2011届高考数学压轴题能力提升之导数
1(定义，
(1)令函数的图象为曲线C，曲线C与y轴交11于点A(0，m)，过坐标原点O作曲线C的切线，切点为B(n,t)(n>0)，设1
曲线C在点A、B之间的曲线段与线段OA、OB所围成图形的面积为S，求S的值。 1
(2)当
(3)令函数的图象为曲线C，若存在实数2b使得曲线C在处有斜率为,8的切线，求实数a的取值范围。 2
2.已知在函数的图象上以N(1，n)为切点的切线的倾斜角为 (1)求m、n的值;
(2)是否存在最小的正整数k，使得不等式恒成立,如果存在，请求出最小的正整数k;如果不存在，请说明理由; (3)求证:
3.已知函数
(?)设m为方程的根，求证:当时，;
(?)若方程有4个不同的根，求a的取值范围. 4.已知奇函数的图像在(1，)处的切线的斜率为6.且=2时，取得极值.
(1)求实数、的值;
(2)设函数的导函数为，函数的导函数
，(0，1)，求函数的单调区间; (3)在(2)的条件下，当时，恒成立，试确定的取值范围.
5.已知函数取得极小值( (?)求a，b的值;
(?)设直线( 若直线与曲线同时满足下列两lS个条件:
(1)直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
(2)对任意x?R都有( 则称直线l为曲线S的“上夹线”(试证明:直线是曲线的“上夹线”( 6.已知函数，且对于任意实数，恒有。
(1)求函数的解析式;
(2)已知函数在区间上单调，求实数的取值范围;
(3)函数有几个零点,
7.已知函数((1)证明:存在，使; (2)设=0，，，，其中=1，2，„，证明:
;
( (3)证明:
8(已知:函数 (1)证明:;
(2)证明:在上为减函数，在上为增函数; (3)记，求证:
9.如果函数在区间D上有定义，且对任意
，则称函数为区间D上的“凹函数”，
(?)已知是否是“凹函数”，若是，请给出证明;若不是，请说明理由;
(?)对于(?)中的函数有下列性质:“若
使得
”成立，利用这个性质证明唯一.
(?)设A、B、C是函数图象上三个不同的点，求证:
?ABC是钝角三角形.
10.已知函数f(x)(x?R)满足下列条件:对任意的实数x、x都有?12
[f(x)f(x)]和|f(x) f(x)|?|x,x|，其中是大于0的常数，设121212
实数a，a，b满足f(a)=0，b=af(a). 00
(1)证明?1，并且不存在b?a，使得f(b)=0 000
2222)证明(ba)?(1)(aa) (00
22 (3)证明[f(b)]?(1) [f(a)]
11.已知函数(常数)是实数集R上的奇函数, 函数
是区间[―1, 1]上的减函数.
(1)求a的值;
(2)若在上恒成立, 求t的取值范围; (3)讨论关于x的方程的根的个数.
3212(已知函数f(x)=mx+nx(m、n?R ,m?0)的图像在(2，f(2))处的切线与x轴平行.
(1)求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间;
(2)证明:对任意实数0
0)， 1
(2)令， 又令 ，
单调递减.
单调递减，
，
(3) 设曲线处有斜率为,8的切线， ???
又由题设 ?存在实数b使得 有解， 由?得代入?得，
有解，得，
2(解:(1)依题意，
得
? ?
(2)令
当在此区间为增函数 当在此区间为减函数 当在此区间为增函数
处取得极大值
又
因此，当
要使得不等式 所以，存在最小的正整数k=2007，使得不等式恒成立。 (3)(方法一)
又?
?
?
综上可得
(方法2)由(2)知，函数 上是减函数，在[，1]上是增函数
又 所以，当时，,
又t>0，
，且函数上是增函数，
综上可得
„
3(解:(1)的根，所以
令，所以 在R上为减函数: 当时， 即所以 (2)令
?时在上，;
在上，;
时，;
时，
时(时，为偶函数，
有四个根; ?时，，
有渐近线时，时，
有两个根，不适合题意;
?时，
时，时，，
至多有两个根，不适合题意;
因此，有四个根时，
4.解:(?)?是奇函数，
由恒成立，有.
