线弹性动力学中的最小势能原理（含最小余能原理）

线弹性动力学中的最小势能原理（含最小余能原理） 线弹性动力学中的最小势能原理(含最小余 能原理) 第3卷第1期 2005年3月 动力学与控制 JOURNALOFDYNAMICSANDCONTROL Vl01.3No.I Mar.2005 线弹性动力学中的最小势能原理(含最小余能原理) 唐松花,罗迎社周筑宝 (1.湘潭大学基础力学与材料工程研究所,湘潭411105)(2.中南大学土木建筑学院,长沙410075) 摘要线弹性静力学中有最小势能原理和最小余能原理,但只适用于物体或结构在给定约束条件下处于稳 定平衡状态的情况,而在一般情况下动力学问题不可能存在稳定平衡状态,因此在动力学领域中是否存在 最小势能原理值得认真考虑.本文对动力学问题中存在最小势能原理的可能性进行了探讨,并以摆脱了"平 衡态"和"稳定态"的限制的最小功耗原理为理论基础,导出了线弹性动力学中的最小势能原理和最小余能 原理.给出了计算实例,结果正确.因此在线弹性动力学中存在瞬时意义下的最小势能原理和最小余能原 理.但其含义与静力学中的最小势能原理和最小余能原理并不相同.其主要区别在于:动力学中的原理适用 于不稳定过程之任一瞬时,其"最小"是指"当时(即该瞬时)所有可能值的最小".而静力学中的最小势能原 理则只适用于稳定平衡状态,其"最小"是指系统从不稳定最后达到稳定平衡的整 个过程中所有"真实值中 的最小".即前者是"当时的最小",后者则是"全过程中的最小".这两类变分原理可 成为线弹性动力学中各 种变分直接解法的理论基础. 关键词最小功耗原理,最小势能原理,最小余能原理 引言 现有热力学理论中的最小能量原理,最小耗能 原理,最小熵产生原理等,都是在系统处于"平衡 态"或"稳定态"时得到的结论,理论力学及弹性力 学属于热力学理论的范畴,它们不能违反热力学的 基本原理,所以它们中的最小势能原理也只适用于 物体或结构在给定约束条件(例如给定体力及边界 条件)下处于稳定平衡状态的情况.所谓稳定平衡 情况,是指即使有一微小扰动,当扰动消失之后物 体或结构还会恢复到原来的平衡状态的情况.例如 在U形谷底或平面上的小球,就属于这种情况.众 所周知,此时小球的重力势能都取与问题给定约束 条件相适应的最小值.动力学问题由于既具有势能 又具有动能,且约束条件(例如给定的体力及面力) 随时间而变,所以在一般情况下动力学问题不可能 存在稳定平衡状态,因此在动力学领域中是否存在 最小势能原理,应该说还是一个值得认真考虑的 问题. 1964年,Curtin[1]利用卷积理论,建立了一系 列线弹性动力学的初值一边值混合问题的变分原 2004—10-02收到第1稿,2004—12—20收到修改稿 理.1987年,罗恩利用卷积恒等式,导出了一簇 Curtin型变分原理.1994年,贺国京【j采用La— grange乘子法建立了各种Curtin型变分原理,其中 包括最小势能原理.本文另辟蹊径,以文献[4]提出 的最小功耗原理为理论基础,建立了线弹性动力学 中的最小势能原理(含最小余能原理),并给出了计 算实例,算例结果正确. 1对动力学问题中存在最小势能原理可能 性的探讨 为探讨动力学问题中是否可能存在最小势能 原理,先来看一个理论力学中的简单问题:考查一 个小球从一个由一光滑斜面和一个光滑平面组成 的斜坡上滚下时,小球在各瞬时的重力势能的 情况. 1)当小球在斜面上滚动时,小球处于加速运动 之中是一个动力学问题.因为在此阶段小球不可能 达到稳定平衡状态,所以在此阶段中的任意时刻, 静力学中的最小势能原理都不成立. 2)设某瞬时小球滚到斜面上的任一点A,由于 小球在该瞬时受到当时斜面上的支撑点A(边界条 塑唐松花等:线弹性动力学中的最小势能原理(含最小余能原理)35 件)的约束,所以在该瞬时小球的总重力势能必然 是取与当时约束条件(支撑点A)相适应的当时所 有可能重力势能中的最小值(因为受约束(支撑点 A)的限制,小球在该瞬时的位置就是小球在当时 约束(支撑点A)允许的所有可能位置中高度最低 的位置). 3)当小球滚到平面上之后,由于已设平面光 滑,小球处于匀速运动状态(即达到稳定平衡状 态).显然,此时小球的总重力势能也就达到了整个 滚动过程中的最小值. 综上可看出: 1)上述动力学过程中的任何一瞬时(1~Pt.I,球在 斜面上滚动过程中的任一瞬时),虽然小球在该瞬 时并不处于稳定平衡状态,而且还具有与时具增的 动能,但它的总势能却取与当时约束条件允许的所 有可能总势能的最小值. 2)上述"当时约束条件允许的所有可能总势能 的最小值",显然不是小球滚动全过程中的"最小 值".全过程中的"最小"只能在此动力学过程最终 达到稳定平衡状态时才能实现. 