双纽线的旋转体体积

双纽线的旋转体体积 张俏武:双纽线的旋转体体积 双纽线的旋转体体积 2,22222y,xtan,，，，，x，y,ax,y摘要:本文推导出了双纽线绕直线 (0,,),2旋转所围的旋转体的体积公式(从而给出了戈衍三最近结果的一般性结论( 关键词:双扭线,三角函数,换元积分法( 中图分类号:O172( The Volume for Body of Rotation of Lemniscates ZHANG Qiao-Wu Abstract: In this paper, it is given to deduce volume formulae for body of rotations of lemniscates 222222y,xtan,，，，，x，y,ax,y around a line and of tained the general conclusion of GE Yan-San recentl results Keywords:lemniscates; trigonometric function; integral of interchange elements 2000MSC:51M25 1(引言 戈衍三于2007年在[2]中推导出了双纽线的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程 222222，，，，x，y,ax,y (1) 分别绕OX轴、OY轴与直线y,x旋转所围的旋转体的体积公式(自然人们要问:双纽线(1)绕一条过原点的直线旋转所围成的旋转体的体积如何计算呢, ,,,y,xtan,0,,本文考虑双纽线(1)绕直线旋转所围成的旋转体的体积, 得到下列,,,2,, 结果: ,,,定理1.1设，，则双纽线(1)绕直线 ，,max{0,,}，,min{,，},,,,,,424 ,,,0,,y,xtan,,V旋转所围成的旋转体的体积为 ,,2,, 44325532，， V,,acos,(4cos,,3)cos,cos2,,cos,cos2,，,acos,(,5cos,33 13332，，， ，3)cos,cos,2,cos,cos,2，,acos,(4cos,,1)cos,cos2,2 1 湛江师范学院2008届优秀毕业论文选编 13，，,coscos2,acosln|2cos，cos2|,ln|2cos,,,,,,, 22 4432553cos2|asin(4sin3)sincos2sincos2a ，，，，,，,,,,,,,,,，,33 123332 ，，，sin,(,5sin,，3)sin,cos2,,sin,cos2,，,asin,(4sin,,1)2 13，，，，，sincos2,sincos2，asinarcsin(2sin),arcsin(2sin),,,,,,,,( 22 ,,y,xy,xtan, , y,0y,xtan,,,0当时，;当时，变为;当时， ,,,,42 xy,xtan,,cot,x,0,变为则这三种特殊情况是戈衍三的结果( y y,0推论1.2 双纽线(1)绕轴旋转所围的旋转体的体积为 VoxOX 3,a2,,V,2ln(1，2),( ,,OX43,, 123V,a,推论1.3 双纽线(1)绕轴旋转所成曲面包围的体积为( oyx,0VOYOY42 123推论1.4 双纽线(1)绕直线旋转所围的旋转体的体积V为Va( y,x,,y,xy,x4 2(定理1.1的证明 为了证明定理1.1，首先证明下面引理( 引理2.1 112222x,1dx,x2x,1,ln2x，2x,1，C, ,222 111222322,ln2x，2x,1，C, x2x,1dx,x2x,1,x2x,1,416162 1114252322 x2x,1dx,x2x,1,x2x,1,x2x,1,64864 12,ln2x，2x,1，C( 642 证明:由[3]的附录III积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf (第305页)得 ,,11111222,,x,dx,xx,,lnx，x,，C; 1,,,22222,, 2 张俏武:双纽线的旋转体体积 ,,11111122222,,. xx,dx,x(2x,)x,,lnx，x,，C2,,,282242,, ,,121112222,,所以 2x,1dx,2x,dx,xx,,lnx，x,，2C1,,,,22222,,1122,x2x,1,ln2x，2x,1，C( 222 ,,1211112222222,,x2x,1dx,2xx,dx,x(2x,)x,,lnx，x,，2C2,,,,282242,, 1113222,x2x,1,x2x,1,ln2x，2x,1，C ( 416162 42的结果证明如下( x2x,1dx, 5535422222222(4x,4x，1)2x,1dx,(2x,1)dx,x(2x,1),x(2x,1)(4x)dx因为 ,,,2 5242222， ,x(2x,1),20x2x,1dx，10x2x,1dx,, 5174222222x2x,1dx,x(2x,1)，x2x,1dx,2x,1dx所以 ,,,2412 517111,23222 ,x(2x,1)，x2x,1,x2x,1,ln2x,2412416162, 1,1,222,，2x,1,x2x,1 ,ln2x，2x,1,，C,,3,,2,22,11152322 ,x2x,1,x2x,1,x2x,164864 12,ln2x，2x,1，C( 642 11221,2xdx,x1,2x，arcsin2x，C引理2.2 ， ,222 11122322x1,2xdx,x1,2x,x1,2x，arcsin2x，C ， ,416162 1114252322 x1,2xdx,x1,2x,x1,2x,x1,2x,64864 3 湛江师范学院2008届优秀毕业论文选编 1，arcsin2x，C( 642 证明: 由[3]附录III积分表(第306页)得 ,,111122,,,xdx,x,x，arcsin2x，C， 1,,,2222,, 1111,,2222. x,xdx,x(2x,)1,2x，arcsin2x，C,,2,2824,, ,,1211222,,,2,xdx,x,x，arcsin2x，2C所以 1,2xdx1,,,,2222,, 11222,x1,2x，arcsin2x，C x1,2xdx,222 ,,121112222,,,2x,xdx,x(2x,),x，arcsin2x，2C 2,,,28224,, 111322,x1,2x,x1,2x，arcsin2x，C( 416162 42的结果证明如下( x1,2xdx, 5355224422222,x(1,2x),x(1,2x)(,4x)dx因为 (4x,4x，1)1,2xdx,(1,2x)dx,,,2 5242222 ， ,x(1,2x),20x1,2xdx，10x1,2xdx,, 所以 517142222222x1,2xdx,x(1,2x)，x1,2xdx,x1,2xdx ,,,241224 51711,23222 x(12x)x12xx12x,,，,,,,2412416, ,,,11112 ，arcsin2x,,,x1,2x，arcsin2x,，C3,,,24216222,,, 111125232,x1,2x，arcsin2x，C( ,x1,2x,x1,2x64648642 22引理2.3 ，( sin3,,sin,(4cos,,1)cos3,,cos,(1,4sin,) 4 张俏武:双纽线的旋转体体积 证明: 由三角函数倍角公式容易证得 2,,,22222，，，，yxx，y,ax,y ,tan0,,定理1.1的证明:将和化为极坐标方程为,,,,2,, ,,,4222222,,, , 0,,和，即和 r,ar(cos,,sin,) r,acos2, ,,,,,2,, 2,,,,,,2222222y,xtan,，，，， 0,,x，y,ax,y 0,,(则绕 即绕r,acos2, ,,,,,,22,,,, ,,,22 , 0,,旋转所围的旋转体的体积与绕X轴旋转所围的旋转体r,acos2(,,,),,,,,2,, 的体积等积( 又第二、四象限部分旋转时被第一、 4 三象限旋转部分所覆盖，则可以不考 2 虑(又第三象限部分旋转时的体积相 等，所以全双纽线旋转所围的旋转体 -5 5 的体积等于第一象限部分旋转时的 V-2 -4 体积的两倍( V1 ，，r,acos2(,,,) r,0下面求函数在第一象限部分的变化范围(因为 ,,,,cos2(,,,),022，于是 ，从而(设 ,,,,,,,，,,,,,2244 ,,,,,,,，,min,，，,max0,,，, ,,,,,,,,,,424,,,, (,，,,,，,)r,acos2(,,,)则在第一象限部分的变化范围是( ，，r,0 x,rcos,,acos2(,,,)cos,现在考虑第一象限部分旋转时的体积:关于,求导数 ,,,,,,1sin2(),,， ,,,,，，xa2cos,cos2(,,)sin,,,2,cos2(),,,, ,,,,,,,,,sin2(,)cos，cos2(,)sinsin(3,2),a,,a( cos2,(,,)cos2(,,,) 