从而.
又，
故，，，.
(2)依题意，
令，得或.
当变化时，、的变化情况如下
表
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:
(，) (，3) (3，+)
― + ― 的符号
递减 递增 递减 的单调性
由表可知:当(，)时，函数为减函数;当(3，+)时，
函数也为减函数;当(，3)，函数为增函数.
?函数的单调递增区间为(，3)，单调递减区间为(，)，(3，+).
(3)由，得.
?，?.
在上为减函数.
?;
.
于是，问题转化为求不等式的解.
解此不等式组，得.又，?所求的取值范围是. 5.解:(I)因为，所以
，
解得，
此时，
当时，当时， 所以时取极小值，所以符合题目条件; (II)由得，
当时，，此时，，
，所以是直线与曲线的一个切点; 当时，，此时，，
，所以是直线与曲线的一个切点; 所以直线l与曲线S相切且至少有两个切点;
对任意x?R，， 所以
因此直线是曲线的“上夹线”(
6.解:(1)由题设得，
，则， 所以
所以对于任意实数恒成立
.故
(2)由，求导数得
，在上恒单调， 只需或在上恒成立，
即或恒成立， 所以或在上恒成立 记，可知:，
或
(3)令，则. 令，则
，列表如下.
0 1
+ 0 ― 0 + 0 ―
递增 极大值递减 极小值递增 极大值递减
1
时，无零点;或时，有两个零点;时有三个零点;
时，有四个零点
7.解:(1)令g()=()一，则g(0)=(0)一0=， g()=()一=,
又g()在[0，]上连续，所以存在?(0，)使g()=0，即()= 0000
22(2)?()=3,2+=3(一)+>0
?()是R上的单调增函数
?0<<，即<0=， 211
y=(y)=()=< =y 211
综上，<<0知mx(x-2)>0. 当m>0时得x<0或x>2，f(x)的减区间为(0，2); 当m<0时得:00时，f(x)的减区间为(0，2);
当m<0时,f(x)的减区间为(-?，0)，(2，+?);
222222可化为3x-6x-x-x-xx+3x+3x=0,令h(x)= 3x-6x-x-x-xx+3x+3x 121212121212则h(x)=(x-x(2x+x-3),h(x)=(x-x)(x+2x-3), 112)1222112
2即h(x)h(x)=-(x-x)(2x+x-3)(x+2x-3) 12121212
又因为00 即。 13(解:(1)由题意知，的定义域为，
当时， ，函数在定义域上单调递增( (2)?由(?)得，当时，函数无极值点( ?时，有两个相同的解，
时，
时，函数在上无极值点( ?当时，有两个不同解，
时，，
,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表:
减 极小值 增
由此表可知:时，有惟一极小值点， ii) 当时，0<<1
此时，，随的变化情况如下表:
增 极大值 减 极小值 增
由此表可知:时，有一个极大值和一个极小值点
; 综上所述:
当且仅当时有极值点;
当时，有惟一最小值点;
当时，有一个极大值点和一个极小值点
)由(2)可知当时，函数， (3
此时有惟一极小值点
且
14(解:(1)由题意知，的定义域为，
当时， ，函数在定义域上单调递增( (2)?由(?)得，当时，函数无极值点(
?时，有两个相同的解，
时，
时，函数在上无极值点(
?当时，有两个不同解，
时，，
,
此时 ，随在定义域上的变化情况如下表:
减 极小值 增
由此表可知:时，有惟一极小值点，
ii) 当时，0<<1
此时，，随的变化情况如下表:
增 极大值 减 极小值 增
由此表可知:时，有一个极大值和一个极小值点
;
综上所述:
当且仅当时有极值点;
当时，有惟一最小值点;
当时，有一个极大值点和一个极小值点
(3)由(2)可知当时，函数， 此时有惟一极小值点
且
令函数
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