高中数学竞赛专题讲座之五 解析几何(2)
一、选择题
21、（04湖南）已知曲线m：与直线有两个交点，则的取值范围是(C) Cl:x，y,m,0y,,x,2x
A．(,2,1,2)(,2,2,1)[0,2,1)(0,2,1) B． C． D．
22xy2. （05全国）方程，,1
表
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示的曲线是（ ） sin2,sin3cos2,cos3
A. 焦点在x轴上的椭圆 B. 焦点在x轴上的双曲线
C. 焦点在y轴上的椭圆 D. 焦点在y轴上的双曲线 3、（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L的距离分别是2,5,2，则满足条件的直线L
共有（ C ）条。
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
解: 由52分别以A，B为圆心，，为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。正确AB,5,
答案为C。
224．（06安徽）过原点O引抛物线的切线，当a变化时，两个切点分别在抛物线（ ）上 yxaxa,，，4
133522222222A、yxyx,,,yxyx,,, B、 C、 D、 yxyx,,,3yxyx,,3,52222
25．若在抛物线y,ax(a,0)r的上方可作一个半径为的圆与抛物线相切于原点O，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r的最大值是 ( A )．
11(A)a (B) (C) (D)2a 2aa2 6. （06江苏）已知抛物线y=2px，o是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得?POF
是直角三角形，则这样的点P共有( B )
(A)0个 (B)2个 (C)4个 (D)6个
22xy7、（06全国）如图3，从双曲线,,,,1(0,0)ab的左焦点F引圆22 ab
222xya，,的切线，切点为T．延长FT交双曲线右支于P点。若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则||||MOMT,ba,与的大小关系为 ( )
A.||||MOMTba,,,||||MOMTba,,, B.
C. ||||MOMTba,,, D.不确定
22xy8.（05四川）双曲线,,1FA,A的左焦点为，顶点为，是该双曲线右支上任意一点，则分P11222ab
别以线段PF,AA为直径的两圆一定( ) 112
，线段的中点为，在?中，为的中点，为FFFPPFCCPFOFF2112112（A）相交 （B）内切 （C）外切 （D）相离
11解：设双曲线的另一个焦点为的中点，从而，从而以线段为直径的两圆一定内切。 OC,|PF|,(|PF|,|AA|)PF,AA211211222
9、点x是直线上一点，且在第一象限，点的坐标为（3，2），直线交轴正半轴于点，Cl:y,3xABAB
那么三角形面积的最小值是 （ A ） AOC
10.（02湖南）已知A（-7，0），B（7，0），C（2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C，且过A、B两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（ ）（奥析263）
（A）双曲线 （B）椭圆 （C）椭圆的一部分 （D）双曲线的一部分
2O11、（03全国）过抛物线y,8(x，2)的焦点F作倾斜角为60的直线。若此直线与抛物线交于A、B两点，弦AB的中垂线与轴交于点P，则线段PF的长等于（ ）（奥析263）
163816（A）83 （B） （C） （D） 333
二、填空题
22xy1、若，,1a，b，c成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆截得线段的中点的轨迹方程为 28
22xy2. （04湖南）设，,1F是椭圆上异于长轴端点的任意一点，F、分别是其左、右焦点，OP12169
2|PF|,|PF|，|OP|,为中心，则 ___25________. 12
3．（05湖南）一张坐标纸对折一次后，点A(0,4)与点B(8,0)重叠，若点C(6,8)与点D(m,n)重叠，则
_______________; m，n,
n，8n,81解：可解得对称轴方程为,(6，m),6,,,y,2x,6，由得m,7.6,n,7,2，所以2m,62
m，n,14.8
4. 在正?,ABCACC中，、分别是、的中点，则以、为焦点且过点、的双曲线的DEABBDE离心率是 3，1 ．
22xy5、（03全国）设F，,1、F是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一点，且|PF|：|PF|=2：1.则三121294
角形PFF的面积为 . （奥析264） 12
6、（04全国）给定两点M（-1，2），N（1，4），点P在x轴上移动. 当，MPN取最大时，点P的坐标为 . （奥析265）
227、（03山东）设曲线2x，y,4x，6上与原点距离最大和最小的点分别为M、N，则|MN|= .
（奥析266）
228、（04全国）已知M,{(x,y)|x，2y,3},N,{(x,y)|y,mx，b}.m,R若对于所有的，均有
，则b的取值范围是 （奥析267） M,N,,
349、（00全国）平面上的整点到直线25x－15y+12=0的距离中的最小值是. 85
22 10、(99全国)满足不等式（|x|－1）+(|y|－1)<2的整点的个数有 16 .
532211、（00河北）在圆x+y－5x=0内，过点(,)有三条弦的长度成等比数列. 则其公比的取值范围为 22
255 [,] . 52
22212、设P是抛物线y=2x上的点，Q是圆（x－5）+y=1上的点，则|PQ|的最小值为 2 .