3)对动力学问题,看来也存在着一个与系统动 能大小并无直接联系的最小势能原理,它与静力学 中的最小势能原理的区别在于,前者可用于不稳定 的动力学过程中的任一瞬时,并且其系统(物体或 结构)总势能是取与该瞬时约束条件相适应的,当 时所有可能总势能值中的最小值;后者则只能用于 当系统(物体或结构)达到稳定平衡状态时的情况, 并且此时系统(物体或结构)的总势能,是在其从不 稳定状态最终达到稳定平衡状态的全过程中所有 真实总势能中的最小值.即前者是"当时所有可能 值中的最小",后者则是"全过程所有真实值中的 最小". 由于以上结论仅仅是通过考察一个简单的理 论力学特例总结出来的,它是否具有普遍性还有待 于看在热力学理论中,是否能够建立起适用于不稳 定情况下的相应原理.文献[4]提出并证明了一个 具有新内涵的最小耗能原理,这个新最小耗能原理 突破了现有热力学理论中最小耗能原理要受到"平 衡态"或"稳定态"限制的桎梏,可适用于不稳定过 程的任意瞬时.从这个新最小耗能原理出发,文献 [4]还提出并证明了一个适用于有"耗散"的,一般 情形下的"最小功耗原理".即"任何作用于结构的 外力功消耗过程,都将在与其相应的约束条件(包 括边界条件在内的定解条件)下,以消耗外力功最 小的方式进行".这里所谓的外力功消耗或消耗外 力功,指的是外力功被转化为动能,势能及其他机 械能形式之外的耗散能;这里所谓的以消耗外力功 最小的方式进行的含意,则是指在外力功消耗过程 中的任意时刻,其外力功的消耗率都取当时所有可 能外力功消耗率的最小值.由于这个最小功耗原理 是根据文献[4]的,能适用于不稳定热力学系统的 新最小耗能原理建立的,因此对不稳定功耗过程的 任意时刻都成立,这就在热力学的层次上彻底摆脱 了"平衡态"和"稳定态"的限制,为研究包含耗散情 况在内的各种动力学问题奠定了理论基础.下面就 从这个具有一般性意义的原理出发,来导出线弹性 动力学中的最小势能原理. 2线弹性动力学中的最小势能原理(含最 小余能原理) 对于在荷载作用下不能作整体运动的各类工 程结构系统而言,可以认为作用于系统的外力功率 全部转化为应变能(包括可逆的弹性应变能,也包 括不可逆应变的耗散能)率,对这类系统的动力学 过程而言…(,)(,)d与过程中任一,瞬时 的外力功消耗率等价,所以根据最小功耗原理即有 rrr […(,)(,)d]=0(1) 其中,(,),,)为所讨论问题在动力学过程中 任意瞬时,的真实应力张量和真实应变率张量,因 此它们应该满足该动力学问题所应满足的基本方 程及其相应的定解条件(例如边界条件,初始条件 以及体力荷载等).即上述基本方程及其定解条件 都应该是式(1)取力学变分时必需满足的约束条 件.式(1)中的,(,)当只存在"塑性耗散"而不存 在"粘性耗散"时,可改写为增量形式;当讨论线弹 性动力学问题时,由于不存在耗散,所以不受加载 路径及持荷时间的影响,故在此情况下式(1)中的 , (,)可用e,)替代.如此在按位移求解时,对线 弹性动力学问题式(1)可改写为 […d(,),j(,)dV]= […2("(,))d]=o 动力学与控制2005年第3卷 即[?蝴]:0(2) 其中U0("(t))为以t瞬时位移Ui(z,Y,,t)表 示的线弹性动力学系统,在t瞬时的应变能密度. 设线弹性动力学系统受到随时间而变的体力 (t)(包括惯性力)及面力Ti(t)的作用,于是有 [?Fi(t)IXi(t)dV+lI(,)Ui(,)ds]=弓 rrr 2…U0("(t))d(3) 其中S丁为作用有面力T(t)的v的表面.之所以 有式(3)成立,是因为在线弹性的情况下式(3)左 边表示的是作用于线弹性系统外力功的两倍.由式 (3)有 [山Fi(t)IXi(t)dV+lITi(t)Ui(t)dS一委 rr广 …u0("(,)d]= rrr …U0("(t))d(4) 由式(4)并注意到式(2)则有 田(,)Ui(t)dV+lITi(t)Ui(t)dS一委 rr广 …U0("f(,))d]=0(5) 由于在t瞬时所有外力,即包括惯性力,阻尼力,摩 擦阻力等在内的Fi(t),Ti(t),都可视为大小和方 向不变(此条件相当于体力,面力均为有势力),而 "(t)则为在大小及方向不变的Fi(t)和Ti(t)作 用下的待求位移场,因此式(5)只对"(t)变分,并 且tti(t)应满足线弹性动力学按位移求解的基本 如此式(5)的物理 方程及t瞬时相应的定解条件. 意义为:对于在荷载作用下不能作整体运动的线弹 性动力学系统而言,其动力学过程的任一瞬时t的 真实位移场Ui(t),应使在t瞬时该线弹性动力学 系统的总势能取驻值.因为式(5)是由最小功耗原 理导出,所以无需考虑二阶变分即知其实际上是取 t瞬时,该线弹性动力学系统的当时所有可能总势 能中的最小值.此即线弹性动力学系统中的最小势 能原理.这个原理不要求系统处于稳定平衡状态, 它又可称为线弹性动力学中的势能驻值原理.需要 指出的是:正如本文开始所讨论的问题那样,该原 理的成立与系统的动能大小并无直接联系.