多元函数的极限解法

多元函数的极限解法 郑州航空工业管理学院 毕 业 论 文(设 计) 09 届 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 与应用数学 专业 0911062 班级 题 目 多元函数的极限解法 姓 名 靳亚洲 学号 091106208 指导教师 王建军 职称 二О一三年 月 日 摘 要:科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决，有时显得麻烦，有时根本无法解决。因而，我们引入了多元函数的极值问题，本文就以下几个方面，来介绍多元函数的极值，二元函数极值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法;条件极值的求解方法及应用(如:代入法、拉格朗日乘数法、标准量代换法、不等式法、二次方程判别式符号法、梯度法、数形结合法等);n元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n元函数的累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过对多元函数极值问题在多元函数条件极值在证明不等式、物理学、生产销售等问题上的探讨与应用，可以让我们对以后的极限问题的学习和实际工作中带来诸多方便。 关键词:多元函数;极值;充要条件 ;方向导数;偏导数;矩阵;驻点;极值;条件极值;拉格朗日乘数法;梯度法;应用 1 Abstract: Scientific actual production, there are a lot of extreme value problems need to solve some of the problems can be solved with elementary, but some elementary method to solve the sometimes cumbersome, and sometimes can not be solved. Thus, we introduce a multi-function extremum problem, this paper on the following aspects, to introduce multi-function extremum, extreme binary function definitions and the presence of the extreme value of the dual function of a first-order partial derivative of discrimination law ; the Extreme Conditions solution and application (such as: substitution method, Lagrange multiplier method, a standard amount of substitution method, the inequality quadratic equation discriminant symbol method, gradient method, Shuxingjiege law, etc.); the definition of the n-ary function extremum and the existing conditions and problems, n $ function Repeated extreme vector method for solving a class of multi-function extremum. Multi-function conditions of extreme value in proving inequality, physics, production and sales of the extreme value of function problems and application, allows us to bring a lot of convenience on the Limits of study and practical work. Keywords: multi-function; extreme; necessary and sufficient condition; directional derivative; partial derivatives; matrix; stagnation; extreme; extremum condition; Lagrange multiplier method; gradient method; application 2 目 录 1 绪论............................................................................................................................................... 1 1.1研究多元函数极值的意义 ................................................................................................. 1 2二元函数极值 ................................................................................................................................ 5 2.1二元函数极值的定义及存在条件 ..................................................................................... 5 2.1.1 二元函数极值的定义 ............................................................................................. 6 2.1.2 二元函数取得极值的条件 ..................................................................................... 6 2.2二元函数极值的一阶偏导判定方法 ................................................................................. 7 2.2.1 判别方法 ................................................................................................................. 7 2.2.2 推广 ......................................................................................................................... 9 3.2.2利用二次方程判别式的符号求某些条件极值 .................................................... 12 3.2.3利用标准量代换法求函数极值 ............................................................................ 13 3.2.4借助辅助系数求某些条件极值 ............................................................................ 14 3.2.5利用三角代换求某些极值 .................................................................................... 