球的体积和面积公式具体推导过程

球的体积和面积公式具体推导过程 1..3.2球的体积和表面积(1) 教学目的:使掌握了解球的体积公式的推导过程，能记住球的体积公式，并会用公式 解决问题。 教学重点:掌握球的体积公式及其应用。 教学难点:球的体积公式推导是教学的难点。 教学过程 一、复习提问 柱体、锥体、台体的体积公式分别是什么, 二、新课 设球的半径为R，将半径OAn等分，过这些分点作平面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近 R似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度，底n面就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i层(由下向上数)“小圆片”的下底面半径: R22r,R,[(i,1)]，(i,1,2,3，???，n) in 第i层“小圆片”的体积为: 23，，,,Ri1R,,2,1V?π?,，(i,1,2,3，???，n) r,,,,innn,,,,，， 半球的体积:V半径,V，V，???，Vn 12 2322,12(n,1)R?{1，(1,)，(1,)，???，,1,,} 222nnnn 22231,1，2，,,,，(n,1)R2221，2，,,,，n,n(n，1)(2n，1),,n,,(注:) 2n6n 11，，(1,)(2,)3,,1(1)(21)(n,1)(2n,1),Rn,nn,33nnR(1,,,n,,), ? ,,1,,R,,226n6n6n,,,,，， 当所分的层数不断增加，也就是说，当n不断变大时，?式越来越接近于半球的 体积，如果n无限变大，就能由?式推出半径的体积。 11 事实上，n增大，就越来越小，当n无限大时，趋向于0，这时，有 nn 2433,,V,R，所以，半径为R的球的体积为: V,R 半径33 1..3.2球的体积和表面积(2) 教学目的:使掌握了解球的表面积公式的推导过程，能记住球的表面积公式，并会用 公式解决问题。 教学重点:掌握球的表面积公式及其应用。 教学难点:球的表面积公式推导是教学的难点。 教学过程 一、复习提问 柱体、锥体、台体及球的体积的公式是什么, 二、新课 球的表面积推导方法(设球的半径为R，利用球的体积公式推导类似方法) (1)分割。把球O的表面分成n个“小球面片”，设它们的表面积分别是S，S，„„ 12Sn，那么球的表面积为:S,S，S，„„，Sn 12 把球心O和每一个“小球面片”的顶点连接起来，整个球体被分成n个以“小球 面片”为底，球心为顶点的“小锥体”。例如，球心与第i个“小球面片”顶点相连后 就得到一个以点O为顶点，以第i个“小球面片”为底面的“小锥体”。这样“小锥体” 的底面是球面的一部分，底面是“曲”的。如果每一个“小球面片”都非常小，那么 “小锥体”的底面几乎是“平”的，(好象地球一样)，这时，每一个“小锥体”就近 似于棱锥，它们的高近似于球的半径R。 (2)求近似和。设n个“小锥体”的体积分别为V，V，„，Vn 12 那么球的体积为:V,V，V，„，Vn 12 由于“小锥体”近似于棱锥，所以我们用相应棱锥的体积作为“小锥体”体积的 近似值。第i个“小锥体”对应的棱锥以点O为顶点，以点O与第i个“小球面片” 顶点的连线为棱。设它的高为h，底面面积为S’，于是，它的体积为: ii 1V’,h S’，(i,1,2,„，n) iii3 1这样就有:V?h S’，(i,1,2,„，n) iii3 1V?(h S’，h S’ ，„，h S’) ? 1122nn3 (3)转化为球的表面积。分割得越细密，也就是每一个“小球面片”越小，“小锥体”就越接近于棱锥，如果分割无限加细，每一个“小球面片”都无限变小，那么h (i,1,2,„，n)就趋向于R，S’就趋向于 S，于是，由iii 1?可得:V,RS 3 441332,,RR又V,，所以，有,RS 即: S,4πR 333 例5、图1.3,10表示一个用鲜花做成的花柱，它的下面是一个直径为1m，高为 3m的圆柱形物体，上面是一个半球体，如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰 这个花柱大约需要多少朵鲜花(π取3.1), 分析:花柱的表面积是圆柱的表面积和半球的表面积，求出总面积乘于150朵， 就是大约需要的鲜花朵数。 