22,,，,，3,,2,,03,,2,,,x,0令，得或，即或(由双纽线方程 ,,,,33 22,,，,22知，当和时，所求旋转体的体积是相等的( r,acos2(,,,),,,,33 5 湛江师范学院2008届优秀毕业论文选编 3222,,,2x,acos2(,)cos,acos，( y,rsin,,acos2(,,,)sin,,333 ,,y,0,,0,,0令 ，得或即或，所以或时，旋转x,0,,,，x,acos2,,,,,44 体的体积为第一象限部分旋转时体积的两倍(根据旋转体的体积公式得 332,2,22 acos acos2233V,2V,2,ydx,,ydx 121,, 0 cos2a, 2, 223 ，，,2，，acos2,(,,)sin, dacos2(,,,)cos,,， ,, 2, 223 ，，,2，，acos2,(,,)sin, dacos2(,,,)cos,,， ,, ,，,22，，，，,2acos2,(,,)sin, dacos2(,,,)cos, , ，,, ,, ,，,,,,sin(32)22,, ,,,，，2acos2,(,)sin, a d,,,, ，,,,cos2(),,,, ,，,32( (2) ,2,acos2(,,,)sin,sin(3,,2,) d,, ，,, 2下面对(,)式中的进行整理( sin,sin(3,,2,) 22 sin,sin(3,,2,),sin(,,,，,)sin(3,,3,，,) 2，，，，,sin(,,,)cos,，cos(,,,)sin,sin3(,,,)cos,，cos3(,,,)sin, 2222,，，sin(,,,)cos,，2sin,cos,sin(,,,)cos(,,,)，cos(,,,)sin, 22 ，，， cos,sin(,,,)，，，，4cos(,,,),1，sin,cos(,,,)4cos(,,,),3 222222 ,sin(,,,)，，，，，sin(,,,)cos,，cos(,,,)sin,cos,4cos(,,,),1，2sin,222222，2sin,cos,cos(,,,)，，，，4cos(,,,),3，cos(,,,)sin(,,,)cos，,，cos(,,,)22222 ，sin,，，，，sin,[4cos(,,,),3]，2sin,cos,sin(,,,)4cos(,,,),1 222222 ,sin(,,,)，，，，，cos,,cos,cos(,,,)，sin,cos(,,,)cos,4cos(,,,),1222222 ，2sin,cos,cos(,,,)，，，，4cos(,,,),3，cos(,,,)cos,sin(,,,，)，sin,222222 ,sin,sin(,,,)，，，，，，sin,1,4sin(,,,) ，2sin,cos,sin(,,,)3,4sin(,,,) 22243 ,sin(,,,)，，，，4cos,(sin,,cos,)，8sin,cos,cos(,,,)，4cos,,cos, 6 张俏武:双纽线的旋转体体积 222232 ，(,cos,，sin,),6sin,cos,，，，cos(,,,) ,cos,，cos(,,,),4sin,(cos,，2242232 ,sin,),8sin,cos,，，，sin(,,,)，sin,(cos,,sin,),4sin,，6sin,cos,23 ，sin(,,,) ，sin,， 24223 ,sin(,,,)，，4cos,(3,4cos,)cos(,,,) ，cos,(12cos,,7)cos(,,,),cos, 24223( ，cos(,,,)，，4sin,(4sin,,3)sin(,,,)，sin,(,12sin,，7)sin(,,,) ，sin, 将整理后的结果代入(2)得 ,，,3242 ，，V,,2acos2,(,,)sin(,,,)4cos,(3,4cos,)cos(,,,)，cos,(12cos,, ，,, 2324 ,7)cos(,,,),cos,，，，cos(,,,)4sin,(4sin,,3)sin(,,,)，sin, 223 ，(,12sin,，7)sin(,,,)，sin,，，d, ,，,3242 ，,,2acos2,(,,) sin(,,,)4cos,(3,4cos,)cos(,,,)，cos,(12cos,, ，,, ,，,2332 ，，,7)cos,(,,),cos,d,(,,)，2,acos2(,,,)cos(,,,)4sin,(4sin,, ，,, 