15 4.1 拉个朗日乘数法 ...................................................................................................................... 21 4.3 均值不等式法 .......................................................................................................................... 24 4.4柯西不等式法 ........................................................................................................................... 24 5. n元函数极值 .............................................................................................................................. 28 5.1 n元函数极值定义及存在条件 ...................................................................................... 28 5.1.1极值存在的必要条件 ............................................................................................ 28 5.1.2极值存在的充分条件 ............................................................................................ 29 5.1.3极值存在的充要条件 ............................................................................................ 30 参考文献......................................................................................................................................... 32 结束语............................................................................................................................................. 32 3 1 绪论 1.1研究多元函数极值的意义 科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方 法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值. 函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数 本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像不等式法，导数法，从矩阵的角度解决函数极值，利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。这些理论的提出并得到应用，与诸多数学家在这方面的努力是分不开的，他们给出了许多好的解决函数极值的方法，且将诸理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在经济，管理，金融，科研等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。 多元函数涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数的极值问题比较困难，所以在本文中也介绍了利用向量方法求解一类多元函数极值的方法。所起到的效果还是很理想的。但是该方法所使用的范围比较的窄，只适合于某类函数极值的求解，所以具有很大的局限性，但是作为一种求多元函数极值的方法，我们很有必要关注它。同时我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时当然我们不能不考虑其限制条件，那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。就以上问题，在本文中给出了几种求条件极值方法。旨在能为求条件极值提供一些可寻的方法。因为在解题的过程中合理的选择一种好的方法，就等于成功了一半，同时可以大大减少解题的时间，对拓展解题的思路是很有帮助的。 不等式的证明是数学的学习过程中我们经常遇到，其证明具有很强的技巧性, 方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。在本文中就以用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。 由上述，我们对多元函数极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要 的。 1 1.2函数极值和条件极值的概念 1.2.1函数的极值 [3]000 定义2.1.1设元函数在点的某个邻域(,,,)xxxzfxxx,(,,)n(2)n,n12n12 000内有定义,如果对该邻域内任一异于的点都有(,,,)xxx(,,)xxxn12n12 000000(或)，则称函数在点fxxxfxxx(,,)(,,,),fxxxfxxx(,,)(,,,),nnnn12121212 000000有极大值(或极小值).极大值、极小值统称为极值，使函(,,,)xxxfxxx(,,,)nn1212 数取得极值的点称为极值点. 1.2.2函数的条件极值 [3]定义2.2.1函数在个约束条件 zfxxx,(,,,),(,,,)0xxx,m12nin12 下的极值称为条件极值. (1,2,,;)immn,, 1.3一元函数的极值和条件极值的判别方法 1.3.1一元函数的极值的概念 定义2.1.1 设函数在内连续，是内一点，如果对于点近旁xx(,)ab(,)abyfx,()00的任意一点，均有，则就称是函数的一个极大值，点是xfxfx()(),fx()xfx()fx()000 的一个极大值点;如果对于点近旁的任意一点，均有,则就称是函xfxfx()(),fx()x000数的一个极小值，点是的一个极小值点。 xfx()fx()0 1.3.2一元函数极值的判别方法 设在闭区间连续，由于在连续闭区间内，可导函数的极值等于最值，在判fx()[,]ab M断一元函数极值之前，我们先讨论一下在闭区间上连续函数的最大值和最小[,]abfx()值的求法: m 第一步，求的驻点，即使的点; fx()fx'()0, 第二步，算出在驻点的函数值; fx() 第三步，若有不可导的点，算出在这些点的函数值; fx()fx() 第四步，求出和; fa()fb() M第五步，比较上述各函数值，其中最大者为最大值，最小者为最小值。 m dhb例2.2.1 把一根直径为的圆木锯成截面为矩形的梁。问矩形截面的高和宽应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大, 2 解:由力学分析知道:矩形梁的抗弯截面模量为 12。 Wbh,6 b与h有下面的关系: 222, hdb,, 123因而 。 Wdbb,,()6 现在，问题转化为:b等于多少时目标函数取最大值,为此，求W对b的WWb,()导数: 122， Wdb'(3),,6 ，解得 令W'0, 1bd,。 3 由于梁的最大抗弯截面模量一定存在，而且在内部取得;现在，W'0,在(0,)d(0,)d 11bd,bd,W内只有一个根，所以，当时，取最大值。这时， 33 12222222， hdbddd,,,,,33 即 2hd,， 3 。 