练习:P30 1、2、3 作业:P31 B组第1题表面积、第3题 (以下为附加内容) 不忘本的“草根”部长 ——探寻卢玉宝的精神动力 从兴和县，到乌兰察布市，到内蒙古自治区，再到组织系统，内蒙古自治区兴和县委组织部原副部长、企业党工委书记卢玉宝的故事受到广泛关注，触动了许多人的思考。 什么力量让这位出身农家的“草根”部长，在十几年的工作中保持本色，时刻不忘“为了谁”“依靠谁”“我是谁”，以组织放心、人民满意为追求，模范践行“三严三实”,记者带着这样的追问，走进卢玉宝的生活，探寻他的精神动力。 心中有党:对组织满怀感恩 “玉宝，家里有什么需要帮衬的，就跟部里说。” “如果没有组织上的培养，我现在还在农村种地呢。” 面对部领导的关心，卢玉宝总是“答非所问”，讲自己的成长经历，讲对组织的感恩，却从不讲自己的困难。 这种感恩，不是讲给领导听的“漂亮话”，而是实实在在的真情流露。 这份真情，萌芽于孩提时代。卢玉宝的父亲卢英是名老党员，在老家担任村委会主任很多年。村里的事，最苦最累的活父亲总是带头干，这些卢玉宝从小就看在眼里。父亲讲的故事里，几乎都是关于毛主席和共产党，还有战争中的英雄人物。在他幼小的心灵里，“党员”是一种光荣得近乎神圣的身份。 这份崇敬的心情，随着年龄增长愈发强烈。1995年，考上内蒙古师范大学的卢玉宝，一进校就向党组织递交了入党申请书，还定期对自己的思想改造进行自查，撰写思想汇报。终于，在大学毕业前成为一名入党积极分子。 从此，“我的每一点进步都离不开组织的培养”就成了卢玉宝的口头禅。 他的第一份工作是集宁新世纪中学的行政人员。其实，他当初应聘的是地理老师，因为非师范类专业又没有从教经验，加上准备不充分，他落选了。是他一番真诚恳切的请求打动了校长魏山虎，聘他做了行政人员。 后来，他通过自己的努力成为一名地理老师。再后来，他进入专业对口的兴和县国土资源局，又通过公开招考进入兴和县委组织部，成长为办公室主任、副部长。 每一次身份转变，卢玉宝都付出了十足的努力。每一次进步，他都没有骄傲，而是比之前更认真、更勤奋。“我在农田里干活的时候，可没想到会穿着白衬衫坐在大楼里。”他一如既往地感恩，“我能有这个成绩，全靠党组织的信任和培养。” 开始，有人不理解，觉得他是唱高调。慢慢了解后发现，他对组织的感恩已经深入骨髓，化作精神动力。 平时聊天时，如果有人拿党和国家“开玩笑”，卢玉宝一定会上前制止。 他不爱聊人生理想，工作一步一个脚印，没有规划“路线图”。有朋友劝他找找领导好“进步”，他却摆摆手:“组织给我的太多，我付出的还太少。” 对组织的感恩，也来自生活中的感动。上大学时家里条件艰苦，生活费有时会“断供”，都是同学们在帮衬他;上班后，凑不够结婚的钱，是老同事你一百我二百主动帮忙;见他衬衣穿得领口都磨破了，有同事悄悄买好新衬衣硬塞给他;因为社区活动场所建设时间紧、任务重，县委常委、组织部长张丰五现场检查时严厉批评了他，事后体谅他的不易，放下身段主动跟他道歉。 这些来自组织和同事的温暖，一次又一次加深了他对组织的感恩，让对党忠诚的理想信念，成为他精神动力的源泉。 心中有民:群众的事是天大的事 1974年，卢玉宝出生在乌兰察布市察右前旗一个偏僻小村，父母靠种地拉扯4个孩子，日子一直不宽裕。卢玉宝是家里唯一的大学生，当年为了给他凑足学费，父亲把还没收割的胡麻当青苗“贱卖”了。上大学前，他连一条秋裤都没穿过。 从小尝遍了穷滋味的卢玉宝，格外心疼贫困群众。而真正形成心中有民的情怀，还要得益于丰富生活经历中对群众真实生活的深入了解。 上大学时，为了凑足学费和生活费，假期他经常出去打工。多种工作经历，让他对各行各业尤其是一线工作者有了认识。 当上老师后，为了多了解学生，他免费给其他老师当起了“副 班主任 高三班主任计划七年级班主任计划初中七年级班主任计划初二班主任计划高一班主任计划 ”。在与学生和家长的交谈中，他了解了许多家庭的幸福与不幸。 在兴和县委组织部工作的10年间，他多次跟着领导一起跑企业，也曾和同事一起下乡访农，对城市、农村、企业的需求有了宏观把握。 回到家中，父母是环卫工人，哥哥和妹妹都是打工者，妻子没有固定工作，一家人茶余饭后谈论的话题，永远都是老百姓的事。 他的生活，就在群众当中，像鱼儿生活在水里。 这些宝贵的经历，都将卢玉宝与普通百姓紧紧地拴在了一起。