4223 ,3)sin(,,,)，sin,(,12sin,，7)sin(,,,)，sin,，d(,,,) ,，,32242 ，,,,2a2cos,(,,),14cos,(3,4cos,)cos(,,,)，cos,(12cos,,7), ，,, ,，,23322 ，，，cos,(,,),cos,dcos(,,,)，2,a1,2sin(,,,)4sin,(4sin,,3), ，,, 4223 ，sin(,,,)，sin,(,12sin,，7)sin(,,,)，sin,，dsin(,,,) cos, cos,3242322 ,,8acos,(4cos,,3)u2u,1du,2,acos,(12cos,,7)u,, cos cos,, cos, sin,2332324 ，2u,1du，,acos,2u,1du，8,asin,(4cos,,3)v,, cos sin,, sin,2322233，1,2vdv,,2asin,(12sin,,7)v1,2vdv，2,asin, ,,sin sin,2，1,2vdv ,,sin cos,111,3252322,8,acos,(4cos,,3)u2u,1,u2u,1,u2u,1ln2u ,, cos,64864, cos,111,232322,212cos(12cos7)2121，u,du,,a,,,uu,,uu,, ,,, cos,,416642, 7 湛江师范学院2008届优秀毕业论文选编 cos,1,233223,,，ln2u，2u,1du，,2acos,u2u,1，2u,1du，8,asin, ,,,, cos,,,2, sin,1111,252322(4sin3)121212，,,v,v,v,v,x,v， ,, sin,64864642, sin,11,32322，，arcsin2vdv,2,asin,(12sin,,7)v1,2v,v1,2v ,, sin,416, sin,111,,,332 arcsin2vdv2,asin,v12varcsin2v dv，，,，,,,, sin,216222,,, cos,44325232 ,,,,acos,(4cos,,3)u2u,1，,acos,(,5cos,，3) cos,33 3,, cos coscos,a,132322,,,,21cos(4cos1)21，uu,，a,uu,, ,,, cos cos,,222 , cos sin,223252，，,, ，ln2u，2u,1，,asin,(4sin,,3)v1,2v sin,,,，，3 cos, sin, sin,413232322,, ,,，,asin,(,5sin,，3)v1,2v，,asin,(4sin,,1)v1,2v sin sin,,32 sin,13,,，asinarcsin2v,, sin,22 443252523 ，，,,acos,(4cos,,3)cos,2cos,,1,cos,2cos,,1，,acos,33 12323232 ，，，(,5cos,，3)cos,2cos,,1,cos,2cos,,1，,acos,(4cos,,1)2 12232,，，a，cos,2cos,,1,cos,2cos,,1,,cos,ln2cos,2cos,,1 ,,22 4232525, ，,ln2cos,，2cos,,1，,asin,(4sin,,3)sin,1,2sin,,sin,,,3 42323232， ，，，1,2sin,，,asin,(,5sin,，3)sin,1,2sin,,sin,1,2sin,3 1132223，，asin(4sin,1)，sin1,2sin,sin1,2sin，asin,,,,,,,,, 222，，，arcsin(2sin,),arcsin(2sin,) 44325532，， ,,acos,(4cos,,3)cos,cos2,,cos,cos2,，,acos,(,5cos,33 8 张俏武:双纽线的旋转体体积 13332 ，，，，3)cos,cos,2,cos,cos,2，,acos,(4cos,,1)cos,cos2,2 13，，,coscos2,acosln|2cos，cos2|,ln|2cos,,,,,,, 22 4432553cos2|asin(4sin3)sincos2sincos2a ，，，，,，,,,,,,,,,，,33 123332 ，，，sin,(,5sin,，3)sin,cos2,,sin,cos2,，,asin,(4sin,,1)2 13，，，，，sincos2,sincos2，asinarcsin(2sin),arcsin(2sin),,,,,,,,( 