第一章 复数与复变
函数
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1. 复数的定义
复数的
表
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示形式
直角坐标表示形式
三角函数表示形式
指数形式
相等
共轭
运算规则
加法
减法
20以内的退位减法20以内的退位减法练习20以内的退位减法题20以内的退位减法表20以内的退位减法
乘法
除法
乘方
开方
2. 区域与复变函数
区域
具备：1. 开集性；2. 连通性
符合上述两个性质的复平面上的点集称为区域
复变函数
当复变数z在复平面上变动时，如果复数ω的值随着复数z的值而定，就称ω为z的函数，记作
3. 单值函数和多值函数
单值函数
幂函数
指数函数
三角函数
双曲函数
多值函数
根函数
对数函数
第二章 复变函数微积分
1. 极限与连续
极限
连续
2. 复变函数的导数
定义
函数在点z导数存在的充要条件
3. 复变函数的解析
定义
函数不仅在一点可导，而且在该点的ε邻域内点点是可导的，则称函数在该点是解析的。
函数在点z解析的充要条件
4. 调和函数与解析函数
调和函数
共轭调和函数
满足柯西-黎曼条件的两个调和函数
和
称为一对共轭调和函数
解析函数与调和函数的关系
解析函数
的实部
与虚部
是一对共轭调和函数
5. 复变函数的积分
定义
分解成两个实变函数的积分
积分曲线用参数方程表示
积分曲线可用参数方程
表示，线积分可写成
6. 柯西定理
柯西定理
若函数
在单连通区域D内解析，则
(1) 只要起点和终点固定不变，积分路径连续变形时，函数的积分值不变
(2)
多连通区域的柯西定理
7. 柯西
公式
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柯西公式
n阶导数的柯西公式
第三章 复变函数的幂级数展开
1. 复数项级数的收敛和绝对收敛
收敛
各项为复数的级数
的部分和
在
时趋于有限的极限，则称级数收敛，并称S为它的和。
绝对收敛
如果级数中各复数项模所构成的级数
收敛，就称级数
绝对收敛。
2. 复变函数项级数的收敛
收敛
3. 收敛的性质
连续函数项收敛
(1) 级数的和是连续函数；
(2) 级数可以逐项积分。
解析函数项收敛
(1) 级数的和是解析函数；
(2) 级数可以逐项求导；
(3) 级数可以逐项积分，且积分与路径无关。
4. 幂级数的性质
阿贝尔定理
幂级数的收敛半径
5. 解析函数展开成泰勒级数
泰勒级数
泰勒展开式和收敛半径R
6. 解析函数的洛朗展开
洛朗级数
(双边幂级数)
第四章 留数及其应用
1. 解析函数的奇点
孤立奇点
2. 孤立奇点的分类
奇点名称
极限性质
以
为中心，在去心邻域中
的洛朗级数展开形式
可去奇点
不含负幂项
极点
含有限个负幂项
本性奇点
含无限个负幂项
3. 留数定理和留数的求法
留数定理
是
的可去奇点
是
的本性奇点
把
在
展开成洛朗级数求
是
的极点
如果
是
的一阶极点，
如果
是
的m阶极点，
，
、
都在
处解析，如果
，
，
，则
为
的一阶极点，且
4. 三类典型的实函数的定积分
类型I
类型II
若实轴上没有奇点，则
若实轴上有有限个一阶极点，则
类型III
第五章 拉普拉斯变换及其应用
1. 拉普拉斯变换
定义
2. 拉普拉斯变换的性质
线性定理
导数定理
积分定理
相似性定理
延迟定理
位移定理
卷积定理
第六章 傅里叶级数和傅里叶积分变换
1. 傅里叶积分与傅里叶变换
傅里叶三角积分
复数形式的傅里叶积分
傅里叶变换
2. 傅里叶变换的性质
导数定理
积分定理
相似性定理
延迟定理
位移定理
卷积定理
3. δ函数
定义
傅里叶积分展开
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