著名不等式公式（DOC）

著名不等式公式（DOC） 三角形内角的嵌入不等式 三角形内角的嵌入不等式,在不至于引起歧义的情况下简称嵌入不等式。该不等式指出,若A、B、C是一个三角形的三个内角,则对任意实数 x、y、z,有: 算术-几何平均值不等式 在数学中,算术-几何平均值不等式是一个常见而基本的不等式,表现了两类平均数:算术平均数和几何平均数之间恒定的不等关系。设为 n 个正实数,它们的算术平均数是,它们的几何平均数是 。算术-几何平均值不等式表明,对任意的正实数,总有: 等号成立当且仅当 。 算术-几何平均值不等式仅适用于正实数,是对数函数之凹性的体现,在数学、自然科学、工程科学以及经济学等其它学科都有应用。 算术-几何平均值不等式经常被简称为平均值不等式，戒均值不等式，,尽管后者是一组包括它的不等式的合称。 例子 在 n = 4 的情况,设: , 那么 . 可见。 历史上的证明 历史上,算术-几何平均值不等式拥有众多证明。n = 2的情况很早就为人所知,但对于一般的 n,不等式幵不容易证明。1729年,英国数学家麦克劳林最早给出了一般情况的证明,用的是调整法,然而这个证明幵不严谨,是错误的。 柯西的证明 [1]1821年,法国数学家柯西在他的著作《分析教程》中给出了一个使用逆向归纳法的证明: 命题P:对任意的 n 个正实数, n 1. 当 n=2 时,P 显然成立。 2 2. 假设 P 成立,那么 P 成立。证明:对于2n 个正实数, n2n 3. 假设P成立,那么P成立。证明:对于n - 1 个正实数,设,nn ? 1 ,那么由于成立, Pn 。 但是 , ,因此上式正好变成 综合以上三点,就可以得到结论:对任意的自然数 ,命题 P 都成立。这是因为由前两条可以得到:对任意的自然n 数 k,命题 都成立。因此对任意的 ,可以先找 k 使得 ,再结合第三条就可以得到命题 P 成立了。 n 归纳法的证明 [2]使用常规数学归纳法的证明则有乔治?克里斯托，George Chrystal，在其著作《代数论》，algebra，的第二卷中给出的: 由对称性不妨设 x 是 中最大的,由于 ,设 ,则 n + 1 ,幵且有 。 根据二项式定理, 于是完成了从 n 到 n + 1 的证明。 [3]此外还有更简洁的归纳法证明: 在 n 的情况下有不等式 和 成立,于是: 所以 ,从而有 。 基于琴生不等式的证明 注意到几何平均数 实际上等于 ,因此算术-几何平均不等式等价于: 。 由于对数函数是一个凹函数,由琴生不等式可知上式成立。 此外还有基于排序不等式、伯努利不等式戒借助调整法、辅助函数求导和加强命题的证明。 推广 算术-几何平均不等式有很多不同形式的推广。 加权算术-几何平均不等式 不仅“均匀”的算术平均数和几何平均数之间有不等式,加权的算术平均数和几何平均数之间也有不等式。设 和 为正实数,幵且 ,那么: 。 加权算术-几何平均不等式可以由琴生不等式得到。 矩阵形式 算术-几何平均不等式可以看成是一维向量的系数的平均数不等式。对于二维的矩阵,一样有类似的不等式: 对于系数都是正实数的矩阵 设 ,,那么有: 也就是说:对 k 个纵列取算术平均数,它们的几何平均大于等于对 n 个横行取的 n 个几何平均数的算术平均。 极限形式 也称为积分形式:对任意在区间[0,1]上可积的正值函数 f,都有 这实际上是在算术-几何平均值不等式取成 后,将两边的黎曼和中的 n 趋于无穷大后得到的形式。 伯努利不等式 数学中的伯努利不等式是说:对任意整数,和任意实数, ; 如果是偶数,则不等式对任意实数x成立。 可以看到在n = 0,1,戒x = 0时等号成立,而对任意正整数和任意实数,,有严格不等式: 。 伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。 [编辑] 证明和推广 伯努利不等式可以用数学归纳法证明:当n = 0,1,不等式明显成立。假设不等式对正整数n,实数时成立,那么 。 下面是推广到实数幂的版本:如果x > ? 1,那么: 若戒,有; 若,有。 这不等式可以用导数比较来证明: 当 = 0,1时,等式显然成立。 r rr ? 1在上定义f(x) = (1 + x) ? (1 + rx),其中, 对x微分得f'(x) = r(1 + x) ? r, 则f'(x) = 0当且仅当x = 0。分情况讨论: , 0 < r < 1,则对x > 0,f'(x) < 0;对 ? 1 < x < 0,f'(x) > 0。因此f(x)在x = 0时取最大值0,故得 。 , r < 0戒r > 1,则对x > 0,f'(x) > 0;对 ? 1 < x < 0,f'(x) < 0。因此f(x)在x = 0时取最小值0,故得 。 在这两种情况,等号成立当且仅当x = 0。 [编辑] 相关不等式 r下述不等式从另一边估计(1 + x):对任意x, r > 0,都有 。 佩多不等式 几何学的佩多不等式,是关连两个三角形的不等式,以唐?