鉴于式 (5)实际上只涉及到由惯性力引起的势能,所以式 (5)中的惯性力也就无需要像在推导Hamilton原 理时那样,采用包含有动能变分项的形式来表示. 因为上述线弹性动力学中的最小势能原理,是 由可用于包含粘,弹,塑性在内的动力学问题的最 小功耗原理,在材料为线弹性的情况下导出的,所 以它可以视为文献[4]中的最小功耗原理的一个 特例(有关粘,弹,塑性动力学的问题,将另有专文 进行讨论).文献[4]的?5.7在按应力求解的情况 下,由最小功耗原理还导出了以文献[4]之(5. 103)式表示的,可用于包含各种耗散情况的"率 型"广义余能原理.对于不考虑粘性或塑性耗散的 线弹性情况,由于其结果与加载路径和持荷时间无 关,因此亦可按上述类似途径,导出线弹性动力学 中的最小余能原理.由于方法雷同,故不赘述. 3算例 例1试求图1所示结构的运动方程(不考虑 阻尼力). 解结构中存在外载荷P(t),惯性力M? 罟,M?岁.应变能=鲁. 由式(5)表示的线弹性动力学中的最小势能 原理及图2有 [(,)'考一M'考'考一'Y一号]=0 因为式(5)是"瞬态"形式的表示式,所以t瞬时的 惯性力和均可视为大小和方向都不变的 力,因此岁不参加变分.但位移Y因为是运动方程 的待求量,所以对它必须变分. 2.2 图1一端简支一端弹性支撑的梁承受动载 Fig.1Abeam.withapinsupportatoneend andaspringsupportattheother,is actedbyadynamicloading. 第1期唐松花等:线弹性动力学中的最小势能原理(含最小余能原理)37 图2粱在动载作用F的运动情况 Fig.2Themotionofthebeaminthe effectofthedynamicloading 所以有 2(t)一5A一4ky=0 即 妻+2ky=户(,) 为所求结构的运动方程,与文献[5]中的结果完全 一 致. 例2如图3所示一线弹性三杆平面桁架,杆 的横截面积S=1,弹性模量为E.在铰接点D处 作用有随时间而变的动载P(t).求任意瞬时t各杆 内的动应力. Fig.3Athree-barplanetrussacted byadynamicloading 解设杆内轴力为Nl,N2及N3(设全为拉 力), 弹性结构中,余能U=变形能,则 u:+…? 又由?=0有Nl+2N2cos30.:P(,),即 Nl:P(t)一N2.代人U式,由线弹性动力学中 的最小余能原理,flO,~u=0,可得Nz:}, 进而可求出Nl:. 因为S=1,则各杆应力分别为 0"1(,):. 4+3?3 , 与文献[4]中的结果完全一致. 4结论 1)在线弹性动力学中也存在瞬时意义下的最 小势能原理和最小余能原理,但其含义与静力学中 的最小势能原理和最小余能原理并不相同.其主要 区别在于:动力学中的原理适用于不稳定过程之任 一 瞬时,其"最小"是指"当时(即该瞬时)所有可能 值的最小".而静力学中的最小势能原理则只适用 于稳定平衡状态,其"最小"是指系统从不稳定最 后达到稳定平衡的整个过程中所有"真实值中的最 小".即前者是"当时的最小",后者则是"全过程中 的最小".正是因为区别了以上两种"最小",才使得 "只有达到稳定平衡时才有系统总势能的最小,而 在动力学过程中又不可能存在稳定平衡,所以也就 没有系统总势能的最小,因而在动力学中没有最小 势能原理"的矛盾得到解决. 2)因为线弹性动力学中的最小势能原理,实 际上表示的是在线弹性动力学过程中任一瞬时t 的,包括惯性力在内的力的平衡关系,所以该原理 与系统动能的大小没有关系.这从本文第4节的例 1即可清楚地看出.需要指出的是:因为讨论的是 动力学问题,所以在系统总势能中包含有由惯性力 引起的弹性势能. 3)本文基于最小功耗原理建立的线弹性动力 学最小势能原理和最小余能原理具备变分原理的 优点:数学形式单一紧凑,拥有自然界面条件和变 域变分等独特工具等等,它可成为线弹性动力学中 各种变分直接解法(Ritz法,有限元法等)的理论 基础. 参考文献 1CurtinME.Variationalprincipleforlinearelastodynamies. ARatMochAnalysis,1964,16:34--50 2罗恩.关于弹性动力学中的各种Cumin型变分原理.中 国科学(A辑),1987,9387:936,948(LuoEn.About }I??土 动力学与控制2005年第3卷 variousCurtin—typevariationalprinciplesinlinearelastody— namics.CbScience(Acompilation),1987,9387: 936,948(inChinese)) 3贺国京,陈大鹏.线弹性动力学的各种变分原理.