三、解答题
21、已知抛物线y=4ax（0
0,(1). 试将d表示为n的函数关系式.(2). 若,是否存在满足条件PAd,,,,n55,,*的n(n,N).若存在,求出n可取的所有值,若不存在,说明理由.
2x2解(1). ?d>0,故为递增数列 ?，，,y,12,x,25,y,0PA最小,PA最大。 由方程知1n4
4A(5,0)是它的右焦点,L: 是它的右准线, ?PA,5,2 PA,3 x,1n5
5,5于是3,(5,2),(n,1)dd,(n,1) ? - - - - - - - - - - -5分 n,1
15,5111*(2) ?nn,(55,4,26,55)d,(,)n,N ? 设 又? ?取最,,555n,15
大值14, nn取最小值8.?可取8、9、10、11、12、、13、14这七个值。- - - - - - - - -- - - - -9分
225、（03山东）椭圆C：Ax，By,1,与直线：x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5）.
O若，PRQ,90,PQR是等腰三角形，，求A、B的值。（奥析265）
4，点P到直线BC的距离是ABC(0,),(1,0),(1,0),3
该点到直线AB，AC距离的等比中项。（?）求点P的轨迹方程；（?）若直线L经过的内心（设,ABC604在平面直角坐标系xoy中，给定三点
为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L的斜率k的取值范围。
44解：（?）直线AB、AC、BC的方程依次为yxyxy,，,,,,(1),(1),0。点到AB、AC、Pxy(,)33
11BC的距离依次为dxydxydy,,，,，,,|434|,|434|,||。依设，12355
2222dddxyy,,,,,|16(34)|25得，即123
22222216(34)250,16(34)250xyyxyy,,，,,,,,或，化简得点P的轨迹方程为
2222圆S：22320171280xyyyy，，,,,，,,与双曲线T:8x ......5分 （?）由前知，点P的轨迹包含两部分
2222圆S：22320xyy，，,,8x,，,,171280yy ? 与双曲线T： ? 因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点B和点C在点P的轨迹上，且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。
1ddd,,D(0,),ABC的内心D也是适合题设条件的点，由，解得，且知它在圆S上。直线L经1232
1过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为ykx,， ? 2
1（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线y,平行于x轴，表明L与双曲线有2
不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。......10分 （ii）当k,0时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况：
1 情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k,,，直线L的方程为xy,,,(21)。代入方2
5454程?得E(,)或F(-,)yy(34)0,,，解得。表明直线BD与曲线T有2个交点B、E；直线CD3333
1与曲线T有2个交点C、F。故当k,,时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 ......15分 2
1 情况2：直线L不经过点B和C（即k,,），因为L与S有两个不同的交点，所以L与双曲线T2
22,8171280xyy,，,,,有且只有一个公共点。即方程组有且只有一组实数解，消去y并化简得,1ykx,，,,2
25222(817)50,,,,kxkx8170,,k该方程有唯一实数解的充要条件是 ? 4
23422522或k,,k,,(5)4(817)0,，,,kk ? .解方程?得，解方程?得。 2174
12342综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集{0,,,},,,。 2172
中，已知，且当顶点位于定点时，有最小值,ABCCcosC|AB|,6P77. （04湖南）在周长为定值的为.(1)建立适当的坐标系，求顶点的轨迹方程.(2)过点作直线与(1)中的曲线交于、两点，CNAM25
求的最小值的集合. |BM|,|BN|
解：(1) 以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设 |CA|+|CB|=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距 2c=|AB|=6.
22222|CA|，|CB|,6(|CA|，|CB|),2|CA||CB|,362a,18 因为 cosC,,,,1 2|CA||CB|2|CA||CB||CA||CB|
182a187222又 |CA|,|CB|,(),a，所以 cosC,1,，由题意得 1,,,a,25. 22225aa
22xy此时，|PA|=|PB|，P点坐标为 P(0，?4).所以C点的轨迹方程为 ，,1(y,0) 2516
0(2) 不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x,y),N(x,y).当直线MN的倾斜角不为90时，设其方程为 1122
221k39k22y=k(x+3) 代入椭圆方程化简，得 (，)x，kx，(,1),0 2516816
22150k225k,400显然有 ??0， 所以 x，x,,,xx, 12122216，25k16，25k
而由椭圆第二定义可得
339||||(5)(5)253()BM,BN,,x,x,,x，x，xx1212125525
1442 k,222450k81k,144531k,144531531,25，，,25，,25，,2221625162516251625，k，k，k2k，25
161442144，k,25531只要考虑 531的最小值，即考虑取最小值，显然. 1,161622k，k，2525
当k=0时，取最小值16. |BM|,|BN|
3420当直线MN的倾斜角为90|BM|,|BN|,(),16时，x=x=-3,得 12522xy但 ，,1(y,0)k,0，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集. |BM|,|BN|2516
22yx2228.（04四川）已知椭圆ε：,，,1x，y,R（a>b>0），动圆：，其中b
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