22 定理1.1证明完毕( 3(推论1.2-1.4的证明 , 推论1.2 的证明: 当时，则，(由定理1.1得 ,,0,,0,,4 V,limV OX,,0 ,,,,4432553,,,,acos0(4cos0,3)coscos2(),cos0cos0，,acos0 ,,3443,, ,,,,123332,,，(,5cos0，3)coscos2(),cos0cos0，,acos0(4cos0,1) ,,442,, ,,,1,,,,3,,,，coscos2(),coscos0,acos0ln2cos，cos2() ,,,,,444422,,, ,,4,,3255,,,ln2cos0，cos0，asin0(4sin0,3)sincos2(),sin0 ,,,344,, ,,,4,,3233,,,，cos0，asin0(,5sin0，3)sincos2(),sin0cos0 ,,,,344,,, ,,,,11323,,，,asin0(4sin0,1)sincos2(),sin0cos0，,asin0 ,,24422,, ,,,，arcsin(2sin),arcsin(2sin0) ,,4,, 3,a441333,a(4,3)(0,1)，a(,5，3)(0,1)，a(4,1)(0,1),(ln|1，0| ,,,33222 9 湛江师范学院2008届优秀毕业论文选编 3a,4333,ln|2，1|)，0，0，0，0,a,a,(,ln|2，1|) ,,3222 3,a2,,,2ln(1，2),( ,,43,, ,,,,0 推论1.3 的证明:当时，，(由定理1.1得 ,,,,,24 V,limVOY,,,2 ,,,,,,4432553,,acos(4cos3)cos0cos0cos()cos2()a,,,,,,，, ,,322443,, ,,1,,,,,2333,,，cos(,5cos，3)cos0cos0,cos(,)cos2(,)，acos(4 ,,,224422,, ,,,1,,,,23,,, ，cos,1)cos0cos0,cos(,)cos2(,),cosln2cos0a,,,,244222,,,,,,,4325,, ，，cos0,ln2cos(,)，cos2(,)，,asin,(4sin,,3)sin0cos0,,443,, ,4,,,,53233,,sin(,)cos2(,)，asin(,5sin，3)sin0cos0,sin(,) ,,,,,4434,, ,,,1,,,32,,,，cos2(,)，sin(4sin,1)sin0cos0,sin(,)cos2(,)a ,,,,,,4244,,,1,,,,3a，sinarcsin(2sin(0)),arcsin(2sin(,)) ,,,2422,, ,111,,3323aa，，,,,,,0，0，0，0，0，0，0，,a0,arcsin(,1)( ,,2224222,, ,,, 推论1.4 的证明:当时，则，(由定理1.1得 ,,,,,,,444 V,V y,x ,,,,,,,,4432553,,acos(4cos3)coscos2()cos()cos2()a,,,,,,，, ,,34444443,, ,,1,,,,,,,2333,,cos(5cos3)coscos2()cos()cos2()cos，,，,,,，a ,,,44444424,, 10 张俏武:双纽线的旋转体体积 ,,,1,,,,,,23,,, ，(4cos,1)coscos2(),cos(,)cos2(,),cosln2a,,,,44444422,,, ,4,,,,,,32, cos，cos2(),ln2cos(,)，cos2(,)，asin(4sin,3),,4444344, ,,4,,,,,,,,55323,,，sincos2(),sin(,)cos2(,)，asin(,5sin，3)sin ,,,,44443444,,, ,,1,,,,,,,332,,，cos2(),sin(,)cos2(,)，sin(4sin,1)sincos2()a ,,,44424444,, ,1,,,,,,,3,sincos2(),sin(,)cos2(,)，asinarcsin(2sin) ,,,44444422,, ,,1,,3 ,arcsin2sin(,),0，0，0，0，0，0，0，,a(2arcsin1),,,,44,,, 123a( ,,4 参考文献 [1] I. 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