用放缩的基本方法证明不等式 --毕业论文

用放缩的基本 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 证明不等式 --毕业论文 【标题】用放缩的基本方法证明不等式 【作者】柳 茂 枚 【关键词】放缩法 不等式 放缩的方式 适度放缩 放缩的原则 【指导老师】杨 玉 红 【专业】数学与应用数学 【正文】 1引言 在高中数学教学中，我们对不等式的 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 是能应用其性质、定理、公式和方法解决一些问题，而不等式的证明则提出了三个层次的知识要求，应重在理解掌握以及灵活和综合运用。据了解，目前，高中生对不等式的证明该用什么方法以及用哪种方法更简便还有一定的困难。高中数学中证明不等式的方法有许多种。常用的有十七种方法(比较法、分析法、综合法、求商法、公式法、判别式法、数学归纳法、标准化法、等式法、极值法、单调函数法、分解法、数列法、求导法、排序法、数形结合法、反证法)和四种技巧(放缩的技巧、代换的技巧、化繁为简的技巧、构造的技巧)。寻求证明不等式的方法是我们证明不等式的关键。不等式的证明方法是多种多样的，并且在一个题目的证明过程中，往往不止应用一种方法，而且需要灵活应用各种方法。本文重点介绍证明不等式的放缩方法。因为放缩法是高考热点，也是我们解题常常能想到、能用到的常用方法,也是较为简便的技巧。 在证明不等式以及不等式的大小比较时,常用到放缩法。放缩法的理论依据是不等式的传递性即A>B,B>C,则A>C。根据传递性知:要证A>C，有时可以通过证明A,B1，B1,B2，B2,B3，??????Bn-1,Bn，Bn,C，得A,C，上面的过程就是A,B1,B2,B3，??????Bn-1,Bn,C。即从A出发，逐步缩小，直到大于C终止。反过来，也可以从C出发，逐步放大，直到小于A为止，即C,D1,??????,Dn,A这种方法证明不等式称为放缩法。 具体而言，“放缩法”主要体现为以下情形: 1)在分子与分母都是正分数中,分母增大分数值减小,分母减小分数值增大。 2)在各因数都是正的乘法中，因数增大积增大，因数减小积减小。 3)在 加法 100以内进位加法和退位减法100以内进位加法题100以内进位加法100以内进位加法竖式整数加法运算定律推广到小数说课 中，加数增大和增大，加数减小和减小。 4)在底数为正的乘方中，底数增大幂增大，底数减小幂减小。 5)在根式中，被开方数增大根式值增大，被开方数减小根式的值减小。 虽然我们都了解放缩法的基本理论，但是如何在证明不等式时有效地使用放缩法，采用怎样放缩方式才算适度等问题却一直困扰着我们。本文就这些问题展开讨论。 2 放缩法证明不等式的一些方法 2.1丢项或添项，使值增大或缩小 例1 设 ，求证: 。 证明:因为 ， 所以 。 例2 证明:对于 ，都有 。 证明:因为 ， 所以对于 ，都有 。 说明:例1、例2的宗旨是舍去不等式一边中的某些正项或负项，使不等式的一边得以放大或缩小。或是增添一些正项或负项，使值增大或缩小。 2.2将不等式较大或较小的式子代换，使不等式的一边得以放大或缩小 例1 设 ,求证 。 分析:不等式是通过4项分数相加，要证明使加数的和处于1与2之间。本题是加法的式子，我们自然就能想到在引言中讲的“放缩法”主要体现为以下情形中的第三条:“在加法中，加数增大和增大，减小而减小。”所以我们就可以探索，令 增大或者是 减小。又因为 是分数，要使 增大，我们就可以通过减小分母来实现，这里用 分别代替 中的第一、二、三、四项，则有 。同理要使 减大，我们就可以通过增大分母实现，将 中所有的分母用 代替， 则 。 例2 求证: 。 分析:本题是通过 项相加和小于2，自然会联想到要使加数增大，就必然使每个加数中的分母减小。可以探索用这样方法放缩 。最后就变成 项等比数列求和。 证明:因为 ， 所以 。 说明:针对例1，例2这种分式求和的不等式的证明，通常采用引言中讲的“放缩法”主要体现为以下情形中的第三条:“在加法中，加数增大和增大，减小而减小。”