命题与证明 平行四边形

命题与证明 平行四边形 网址: 命题与证明 平行四边形 ?命题与证明 【直击中考】 一、选择题 1、(2011北京四中模拟7)有下面命题:(1)直角三角形的两个锐角互余;(2)钝角三角形的两个内角互补;(3)正方形的两条对角线相等;(4)菱形的两条对角线互相垂直。其中，正确的命题有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. (2011年北京四中中考全真模拟16)下列命题中正确的是( ) A、因为2的平方是4，所以4的平方根是2; B、因为-4的平方是16，所以16的负的平方根是-4; C、因为任何数的平方都是正数，所以任何数的平方根都是正数. D、任何数的算术平方根都是正数. 5. (2011年江苏盐城)下列命题中，错误的是 ( ) A.三角形两边之差小于第三边 B.四边形的外角和是360: C.正五边形既是轴对称图形，又是中心对称图形 D.连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得到的四边形是矩形 6.(2011浙江杭州模拟14)下列命题中的真命题是( ). A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 中心对称图形都是轴对称图形 C. 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 D. 等腰梯形是中心对称图形 7.(2011浙江杭州模拟16)下列命题正确的有 ( )个 0?40角为内角的两个等腰三角形必相似 0?若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的底角为75 ?一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 222?一个等腰直角三角形的三边是a、b、c，(a>b=c)，那么a?b?c=2?1?1 222?若?ABC的三边a、b、c满足a+b+c+338=10a+24b+26c，则此?为等腰直角三角形。 A、1个 B、2个 C、3个 D、4个 228(( 2011年杭州三月月考)已知下列命题:?若，则;?若，则;?直角三角ab,ab,,00，ab，,0ab,形斜边上的中线等于斜边的一半。?菱形的对角线互相垂直(其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) (A)4个 (B)3个 (C)2个 (D)1个 229((2011年杭州市上城区一模)已知下列命题:?若，则;?若，则;?角平分ab,ab,,00，ab，,0ab,线上的点到这个角的两边距离相等;?平行四边形的对角线互相平分;?直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.其中原命题与逆命题均为真命题的是( ) A. ? ?? B. ??? C. ??? D. ??? 三、解答题 1((2011年上海市卢湾区初中毕业数学模拟试题) 已知:如图，梯形中，AD?，E是的中点，ABCDBCBCAD ，,，BEADEAAEBD，联结、相交于点F，. BDCD, (1)求证:; AECD,FABED(2)求证:四边形是菱形. CBE (第1题图) 2.(2011浙江杭州育才初中模拟)请写出“全等三角形的对应角相等”的逆命题，判断此逆命题的真假性，并给出证明. 网址: (原创) 3.(2011浙江慈吉 模拟)已知命题:“如图, 点A、D、B、E在同一条直线上, 且AD=BE, AC?DF, 则?ABC??DEF.”这个命题是真命题还是假命题? 如果是真命题, 请给出 证明; 如果是假命题, 请添加一个适当的条件, 使它成为真命题, 并加以证明. CF AE BD 说明:本题除了上述添加方法外还可在以下情况任选一种: C=?F ??CBA=?E ?BC?EF 4. (2011杭州上城区一模)已知四边形ABCD，E是CD上的一点，连接AE、BE. (1)给出四个条件: ? AE平分?BAD,? BE平分?ABC, ? AE?EB,? AB=AD+BC. 请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD?BC的正确命题,并加以证明; (2)请你判断命题“AE平分?BAD,BE平分?ABC,E是CD的中点,则AD?BC”是否正确,并说明理由. AD E BC (第4题(1)) 5((2011年深圳二模) 如图所示，矩形ABCD中，点E在CB的延长线上，使CE,AC，连结AE，点F是AE的中点，连结BF、DF，求证:BF?DF 网址: 6((2011年深圳二模)在?ABC中，AC,BC，?ACB,90?，D、E是直线AB上两点(?DCE,45? 222(,)当CE?AB时，点D与点A重合，显然DE,AD，BE(不必证明) 222,AD，BE (,)如图，当点D不与点A重合时，求证:DE (,)当点D在BA的延长线上时，(,)中的结论是否成立,画出图形，说明理由( 7.(2011深圳市三模)(本小题满分10分) 如图，已知?ABC，?ACB=90º，AC=BC，点E、F在AB上，?ECF=45º， (1)求证:?ACF??BEC(5分) A (2)设?ABC的面积为S，求证:AF?BE=2S(3) E F C B 8、如图1，在?ABC中，?ABC的平分线BF与?ACB的平分线CF相交于点F，过点F作DE?BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，求证:BD，CE,DE( (2)如图2，?ABC的外角平分线BF、CF相交于点F，过点F作DE?BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD、CE、DE之间存在什么关系? (3)如图3，?ABC的平分线BF与?ACB的外角平分线CF相交于点F，过点F作DE?BC，交直线AB于点D，交直线AC于点E，那么BD、CE、DF之间又存在什么关系?