西南交 通大学,1994,29(5):460,467(HeGuojing,Chen Dapeng.Thevariousvariationalprinciplesinlinearelasto— dynamics.JournalofSouthzoesternTrafficUniversity, 1994,29(5):460--467(inChinese)) 4周筑宝.最小耗能原理及其应用.北京:科学出版社, 2001(ZhouZhubao.TheLeastEnergyDissipationPrinci— pieandItsApplication.Beijing:SciencePublication,2001 (inChinese)) 5张相庭,王志培,黄本才.结构振动力学.上海:同济大学 出版社,1994.5:17,18(ZhangXiangting,WangZhipei, Huangbencai.StructureVibrationMechanics.Shangh~: TongjiUniversityPress,1994.5:17,18(inChinese)) THELEASTPOTENTIALPRINCIPLEAND THELEASTREMAININGPRINCIPLEINLINEARELASToDYNAMICS TangSonghua'LuoYingsheZhouZhubao2 (1.InstituteoftheFundamenmlMechanicsandMaterialEngineering,XiangtanUniversity, Xiangtan411105,China) (2.InstituteofCivilEngineering,CentralsouthUniversity,Changsha410075,China) AbstractInelastic— staticmechanicstherearetheleastpotentialprincipleandtheleastremainingprinciple, whichisonlyapplicabletothesituationofthestableandequilibriumstate.Butgenerallyspeakingtherearerio stableandequilibriumstateindynamicproblems,SOitisworthwhileconsideringcarefullywhetherthereisthe leastpotentialprincipleinthedynamicfield.Thispaperstudiedthepossibilityoftheleastpotentialprinciple existingindynamicproblems,andderivedtheleastpotentialprincipleandtheleastremainingprinciplebased ontheleastworkconsumptionprinciple,whichgetridofthelimitationsof''equilibrium''and"stablestate". Thepracticalcalculatingexampleswereproposedandtheresultswerecorrect.Soinlinearelastodynamics therea1SOexisttheleastpotentialprincipleandtheleastremainingprincipleininstantaneous~n.-se,which havedifferentphysicalmeaning.Thephysicalmeaningoftheformeristotake''theminimumofallprobable va1uemeantime"atanymomentinthedynamicalprocess,andthelatteristotake"theminimum''inthe who1edynamica1Drocess.Thatistosay,theformeris"theminimumatthattime''andthelatteris"themini— muminthewholeDn)ceSs".Thesetwovariationalprinciplesmaybecomethetheoreticalfoundationforall SOrtsofvariationaldirectSOlvingmethodsinlinearelastodynamics. Keywordstheleastworkconsumptionprinciple,theleastpotentialprinciple,theleastremainingprinciple? Received02October2004,revised20December2004