而加数的增大或减小，就需要针对分式的情形放大或缩小分子或分母，使分式的值增大或缩小，从而得证。 2.3利用基本不等式及其它的不等关系 不等式的基本性质有: (1)若 ，则 ; (2)若 ， 则 ， ; (3)若 ， ，则 ， 。 证明不等式常用的重要不等式归纳如下: (1) ; (2) ; (3) ; (4) 。 例 已知 ，求证 。 分析:本题比较两个数的大小，我们通常想到的方法是作差法，作商法。又因为该题中两对数的底数不同，所以不能直接用作差法，只能先用作商法。因为对于对数而言，作商没有 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 的法则，所以只能转为乘法。 证明:因为 ，所以 ， 所以 (批注:最后一步放大是利用“ ” 这个基本不等式，就是为了两个对数能够合并在一起运算，想法变成为同底数相加。) 所以 。 2.4利用函数的单调性 函数的单调性是对“区间”而言的，反映了函数在某一区间上函数值的变化趋势，是函数在某一区间上的整体性质。如: 是在区间 上严格单调递增，设 ，则有 ，这里 可以看作是两个放缩的因数，而把 看作我们所要证明的不等式，而 与 的大小比较，要通过 与 的放缩来体现。本方法体现了函数单调性在放缩法中的应用。 例:已知各项为正数列 ，满足 ，求证: 。 证明: 1)当 时，由已知有 ，于是 ，所以 ，因为 ，所以 ，即当 时不等式成立。 2)假设 时不等式成立，即 由已知有 ，因为 ，所以 在 上严格单调递增，所以 (批注:此例要真正用数学归纳法实现证明，其中第二步需要放缩法才行)。即当 时不等式成立。 综1)2)对 ( 表示对一切正整数)不等式都成立。 总结:将不等式一边丢项或添项，代换不等式中某些项，利用重要不等式关系及函数单调性这四种方式是用放缩证明不等式常见又有效的方式。当然也有其他方式，这里就不再一一叙述。 3放缩法证明不等式要合理 3.1放与缩要适度的必要性 应用放缩法证明不等式的确是一种精彩又典型的方法，但是放的多大，缩的多小仍然是使用放缩法过程中难度较高，需要进一步探讨的问题。不能随便进行放缩，否则得不到想要的结论，甚至导致严重错误。下面通过实例说明放缩要适度的必要性。 例1 求证: 。 分析:作如下探索:由于 (1) (2) 由(1)式有， ，显然结果不会小于 。如果像上述方式放缩我们终不能得到证明，可见放缩要适度多么重要。 上面的探索放得过大，从而需要适当保留其中的某些项，我们不仿保留第一项试试: ， 放缩成功。 同样由(2)式有， ，这样放缩显然不会大于 ，同样由于放缩的不适度而得不到证明。 上面的探索缩的过小，若适当保留其中的某些项，不仿仍保留第一项试试: ， 放缩成功。 综上有结论成立。 放缩法证明不等式的思路是 :要证明A?B，关键是找到C，使C满足 A?C且C?B。而为了找到相应的C，我们往往会碰到一些棘手的问题 : (1)认准了某个C，虽然已证明A?C，但怎么也证不到C?B。事实上，C?B根本就不成立 ，这说明放缩过了头。此时我们就有必要考虑我们采用的放缩方式是否合理、适度。不能因为暂时放缩不对就认为题目不对或放弃，要努力寻找真正适度的放缩方式。 (2)对于某个C，在脑中一晃而过，认为会过头，而不去尝试一下。事实上，这个C正是要找的。这说明，有念头就让它多停留一，同时放缩时胆子要大一些。 例2 求证: 。 分析:不等式的左边是形如 的 项之和，不便与右边直接比较，于是想到将左边的每一项按照某种规律放大，求和后再与右边比较。 我们在看下述放大方式(一): 。 仅观其数，会认为这种解法没有问题，但是这里采用的放大 ，即 是否合理,通过验证 的前几个特殊值可以发现， 对于 成立，但是 等不成立。其根源在于忽视了当 增大时，指数函数 比幂函数 增大得快。 我们再看下述放大方式(二): 因为 ， 所以 。 由 知放大方式(二)的放大量偏大，但是它却给我们提供了寻求放大方式的启示: 使每一项放大后出现因数 。经过尝试,可以得 : 因为 ， 所以 。 我们在看下述放大方式(三): 这个结果没有到达目的，放得过大，虽然没有达到目的，但是考虑到 ，这样一来，使左边放大后的每一项都含有因数 ，问题就解决了。