根据(1)，(2)写出你的猜想，并证明你的结论( 网址: ?平行四边形 【知识梳理】 一( 四边形的相关概念和性质 (1)在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形(四边形用表示它的 各顶点的字母来表示( 注意:表示四边形必须按顶点的顺序书写，可按照顺时针或逆时针的顺序(如图 读作“四边形” ( ABCD (2)在四边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线( 注意: ?四边形共有两条对角线( ?连结四边形的对角线也是一种常用的辅助线作法( (3)四边形的不稳定性: 三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性(但是，四边形四边长确定后，它 的形状不能确定(这就是四边形具有不稳定性，它在生产、生活方面有很多的应用。 ,4)四边形的内角和等于( (360 ,(5)四边形的外角和等于( 360 注意: 1、四边形内角中最多有三个钝角，四个直角，三个锐角; 2、四边形外角中最多有三个钝角、四个直角、三个锐角，最少没有钝角，没有直角，没有锐角; 3、四边形内角与同一个顶点的一个外角互为邻补角( 二(多边形的概念和性质: ,(1)边形的内角和等于( n(n,2),180 ,(2)任意多边形的外角和等于360。 n(n,3)(3)边形共有条对角线( n2 (4)在平面内，内角都相等且边都相等的多边形叫做正多边形。 (n,2).180(5)正多边形的每个内角等于n 三、平行四边形 1(平行四边形的性质 (1)平行四边形的邻角互补，对角相等( (2)平行四边形的对边平行且相等( (3)夹在两条平行线间的平行线段相等( (4)平行四边形的对角线互相平分( (5)中心对称图形，对称中心是对角线的交点。 (6)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等 分四边形的面积( 2(平行四边形的判定 (1)定义:两组对边分别平行的四边形是平行四边形( (2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形( 网址: (3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形( (4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形( (5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形( 3(两条平行线的距离 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离(平行线间的距离处处相等( 注意: (1)距离是指垂线段的长度，是正值( (2)两条平行线的位置确定后，它们的距离是定值，不随垂线段位置改变( (3)平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可根据需要灵活选择位置( 4(平行四边形的面积 (1)、如图1，( S,BC,AE,CD,AF平行四边形ABCD 也就是底边长×高(是平行四边形任何一边长，必须是边与其对边的距离)( ,,Saaahh平行四边形 注意:这里的底是相对高而言的，也就是高所在的边，平行四边形任一边都可作底，底确定后，高也就确定了( (2)、同底(等底)同高(等高)的平行四边形面积相等。 如图2， S,S平行四边形ABCD平行四边形EBCF。 四(矩形 1(矩形的定义:_________________________________ 2(矩形的性质: (1)对边平行且相等。 (2)矩形的四个角都是直角( (3)矩形的对角线相等( (4)矩形是轴对称、中心对称图形( (5) 矩形面积,长×宽 (6) 矩形的周长=_________________ 注:?利用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等( __________________________ 3(矩形的判定 (1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形( (2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形( (3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形( 网址: 注意: ?用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件:一是有一个角是直角;二是平行四边形(也就是说有一 角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形( ?用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件:一是对角线相等;二是平行四边形(也就说明:两 条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形( 五(菱形 1(定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形( 注意:菱形必须满足两个条件:一是平行四边形;二是一组邻边相等( 2(菱形的性质 (1)具有平行四边形的一切性质( (2)菱形的四条边都相等( (3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角( (4)菱形是轴对称、中心对称图形( (5) 菱形面积,底×高,对角线乘积的一半( (6)菱形的周长,-__________________ (7) 菱形的计算转化为_____________三角形 3(菱形的判定 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形( (2)定理1:四边都相等的四边形是菱形( (3)定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形( 注意:?