初中数学竞赛辅导资料6

初中 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 竞赛辅导资料6 初中数学竞赛辅导资料(51) 待定系数法 甲内容提要 1. 多项式恒等的定义:设f(x) 和g(x)是含相同变量x的两个多项式，f(x)?g(x) 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示这两个多项式恒等.就是说x在取值范围内 ，不论用什么实数值代入左右的两边，等式总是成立的. 符号“?”读作“恒等于”，也可以用等号表示恒等式. 例如: 222(x+3)=x+6x+9, 5x,6x+1=(5x,1)(x,1), 3x,39x,70=(x+2)(x+5)(x,7). 都是恒等式. 根据恒等式定义，可求恒等式中的待定系数的值. 例如: 2已知:恒等式ax+bx+c=2(x+1)(x,2). 求:?a+b+c ; ?a,b+c. 解:?以x=1， 代入等式的左右两边，得a+b+c,,4. ?以x=,1，代入等式的左右两边，得a,b+c,0. 2. 恒等式的性质:如果两个多项式恒等，则左右两边同类项的系数相等. ,,nn1nn1 即 如果 ax+ax+„„+ax+a= bx+bx+„„+bx+b ,,01n1n01n1n 那么 a=b， a=b，„„， a=b， a=b. ,,00 11 n1n1 nn22上例中又解: ?ax+bx+c=2x,2x,4. ?a=2, b=,2, c=,4. ?a+b+c,,4， a,b+c,0. 3. 待定系数法:就是先假设结论为一个含有待定系数的代数式，然后根据恒等式定义和性质，确定待定系数的值. 乙例 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 2x,x，2ABC,，，例1. 已知: x(x,3)(x，2)xx,3x，2 求:A，B，C的值. 解:去分母，得 2x,x+2=A(x,3)(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x,3). 根据恒等式定义(选择x的适当值，可直接求出A，B，C的值)， 1 当x=0时， 2,,6A. ?A,,. 3 8当x=3时， 8,15B. ?B,. 15 4当x=,2时， 8,10C. ?C,. 5 本题也可以把等号右边的代数式，整理成为关于x的二次三项式，然后用恒等式性质:“左右两边同类项的系数相等”，列出方程组来解.(见下例). 32例2. 把多项式x,x+2x+2表示为关于x,1的降幂排列形式. 解:用待定系数法: 3232设x,x+2x+2=a(x,1)+b(x,1)+c(x,1)+d 182 把右边展开，合并同类项(把同类项对齐)， 3232得 x,x+2x+2=ax,3ax+3ax,a 2 +bx,2bx+b +cx,c +d 用恒等式的性质，比较同类项系数， a,1a,1,,,,,3a，b,,1b,2,,得 解这个方程组，得 ,,3a,2b，c,2c,3,,,,,a，b,c，d,2d,4,,3232?x,x+2x+2=(x,1)+2(x,1)+3(x,1)+4. 本题也可用换元法: 设x,1=y, 那么x=y+1. 把左边关于x的多项式化为关于y 的多项式，最后再把y换成x ,1. 432例3. 已知:4x+ax+13x+bx+1是完全平方式. 求: a和b的值. 43222解:设4x+ax+13x+bx+1,(2x+mx?1)(设待定的系数，要尽可能少.) 右边展开，合并同类项，得 4324322 4x+ax+13x+bx+1,4x+4mx+(m?4)x?2mx+1. 比较左右两边同类项系数，得 a,4ma,4m,, ,,22方程组; 或. m，4,13m,4,13,, ,,b,2mb,,2m,, ,,a,12a,,12a,417 a,,417,,,,或或或解得. ,,,,b,6b,,6,,b,,217b,217,,,,例4. 推导一元三次方程根与系数的关系. 32解:设方程ax+bx+cx+d=0(a?0)的三个根分别为x, x, x 123. bcd23原方程化为x+. x，x，,0aaa ?x, x, x是方程的三个根. 