这样一来，使左边放大后的每一项都含有因数 ，问题就解决了。 。 通过对放大方式的反复调整,终于成功啦。该题表明，按常规方式放缩过程时，放、缩方式是否适度，事先是难以预料的。这就需要在证明过程中通过对放、缩情况的认真审视，逐步调整与改进放、缩方式，从而最终实现证明。 3.2怎样放缩适度 用放缩法证明不等式，要注意放缩适度，放得过大或缩得过小都是不能解决问题的。那么，怎样才能做到放缩适度呢,下面给出两个基本原则。 (一)放缩幅度不得超过两端之差 要证 (或 )，可在 之间找一个数 ，使得 (或 )，则 为缩小(或放大)幅度， 为放大(或缩小)幅度。因为 (或 )，所以 ;同理 。当比较的不等式两端可以直接比较大小时，即 能轻易地计算出来时，由它就可以控制放缩的幅度。 例 求证: 。 分析:两端可以比较大小， ，所以放缩的幅度应为 ，( 为放缩幅度)。对照待证不等式，发现 共有 项，，因此可知每一项的放缩幅度为 ，这样总的放缩幅度为 ，从而有 这样与题无法联系，放缩不对。又因每一项的放缩幅度为 ，所以就有 ，由于这个式子的确成立，所以我们找到了正确的途径。 证明:因为 所以 。 从而， 。 即 。 批注:(1)待证不等式的最左边一项 可以看成 项之和，即 ，这才与待证不等式中间的项相协调。 (2) (二)通过挖掘两端的内在联系确定放缩幅度 当不等式两端不能直接比较大小时，则上述方法不能应用，这时可以从挖掘两端的内在联系入手。由于 (或 )，因此 之间必然存在差异。同时又必然存在内在联系。这种内在联系其实就是不等式能够得证的内在联系，所以抓住了它就等于抓住了不等式证明的关键，放缩幅度也就自然而然地确定。 例1 求证: 。 分析:左端为指数式，右端为对数式，两端不便比较，故需要在两者之间插入一数作为桥梁。为此，需要将两端适当放缩，而放缩的幅度却一时难以确定。不过，从左、右两端都含有 与 有关，放缩的幅度一定与 和 有关，再从左、右两端的数值估计: 因此，介于 与 之间的数一定是0，1之间的数，而且可能是 。下面试按这种方法放缩。 证明:因为 所以 又因为 所以 。 放缩成功。 例2 若 为不全相等的非负实数，求证: 。 分析:要使不等式成立，需要将左端根式缩小，由于不等式是关系 的轮换对称式，所以每个根式缩小幅度相同，由右端 得到启发，应将被开方数缩小成完全平方数，从而可以去掉根号并相加得 。由于三根式分别对应 、 ， 、 ， 、 ，故要将 “平均”分成三份，只能是 ，从而启发我们将根式配成 。 因为 为不全相等的非负实数， ， ， 不全为零。所以: 。 用放缩法证明不等式，要注意放缩适度，放缩适度的基本原则:(一)放缩幅度不得超过两端之差(二)通过挖掘两端的内在联系确定放缩幅度。当然除了这两个以外还有其他的原则，比如:1)执果索因原则(要从目标关系的形式与结构;2)不等关系式的传递性与方向的一致性原则，特别在同时使用既“放”又“缩”时，要确保从整体上保持“放”或“缩”，以避免在“放”与“缩”时方向性的混乱。使证明失败。这里就不再一一叙述。 4总结 本文主要研究用放缩的基本方法证明不等式在高中数学解题中的应用，从高中数学不等式证明这个方面去研究放缩法的应用，主要体现在以下方面:在数列，函数等方面。本文的研究目的就在于，通过对放缩的基本方法证明不等式应用探讨，总结放缩的基本方法证明不等式在高中数学的主要应用类型，找出一些用放缩法证明不等式解题的方法规律和原则，从而提高解题效率。 用放缩的基本方法证明不等式是一个常用基本方法,它是高中数学，乃至大学数学的重要学习 内容 财务内部控制制度的内容财务内部控制制度的内容人员招聘与配置的内容项目成本控制的内容消防安全演练内容 之一。它的重要性，主要体现在它的应用的广泛性上。它广泛的应用于高中数学的解题中，特别是对一些用常规思想方法难以解决的题目但又隐含着不等式中的条件，用放缩的基本方法证明不等式去解决则变得非常之简单。不过，用放缩法证明不等式还存在许多问题，如何选择放缩方式，面临放缩过大过小等问题困难时，如何解决等等。因此它仍然是一项值得研究的课题。