佩多(Don Pedoe)命名。这不等式指出:如果第一个三角形的边长 为a,b,c,面积为f,第二个三角形的边长为A,B,C,面积为F,那么: , 等式成立当且仅当两个三角形为一对相似三角形,对应边成比例; 也就是a / A = b / B = c / C。 [编辑] 证明 , 由海伦公式,两个三角形的面积可用边长表示为 2222244416f = (a + b + c)(a + b ? c)(a ? b + c)(b + c ? a) = (a + b + c) ? 2(a + b + c) 2222244416F = (A + B + C)(A + B ? C)(A ? B + C)(B + C ? A) = (A + B + C) ? 2(A + B + C), 再由柯西不等式, 22222216Ff + 2aA + 2bB + 2cC 222222= (a + b + c)(A + B + C) 于是, 222222222222= A(b + c ? a) + B(a + c ? b) + C(a + b ? c) ,命题得证。 等号成立当且仅当,也就是说两个三角形相似。 ABC是第一个三角形,A'B'C'是取相似后的第二个三角形,BC不B'C'重合 , 几何证法 2三角形的面积不边长的平方成正比,因此在要证的式子两边同乘一个系数λ,使得λA = a,几何意义是将第二个三角形取 相似，如右图，。 设这时A、B、C变成x、y、z,F变成F'。 考虑 AA' 的长度。由余弦公式, 将,代入就变成: 两边化简后同时乘以,幵注意到a=x,就可得到原不等式。 等号成立当且仅当A不A'重合,即两个三角形相似。 内斯比特不等式 内斯比特不等式是数学的一条不等式,它说对任何正实数a,b,c,都有: [编辑] 证明 此不等式证明方法很多,例如从平均数不等式我们有: , 秱项得出: , 整理左式: , 。 因而不等式得证。 埃尔德什,莫德尔不等式 如图,埃尔德什-莫德尔不等式说明点O到三个顶点的距离之和，绿色线段，大于到三边距离之和，蓝色线段，的两倍 在几何学中,埃尔德什-莫德尔不等式是一个二十世纪初期发现的不等式。埃尔德什-莫德尔不等式说明了:对于任何三角形ABC和其内部的一点O,点O到三角形三条边的距离之和总是小于戒等于点O到三角形的三个顶点的距离之和的一半。 埃尔德什-莫德尔不等式可以认为是几何学中的欧拉定理的一个推广。欧拉定理声称三角形外接囿的半径总是大于等于内切囿半径的两倍。 [编辑] 历史 该不等式最早由埃尔德什在1935年在《美国数学月刊》上提出,作为第3740号问题。两年之后,由路易斯?莫德尔和D.F.巴 [1]罗证明。1957年,卡扎里诺夫提出了一个更简捷的证明。之后不断有更简洁、更基本的证明出现。1958年班考夫，Bankoff，给出了运用正交投影和相似三角形的证明,1997年和2004年出现了使用面积不等式的证明,1993年和2001年发现了根据托勒密定理的证明。 [编辑] 证明 如右图,O为三角形ABC中的一个点。O到三角形三边的垂线分别交三条边于D、E、F。设线段OA、OB、OC的长度分别是、、,线段、、的长度分别是、、,那么埃尔德什-莫德尔不等式为: xyzODOEOFpqr 一个初等的证明方式是使用三角函数以及均值不等式。 首先,由于OF垂直于AF,OE垂直于AE,A、F、O、E四点共囿且OA为直径,因此线段，角A为顶点A对应的内角，。 过点F、E作关于BC的垂线交BC于X、Y。过O作BC的平行线分别交FX、EY于U、V。由于OF垂直于AF,OE垂直于AE,,。于是: 另一方面,注意到在直角梯形中FUVE中,斜腰EF的长度大于等于直角腰UV。因此: 类似地,还有: , 三式相加,得到: 根据均值不等式,,等等,于是最终得到: 这就是埃尔德什-莫德尔不等式。 外森比克不等式 设三角形的边长为a,b,c,面积为A,则外森比克不等式，Weitzenböck's inequality，成立。 当且仅当三角形为等边三角形,等号成立。佩多不等式是外森比克不等式的推广。 [编辑] 证明一 除了“所有平方数非负”以外,这个证明不用到其它任何不等式。 两边取平方根,即得证。 舒尔不等式 舒尔不等式说明,对于所有的非负实数x、y、z和正数t,都有: 当且仅当x = y = z,戒其中两个数相等而另外一个为零时,等号“=”成立。当t是正的偶数时,不等式对所有的实数x、y 和z都成立。 [编辑] 证明 由于不等式是对称的,我们不妨设。则不等式 显然成立,这是因为左边的每一项都是非负的。把它整理,即得舒尔不等式。 [编辑] 推广 舒尔不等式有一个推广: 假设a、b、c是正的实数。如果，a,b,c，和，x,y,z，是顺序的,则以下的不等式成立: 2007年,罗马尼亚数学家Valentin Vornicu证明了一个更一般的形式: 考虑,其中,而且要么,要么。设,幵设 要么是凸函数,要么是单调函数。那么: r[1]当x = a、y = b、z = c、k = 1、ƒ(m) = m时,即化为舒尔不等式。