123 bcd23?x+(x,x) (x,x) (x,x). x，x，,123aaa 把右边展开，合并同类项，得 bcd2332x+=x,( x+xx)x+(xx+xx+xx)x,xxx. x，x，,12+3121323123aaa 比较左右同类项的系数，得 一元三次方程根与系数的关系是: 　b　cdx+xx=,， xx+xx+xx,， xxx,,. 12+3121323123aaa 183 32例5. 已知:x+px+q 能被(x,a)整除. 32求证:4p+27q=0. 32证明:设x+px+q,(x,a)(x+b). 33222x+px+q=x+(b,2a)x+(a,2ab)x+ab. b,a,?20, ,2 2a,ab,p?, ,2ab,q?, 2,p,,3a, 由?得b=2a， 代入?和?得 ,3,,q2a, 322332 ?4p+27q,4(,3a)+27(2a) 66=4×(,27a)+27×(4a)=0. (证毕). 24 242例6. 已知:f (x)=x+bx+c是g (x)=x+6x，25的因式，也是q (x)=3x+4x+28x+5 的因式. 求:f (1)的值. 解:?g (x),q (x)都能被f (x)整除,它们的和、差、倍也能被f (x)整除. 为了消去四次项，设g (x),q (x),kf (x), (k为正整数). 22即14x,28x+70,k (x+bx+c) 22 14(x,2x+5),k (x+bx+c) ?k=14, b=,2, c=5. 2即f (x)=x,2x+5. ?f (1)=4 . 5例7. 用待定系数法，求(x+y) 的展开式 解:?展开式是五次齐次对称式， 555443223?可设(x+y),a(x+y)+b(xy+xy)+c(xy+xy) (a, b, c是待定系数.) 当 x=1,y=0时， 得a=1; 当 x=1,y=1时， 得2a+2b+2c=32，即a+b+c=16 当 x=,1,y=2时， 得31a,14b+4c=1. a,1, ,a，b，c,16得方程组 , ,31a,14b，4c,1, a,1, ,b,5解方程组，得 , ,c,10, 554322345?(x+y),x+5xy+10xy+10xy+5xy+y. 184 丙 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 51 　2x,3ab1. 已知. 求a, b的值. ,,2x，2x，4x，6x，8 24x,3x，5ABC2. 已知:. 求:A，B，C的值. ,，，22x,1x，2(x,1)(x，2)(x,1) 4—323. 已知: x6x+13x,12x+4是完全平方式. 求:这个代数式的算术平方根. 3224. 已知:ax+bx+cx+d 能被x+p整除. 求证:ad=bc. 325. 已知:x,9x+25x+13=a(x+1)(x,2)(x,3) =b(x,1)(x,2)(x,3) =c(x,1)(x+1)(x,3) =d(x,1)(x+1)(x,2). 求:a+b+c+d的值. 6. 试用待定系数法，证明一元二次方程根与系数的关系(即韦达定理). 327. 用x,2的各次幂表示3x,10x+13. 228. k取什么值时，kx,2xy,y+3x,5y+2能分解为两个一次因式.. 229. 分解因式:?x+3xy+2y4x+5y+3; 42?x+1987x+1986x+1987. 10. 求下列展开式: 36 ? (x+y); ? (a+b+c). 22222211. 多项式xy,yz+zx,xz+yx+zy,2xyz因式分解的结果是( ) (A) (x+y)(y,z)(x,z) . (B) (x+y)(y+z)(x,z). (C) (x,y)(y,z)(x+z). (D) (x,y)(y+z)(x+z). 443243212. 已知( a+1)=a+4a+6a+4a+1, 若S=(x,1)+4(x,1)+6(x,1)+4x,3. 则S等于( ) 4444(A) (x,2) . (B) (x,1) . (C) x . (D) (x+1). (1988年泉州市初二数学双基赛题) 32ax,5x，bx，c13( 已知:的值是恒为常数求:a, b, c的值. 322x,10x，3x,4 185