下载浏览《课外训练》第九章系综理论

下载浏览《课外训练》第九章系综理论 第九章 系综理论 1.教学内容 (1) 相空间 刘维尔定理; (2) 微正则分布 (3) 微正则分布的热力学公式 (4) 正则分布 (5) 正则分布的热力学公式 (6) 实际气体的物态方程 (7) 固体的热容量 4(8) 液He的性质和朗道超流理论 (9) 伊辛模型的平均场理论 (10) 巨正则分布的热力学公式 (11) 巨正则分布的简单应用 2.本章重难点 (1) 本章重点是正则分布、正则分布、巨正则分布的热力学公式; (2) 本章难点是实际气体的物态方程及固体的热容量 1. 例题 1,,Es例题1 证明在正则分布中熵可表为其中,,e是系统处在 S,,k,ln,s,sssZs 态的概率 ,Zln1,,E,,Ess,S,kZ,解证: 多粒子配分 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数 (ln)Z,e,Z,e(1),,,,s ,,EkEe,,kZln,k(2), ,,Ek,,e,k 1E,,s,,由(1)知e,Z,,,,E,lnZ，ln,;,E,lnZ，ln,代至(2)得 sssss, ,lnZ111,,,lnZ，ln,,,lnZ，,ln,;于是 ,ss,ss,,,,,ss ,,,lnZ,,S,klnZ,,,,k,ln, ,ss,,,,s,, 例题2 试用正则分布求单原子分子理想气体的物态方程，内能和熵 1 N1,E,222s;解证: ，，Z,eE,p，p，p,,sixiyiz2m,si1 符号 dp,dpdpdpixiyiz,i 符号 dq,dxdydziii,i NN,,222222，,N，，，，,p，p，p,p，p，pixiyizixiyiz,,m21V2mi1i1,,Z,edpdq,edp,,3N3NN!hN!h,, N3N/2,NN222(ppp),，，，，，,,,,xyzVV2m2m,,edpZ,,,,,3N3N,,,,,,N!hN!h,,，， ,Z,ZNTk1ln1,P,,,利用式(9.5.3)类似求 U,S,,,,Z,VV T例题3 体积内盛有两种组元的单原子混合理想气体，其摩尔数为和，温度为。试nn12 由正则分布导出混合理想气体的物态方程，内能和熵 解证: ,222222,,，，，，,p，p，p，p，p，pixiyizjxjyjz1,2mZ,edpdpdpdxdydzdpdq ,,ixiyiziiijj3(n，n),12!!nnhij12 3，，n，n/212(n，n)12,,,V2m,, ,,Z,,3(n，n)12,n!n!h,,12 n，nkT，，1,lnZ12,P,,,PV,(n，n)kT12,,VV 4. 课外习题及习题指导(见附件) 5(本章测试题及其答案 5.1 利用范氏气体的配分函数，求内能和熵 3N/2,,,m12解证: ,,ZQ,,,,N!,, 3N/23N/2,,，，,,,,，，,,lnZ2m12mQ,,，，,1,3N/2,,,，，U,,,3N/2Q,/Z ,,,,,,,,,,,N!N!,,,,，，,, 21,QN11,NN,,(3/2);,N,Q,V，Vfdr 12,,2Q, 2 2,f,f,QN，，r,,,N,1,,,121212,,Vdr;？f,e,1,,,,e 12,,2,,,,, 2NN,1,,,2Vedr,,,QNN,1,2,, ;3/2,,V,edrU,NTk，，，,,12,N2N,1,V，NVfdr12,2 2N一般认为较小 fdr122V 2N1N,,,,Vedr,,2U,3NTk/2，,3kNT/2,a/V2,,NN,,V1，fdr12,,,2V,, 5.2 被吸附在液体表面的分子形成一种二维气体，考虑分子间的相互作用，试用正则分布证 N,,/kT，，明，二维气体的物态方程为,,其中B,,e,12,rdr;S为pS,NTk1，B/S,2液体的面积，为两分子的互作用势 , 解证:二维气体 ,,221,,pp,(),,，，ixiyi,,m2,,1i,j,,Zedpdpdxdy ,,,ixiiN2,iy!Nh ,112mN ,,()Q122,,,()r,,(p，p)ij,ixiy,N!,m22Nij,N!hedqedpdq,, (r),,,ij,,,,(r)i,jijQedrdrdr其中定义 ,f,e,112nij, ,Q,(1，f)drdrdr,(只保留前部分)(1，f)drdr,,ij12nij1n,,,,ijij 2NN,,S，fdrdr;其中fdrdr,Vfdrdr ,111212ijnijn,,,i,j 2N2NN,，，R,r，r/2;r,r,rQSSfdrdr变量代换 ,，12211212,2 2NNN,1 ,Q,S，Sfdr12,2 22，，NNQ,NS，，fdr,NS，fdrlnlnln1ln据式(9.5.3) 1212,,,,22VS，， 1lnZ1lnQNB,,，，，，PPVNTk1fdrkNT1,,,,,,,，12,,,,,,,,S2SS,,，，，， 3 L5.3 仿照三维固体的地拜理论，计算长度为的线形原子链在高温和低温下的内能和热容量 解证:一维线形原子链 ,,ck,k,2,n/L,n,0,,1,...... N共有个振动，存在最大频率 ,dn,Ldk/2,;D(,)d,,Ld,/2c,D ,DLD,(),d,N,d,,N,,,2,Nc/L D,,2c,0 ,,L,,,,/kT,x,,d,,kTdx令 ()U,U，D,d,,U，d,00,,,,,,,12c,kTkTee 2222LkxTdxLTkxdxU,U，,U， 00,,xx,,2c2,c,(e,1)e,1 22LTk高温近似 1;x,,U,U，dx,U，kNT00,2,,c 22LTk22x低温近似其中 k,,,,U,U，dx,U，,kNT/6,xDDD00,,e1,2c, 5.4 仿照三维固体的德拜理论，计算长度为L的线形原子链(一维晶体)在高温和低温下的 内能和热容量。 解证:二维: sdkdk,skdkdxydkdk面积S内，波矢范围内辐射场振动自由度为 ,xy224,4, 2,,SkdkS横波按频率分布为 ,d,,d,22,024,c,1 2,,SkdkS 纵波按频率分布为 ,d,,d,22,024,c,2 ，，S11,,,,,,,,,,,，,，,DdDdDddBd，，，，，，,,纵横22,2cc，，12 ，，S11,，B,,22,2cc12，， ,2D,N42D DdNBN,,,,,,,,()22D,B2 0 ,,2DD,,,,d,，,，，， UUD,UB,d,00,,,,,,00ktkt,1,1ee 4 ,,令 ,x,,d,,kTdxkT 2kT,,,,2Dx,,32kTkTkTx,,,,,,,，,,，, UUBdxUBdx,,00,x,x,,,1,1ee,,0 33,2kTxkT,,,,低温近似 UUB,dxUB,,，,，2.404,,,,00x,,,e,1,,,,0 ,,D233kT,,kTkT1,,,,,,D高温近似 U,U，B,xdx,U，B,,,,,,,00,2kT,,,,,,,,0 计算略 Cv lnZ5.5 利用德拜频谱求固体在高温和低温下的配分函数的对数，从而求内能和熵。 解证:式(3.9.4) ,,,,2e,,,0lnZ,lne，ln ,,,,,1,ei N93德拜频谱 ,, DB ,,,,,,,2,,,,eD,0,,，，lnZ,lne，lnDd,,,,,,,01,e,,,, ,,,,,,2,,,eD2对于振动 ,,,,，Bln,d,(代换,,,,x),,0,,,,,01,e,,,, ,,,,,,,BDD,,2,x2,,,,，， ,,，Bd,ln1,exdx ,,0,,3002，，,,,, 344,,,,1BN1,,,, ,,U，,,U，003,,,,,35，，,,15D,, S 计算略 T,, 高温近似， ， ,,,,0 3,,,,,,,1DD2,,,,，，ZBdB,dln,,,ln,,,ln ,,,,,,,,00,,,,,,003,,,,,,, 5 3,，，,1Dab2，，,,B,,,d,,,,ln,, 00,,,033，， 33,,DD ln，，,,,B,，B,,,,039 ，，,,,,,3Nln,,,，N 0 (计算略) 6(考试要求 (1) 理解刘维尔定理、微正则分布、正则分布和巨正则分布，掌握微正则分布、正则 分布和巨正则分布的热力学公式， (2) 会利用配分函数求解热力学量。本章考试出现的形式为证明题或计算题。 6 7