【高考数学】高中对数函数公式（共4页）

【高考数学】高中对数函数公式（共4页） 指数函数和对数函数 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数 x在及两种不同情况。 01,,aa,1yayx,,，loga 1、指数函数: x 定义:函数叫指数函数。 yaaa,,,01且，， 定义域为R，底数是常数，指数是自变量。 x 为什么要求函数中的a必须。 ya,aa,,01且 1x 因为若时，，当时，函数a,0y,,4x,，，4 值不存在。 x，，当，函数值不存在。 a,0x,0y,0 x 时，对一切x虽有意义，函数值恒a,1y,1 x为1，但的反函数不存在， 因为要求函数y,1 x中的。 ya,aa,,01且 x1,,xx 1、对三个指数函数yyy,,2，，,10,,,,2 的图象的认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 x(1)图象都位于x轴上方; (1)x取任何实数值时，都有a,0; x,0(2)无论a取任何正数，时，; y,1(2)图象都经过点(0，1); xxx(3)在第一象限内的纵坐yy,,210，,xa,,01，则,a,1时， (3)当,x标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，,xa,,01，则,xx1,,,xa,,01，则,的图象正好相反; y,,,01,,a 当时， ,,,2x,xa,,01，则, xxxa,1(4)的图象自左到右逐渐时，是增函数， (4)当yy,,210，ya, xx01,,a当时，是减函数。 ya,1,,上升，的图象逐渐下降。 y,,,,,2 对图象的进一步认识，(通过三个函数相互关系的比较): xx ?所有指数函数的图象交叉相交于点(0，1)，如和相交于，y,2y,10()01， 22xxx,0x,0102,当时，的图象在的图象的上方，当，刚好相反，故有y,10y,2 ,,22102,及。 x1,,x ?与的图象关于y轴对称。 y,y,2,,,,2 x1,,xxx ?通过，，三个函数图象，可以画出任意一个函数y,y,2y,10ya,,,,,2 xxx()的示意图，如的图象，一定位于和两个图象的中aa,,01且y,3y,2y,10 xx11,,,,间，且过点，从而也由关于y轴的对称性，可得的示意图，即y,y,()01，,,,,,,,,33通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 2、对数: b 定义:如果，那么数b就叫做以a为底的对数，记作bN,logaNaa,,,()01且a(a是底数，N 是真数，是对数式。) logNab 由于故中N必须大于0。 Na,,0logNa 当N为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的，常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如: ,,52 求 log,,032.4,, ,,52 分析:对于初学者来说，对上述问题一般是束手无策，若将它写成log,x,,032.4,, ,,52再改写为指数式就比较好办。解:设 log,x,,032.4,, 52x则032.,4 1,x288,,,,即,,,,,,,,,2525 1?x,,2 ,,521即log,,,,032.42,, 评述:由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题， xx35,因此必须因题而异。如求中的，化为对数式x,log5即成。 3 (2)对数恒等式: b 由 aNbN,,()log()12a logNaaN, 将(2)代入(1)得 运用对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 ,log21 计算: 33，， 1log22,1,log2112,,33 解:原式。 ,,3,,,,3 (3)对数的性质: ?负数和零没有对数; ?1的对数是零; ?底数的对数等于1。 (4)对数的运算法则: ， ?logloglogMNMNMNR,，,， ，，，，aaa M， ? logloglog，,,,MNMNR，，aaaN n， ?loglogNnNNR,, ，，，，aa 1，n ? loglogN,,NNR，，aan 3、对数函数: x 定义:指数函数的反函yaaa,,,()01且 数叫做对数函数。 yx,logx,，,(,)0a 1、对三个对数函数 yxyx,,loglog，，21 2 的图象的认识。 yx,lg 图象特征与函数性质: 图象特征 函数性质 +(1)图象都位于 y轴右侧; (1)定义域:R，值或:R; (2)x,1时，。即; y,0log10,(2)图象都过点(1，0); a(3)，当x,1时，图象a,1时，若x,1，则，若(3)当y,0yx,logyx,lg2 01,,x，则; y,000,,x在x轴上方，当时，图象在x轴下 方，与上述情况刚好相反; yx,log01,,a当时，若x,0，则，若y,01 201,,x时，则; y,0(4)从左向右图象是上a,1时，是增函数; (4)yx,logyxyx,,loglg，2a升，而从左向右图象是下降。 