对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形( ?利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是 菱形和有关计算( 六(正方形 1(正方形的概念:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形( 从正方形的定义可知正方形既是一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形，所以既是矩形又是菱形的四边形是正方形( 矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图: 2(正方形的性质 (1)正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质( (2)正方形的四个角都是直角，四条边都相等( (3)正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角( (4)正方形是轴对称图形，有4条对称轴( (5)正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个小的全等的等腰 直角三角形( (6)正方形一条对角线上一点和另一条对角线的两端距离相等( 2b2(7)正方形的面积:若正方形的边长为，对角线长为，则abS,a,2 3(正方形的判定 (1)判定一个四边形为正方形主要根据定义，途径有两种: ?先证它是矩形，再证它有一组邻边相等( ?先证它是菱形，再证它有一个角为直角( (2)判定正方形的一般顺序: 网址: ?先证明它是平行四边形; ?再证明它是菱形(或矩形); ?最后证明它是矩形(或菱形) 七(梯形 1(梯形的相关概念 (1)一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形(梯形中平行的两边叫做梯形的底( 注意:通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底，梯形的上下底是以长短区分的，不是指位置说的(梯形 中不平行的两边叫做梯形的腰(梯形两底的距离叫做梯形的高( 两腰相等的梯形叫做等腰梯形(一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形( (2)梯形一般如下分类: ,一般梯形, 梯形直角梯形,,特殊梯形,等腰梯形, (3)解决梯形问题的基本思路: 转化 梯形问题 三角形或平行四边形问题( 分割、拼接 这种思路常通过平移或旋转来实现( 2(梯形的判定 (1)定义法:判定四边形中?一组对边平行;?另一组对边不平行( (2)有一组对边平行且不相等的四边形是梯形( 注意:此判定可由梯形定义和一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出。 3(等腰梯形的性质 (1)等腰梯形两腰相等、两底平行( (2)等腰梯形在同一底上的两个角相等( (3)等腰梯形的对角线相等( (4)等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，一底的垂直平分线是它的对称轴( 注意:等腰梯形在同一底上的两个角相等，不能说成:?等腰梯形两底上的角相等; ?等腰梯形同一底上的两底角相等 4(等腰梯形的判定 (1)两腰相等的梯形是等腰梯形( (2)在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形( (3)对角线相等的梯形是等腰梯形( 15(梯形的面积(1)如图，( S,(CD，AB),DE梯形ABCD2 (2)梯形中有关图形面积: ?( S,S,ABD,BAC ?( S,S,AOD,BOC ?S,S,ADC,BCD。 网址: O定义:在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心. 对比轴对称图形与中心对称图形:(列出表格，加深印象) 轴对称图形 中心对称图形 有一条对称轴——直线 有一个对称中心——点 O沿对称轴对折 绕对称中心旋转180 对折后与原图形重合 旋转后与原图形重合 中心对称图形的性质 中心对称图形上的每一对对应点 所连成的线段都被对称中心平分 例1 如图2-32所示(在ABCD中，AE?BC，CF?AD，DN=BM(求证:EF与MN互相平分( 例2 如图2-33所示(Rt?ABC中，?BAC=90?，AD?BC于D，BG平分?ABC，EF?BC且交AC于F(求证:AE=CF( 例3 如图2-34所示(ABCD中，DE?AB于E，BM=MC=DC(求证:?EMC=3?BEM( 例4 如图2-35所示(矩形ABCD中，CE?BD于E，AF平分?BAD交EC延长线于F(求证:CA=CF( 网址: 例5 设正方形ABCD的边CD的中点为E，F是CE的中点(图2-36)(求证: 例6 如图2-37所示(正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G(求 证:?GHD是等腰三角形( 【巩固练习】 1( 如图2-38所示(DE?AC，BF?AC，DE=BF，?ADB=?DBC(求证:四 边形ABCD是平行四边形( 2(如图2-39所示(在平行四边形ABCD中，?ABE和?BCF都是等边三角形(求证:?DEF是等边三角形( 网址: 3(如图2-40所示(ABCD中，AF平分?BAD交BC于F，DE?AF交CB于E(求证:BE=CF( -41所示(矩形ABCD中，F在CB延长线上，AE=EF，CF=CA(求证:BE?DE( 4(如图2 5(如图2-42所示(在正方形ABCD中，CE垂直于?CAB的平分