1 aab logabmmloglogb,b (2) naann loglogbb, (3) ana 4 mm (4) loga,nan 5、指数方程与对数方程* 定义:在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。 指数方程的题型与解法: 名称 题型 解法 基本型 fx，，为底的对数 取以afxb,log，，ab,a 同底数型 fxx()(),不同底数型 aa, 取以为底的对数 afxx,,，，，，需代换型 fxx,，，，，ab, 取同底的对数化为 fxaxb??lglg,,，，，， F,0 xa，，xta,t换元令转化为的代数方程 对数方程的题型与解法: 名称 题型 解法 基本题 blogfxb, 对数式转化为指数式fxa, ，，，，a 同底数型 转化为fxx,,(必须验根) loglogfxx,,，，，，，，，，aa 需代换型 F,0 换元令tx,log转化为代数方程 (log)xaa 5