yx,log01,,a时，是减函数。 yx,log1a2 对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较): (1)所有对数函数的图象都过点(1,0)，但是与在点(1,0)曲yx,logyx,lg2 01,,xx,0线是交叉的，即当时，的图象在的图象上方;而时，yx,logyx,lg2 的图象在的图象的下方，故有:;。 yx,logyx,lglog.lg.1515,log.lg.0101,222 (2)yx,log的图象与的图象关于x 轴对称。 yx,log21 2 (3)通过，，三个函数图象，可以作出任意一个对数yx,logyx,lgyx,log12 2 函数的示意图，如作的图象，它一定位于和两个图象的中yx,logyx,logyx,lg32间，且过点(1,0)，时，在的上方，而位于的下方，01,,xx,0yx,lgyx,log2时，刚好相反，则对称性，可知的示意图。 yx,log1 3 因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式: logNalogN,blogba LNNeN,,log(.)其中„称为的自然对数271828ne LNN,log称为常数对数10g 由换底公式可得: lgNlgN LN,,,2303.lgNnlge04343. 由换底公式推出一些常用的结论: 1 (1) logb,,或?loglogba1aablogab mm (2) loglogb,bnaann (3) loglogbb,naa mm (4) loga,nan 5、指数方程与对数方程* 定义:在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而 属于超越方程。 指数方程的题型与解法: 名称 题型 解法 fx，，a为底的对数 取以fxb,log，，基本型 aab, fxx()(),取以a为底的对数 fxx,,，，，，同底数型 aa, fxx,，，，，取同底的对数化为 fxaxb??lglg,,，，，，不同底数型 ab, xF,0 xta,t需代换型 换元令转化为的代数方程 a，， 对数方程的题型与解法: 名称 题型 解法 b logfxb,，，对数式转化为指数式fxa, ，，基本题 a 转化为(必须验根) loglogfxx,,fxx,,，，，，，，，，同底数型 aa F,0 换元令tx,log转化为代数方程 (log)x需代换型 aa 条件概率练习题 姓名 311(已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)=( ) 105 1323A( B. C( D. 22350 2(由“0”、“1” 组成的三位数码组中，若用A表示“第二位数字为0”的事件，用B表示“第一位数字为0”的事件，则P(A|B)=( ) 1111A. B. C. D. 2348 423(某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮三级以上风的概率为，1515 1既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为( ) 10 8331A. B. C. D. 222584 4(设某种动物有出生算起活20岁以上的概率为0.8，活到25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是 . ,(一个口袋内装有2个白球，3个黑球，则 (1)先摸出1个白球后放回，再摸出1个白球的概率, (2)先摸出1个白球后不放回，再摸出1个白球的概率, 13,(某种元件用满6000小时未坏的概率是，用满10000小时未坏的概率是，42现有一个此种元件，已经用过6000小时未坏，求它能用到10000小时的概率 7(某个班级共有学生40人，其中有团员15人，全班分成四个小组，第一小组有学生10人，其中团员4人。如果要在班内任选一人当学生代表 (1)求这个代表恰好在第一小组内的概率 (2)求这个代表恰好是团员代表的概率 (3)求这个代表恰好是第一小组内团员的概率 (4)现在要在班内任选一个团员代表，问这个代表恰好在第一小组内的概率 8(市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70,，乙厂占30,，甲厂产品合格率是95,，乙厂合格率是80,，则(1)市场上灯泡的合格率是多少, (2)市场上合格品中甲厂占百分之几,(保留两位有效数字) 9(一个家庭中有两个小孩，已知其中一个是女孩，问这时另一个小孩也是女孩 的概率,(每个小孩是男孩和女孩的概率相等) 10(在一批电子元件中任取一件检查，是不合格品的概率为0.1，是废品的概率为0.01，已知取到了一件不合格品，它不是废品的概率是多少,