了解越多，关注越多，他懂得了什么是群众真正关心的事，从而从心里把群众的事看作了天大的事。 心中有民，是一个好干部不可或缺的精神动力。日记中，卢玉宝这样要求自己，与弘扬社会主义核心价值观相结合，创造出无愧于历史、无愧于时代、无愧于人民的新业绩。 心中有责:认真是种习惯 “卢大拿”“卢细心”不是一天养成的。把认真做到极致的卢玉宝，靠的是多年养成的认真习惯。 参加工作到新世纪中学后，为了尽快从行政转为老师，他晚上加班完成行政工作，白天一有空就钻进教学区，向老教师“偷师”。 对于兴和县国土资源局的文秘工作，开始他完全是个“门外汉”。作为“新手”，他每写完一个材料，就到处找人提意见，一遍遍修改。为了提升写作水平，他经常抱一堆报纸回家，看看写写，遇到好的就剪下来。慢慢竟“攒”了4大本剪贴本，按照文学书法、评论杂文、组织党建、国家政策分门别类，贴满了从各类报刊上剪下来的“精华”。 到了兴和县委组织部，从文秘到办公室主任，都需要全面、深厚的业务知识。只要有空，他就跟着业务组的同事一起出去跑，了解基层情况。 正是因为这种责任和细心，面对领导的随时提问，他都能准确答出全县党员数字和结构比例，能对300多名科级干部的主要特点了然于胸。 社区活动场所建设中，招投标、 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 建设、装修设计的事他不懂就学，向建设局副局长郭茂借了专业书籍，硬是在工作非常忙碌的情况下挤时间“啃”了下来。最终， 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 讨论时设计公司都说不明白的事情，他却解释得头头是道。 张丰五说，卢玉宝最大的特点是爱琢磨工作。卢玉宝的母亲说，儿子干啥都能干出道道。朋友们说，一件小事上认真不难，难的是每件事都能认真对待。 认真的习惯，源自于他心中强烈的责任感。因为“要对得起自己的工资”“要对得起组织的信任”，他把工作中的每件小事都当作责任来履行。正如他在日记中的自勉，领导干部要排除干扰，干实在的事;合理安排，干有效的事;管好本行，干分内的事。 心中有爱:爱工作，也爱家人朋友 什么样的精神力量能够创造奇迹,是爱。 因为对工作的珍爱，卢玉宝宁可让身体透支，也不让工作欠账;因为对家人的疼爱，他才能把关爱延伸到同事、朋友，用爱别人的习惯对待百姓。 卢玉宝出生的察右前旗原弓沟乡庞家梁村是一个只有20多户人家的偏僻小村。“金窝银窝不如自己的草窝”，对于贫困的家乡，卢玉宝仍然爱得深沉。一首自创的小诗《山村》饱含深情—— 生我养我的山村啊， 我的心永远跳动在您的胸中。 我是为您牵肠挂肚的游子， 苦苦地期待着有那么一日， 您走出贫穷与落后， 却不失您自然的风情。 因为这份热爱，他想通过自己的努力，改变家乡面貌，让家乡人过上更好的生活。因为这份热爱，他在工作中投入了所有心力。 走上工作岗位后，工作过的每一个地方，卢玉宝都与同事们处成了兄弟姐妹。 对新世纪中学的老朋友们，卢玉宝请不起大家吃大餐，就请他们带着家人一起到兴和的苏木山游玩。对兴和县委组织部的同事，他看别人印材料忙得转不开，就帮大家干分拣和装订的活。有人调侃他“这么大领导还跟底下人抢活干”，他却说，谁干不是干，早点儿干完，好叫兄弟姐妹们回家吃口热乎饭。 因为这些真诚的友谊，再苦再累的工作，卢玉宝都觉得和大家一起并肩战斗充满了温暖。 硬汉也有柔情。虽没能给家人富足的生活，但他一直对家人呵护有加。 对瘦弱的妻子吴秀芬，家里家外的事他几乎全包了。工作之余，他抢着做饭、洗衣服、送孩子上学;就连家里需要添置一块菜板、一双碗筷，他都舍不得让妻子操心。 对年迈的父母，里里外外的事情也都是他在张罗。搬进新家，改水改电、铺地砖、买家具，他都一一过问。平时，家里修个东西、交水电费、买米买油，都是他在忙活。老父亲抹着眼泪说:“他走后，我们都不知道水电费去哪儿交。” 心疼卢玉宝的家人，给了他莫大的支持。他对亲人的“六亲不认”，家里人慢慢都想通了。老母亲告诉大家:“玉宝不容易，咱不能给他出难题。” 这样的家庭，让卢玉宝做得再多还是充满愧疚。他宽慰妻子:“组织把担子交给我，我就得承担起这个责任。为了你们，我也得把工作干好。等我退休了，一定好好在家陪你们。” 树高千尺不忘根，做官为人不忘本。回望卢玉宝的一生，心中有党、心中有民、心中有责、心中有爱，化作强大的精神动力，塑造了他，成就了他，也成为学习卢玉宝同志的精神的核心内涵。