dhb::3:2:1, 判定一元函数极值点一般有三种，一种是用一阶导数的符号;二是用二阶导数的符号; 三是用高阶导数的符号。 定理2.2.1 一元函数极的第一充分条件:设函数在的一个领域内可导，或者xfx()0在处不可导但必须连续，若当在该领域内由小于连续地变为大于时，其导数xxxxfx'()000改变符号，则为函数的极值，为函数的极值点。若导数由正值变为负fx()xfx()fx'()00 值，则为极大值点，为函数的极大值;若导数由负值变为正值，则xfx()xfx()fx'()000 为极小值点，为函数的极小值。 fx()fx()022xyP，,1例2.2.2 在椭圆的第一象限部分上求一点，使该点处的切线与椭圆及两22ab 坐标轴所围图形的面积为最小。 解:设，，过椭圆上点处得切线的斜率满足 0,,xa0,,ybyx'()(,)xy00000 xyyx'()000， ，,022ab 3 2xb0yx'(),,即 。 02ay0 切线方程为 2xb0 。 yyxx,,,()002ay022ab分别令与，得切线在，轴上的截距:，。于是该切线x,0yxy,0x,y,xy00与椭圆及两坐标所围图形的面积为 2211ab， ,,,sxab()024xy00 22211abx,,,,,Sxabxa()(0)问题是求: 的最小点， 其中 ，将其yb,,1224xya 222带入中，问题可转化为求的最大值点。 fxxaxxa()()(0),,,,Sx() a,0,,x,02, ,a,2322因 ， fxaxxxaxxaxaxx'()242(2)2(2)(2),,,,,，,,,,02, ,a,,xa,,0,2 22a2Pab,(,)故是函数在区间上的最大值点。因此为所求xa,,fx()[0,]a02222 的点。 一元函数极的第二充分条件:设函数在处的二阶导数存在，若，且xfx'()0,fx()00 ，则是函数的极值点，为函数的极值，并且当时，fx''()0,xfx()fx''()0,xfx()00000为极小值点，为函数的极小值;当时，为极大值点，为函fx()fx''()0,xfx()fx()0000数的极大值。 fx() 定理2.2.2 设在点的领域内有二阶导数，且x(,)xx,，,,fx()000 ， fxfx'()''()0,,00 xxx,,(,),,0,00(1)若 ，则是极大值点; xfx''(),0xxx,，(,),0,00, xxx,,(,),,0,00(2)若 ，则是极小值点; xfx''(),0xxx,，(,),0,00, xxx,,(,),,,()0,00(3)若 ，则不是极值点。 xfx''(),0xxx,，(,),,(),00, 证:(1) 若在点x有fx''()=0，但在x的左、右近旁都有fx''()0，所以，曲线,0000 在点x的领域(,)xx,，,,内是凸的，则曲线的切线必在其曲线的上方，所以yfx,()000 4 fxxfxfxx()()'()，,,,,,在内有，即， (,)xx,，,,,,ydy00 又 fx'()0,0 fxxfx()()0，,,,00 ？，,,fxxfx()()00 故是极大值点。 x0 同理可证(2)，至于(3)的证明是显而易见的，而且点就是曲线的拐点。 (,())xfx00 定理2.2.3 设在的某领域内存在直到阶导函数，在处阶可导，且n,1xxnf00()()kn，则 fxknfx()0(1,2,...,1),()0,,,,00 ()n()n(i)当为偶数时，在取得极值，且当时取得极大值，fx()0,fx()0,xnf000 取得极小值。 (ii)当为奇数时，在处不取极值。 xnf0 43例2.2.3 试求函数的极值。 xx(1), 432解:由于，因此是函数的三个稳定点。的二阶fxxxx'()(1)(74),,,x,0,1,f7导数为 22， fxxxxx''()6(1)(782),,,， 44ff''(0)''(1)0,,由此得，及。所以在时取得极小值。求三x,f''()0,fx()77 阶导数 32， fxxxxx'''()6(3560304),,，, ff'''(0),'''(1)0,有。由于n,3为奇数，由定理2.2.3知在x,1不取极值。再求ff 的四阶导数 (4)32， fxxxx()24(3545151),,，, (4)有n,4x,0。因为为偶数，故在取得极大值。 f(0)0,f 综上所述，为极大值， f(0)0, 443691243 f()()(),,,,777823543为极小值。 2二元函数极值 2.1二元函数极值的定义及存在条件 5 科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方 法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值。 2.1.1 二元函数极值的定义 2DR,定义1:设，函数:DR,点D,如果存在一个邻域, ppopD(,),,,,f000使得(p)() ((p) ())对一切成立,那么称为的一个(严,ppp,ffffpD,f000格)极小值点,而()称为函数的一个(严格)极小值。 pff0 同样定义(严格)极大值点和(严格)极大值.极小值和极大值统称极值。 2.1.2 二元函数取得极值的条件 定理1(必要条件) 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在 (,)xy(,)xyfxy(,)0000点的偏导数必然为零;fxyfxy(,)0,(,)0,, xy0000 证明: 不妨设在点处有极大值，则对于的某邻域 (,)xy(,)xyzfxy,(,)0000任意都有 , (,)(,)xyxy,fxy(,)fxy(,)0000 故当yyxx,,时，有 fxyfxy(,)(,),0,0000 说明一元函数在处有最大值，必有; fxy(,)xx,fxy(,)0,00x00 fxy(,)0,类似地可证。 y00 D中使ff,,0的一切内点称为函数的驻点，由上面的定理知道，极值点 xy 一定是驻点，但是驻点未必是极值点。 2R例如,在上考察函数f(x,y)=xy,这时 ,f,f =y, =x, ,y,x 所以(0,0)是的唯一驻点,由于,而在原点的任何一个邻域内,既有 ff(0,0)0, 使取正值的点(第一,三象限的点),也有使取负值的点(第二,四象限内的点),可ff xy见原点不是极值点,这说明:函数没有极值点。 定理2(充分条件) 设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又(,)xyfxy(,)00 6 ，令,, fxyB(,),fxyC(,),fxyfxy(,)0,(,)0,,fxyA(,),xy0000xy00yy00xx00 则在点处是否取得极值的条件如下: (,)xyfxy(,)00 2ACB,,0?时具有极值，当时有极大值，当A,0时有极小值; A,0 2ACB,,0?时没有极值; 2ACB,,0 ?时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论; 22x例 2.1.1:求函数 的极值。 zexyy,，，(2) ,f,22x(2241)0,，，，,exyy1,,x,,x,,02 解:令 ,,,,f2xy,,1,,0,(22)0,，,ey,y,, 1 在驻点，有 (,1),2 22x2x ，， Aexyye,，，，,,,4(21)20Bey,，,,4(1)011,,(,1)(,1)22 2x 。 Cee,,,221,(,1)2 e2211ACBe,,,40 而，故在点取得极小值， f(,1),,,fxy(,)(,1),222 2.2二元函数极值的一阶偏导判定方法 对二元函数极值的判定，不仅可以借助于二阶导数进行判定，还可以借助于 使用范围更广泛的一阶导数进行判定。 2.2.1 判别方法 首先给出一个引理如下: 0I在区间上有定义，在连续，在ox(,),可导， 引理:设函数oxI(,),,fx()00 '0?若fxxx()()0,,，,,xox(,),，则在取得极小值。 xfx()000 '0fxxx()()0,,,,xox(,),?若，，则在x取得极大值。 fx()000 证明:可以利用下述中值定理，即 ' fxfxfxxxxx()()(())(),,，,,, (01),,,0000 容易得到结论。 根据上述思想，我们可以得到判别方法如下: 7 定理1:设二元函数在凸区域D上有定义，在上连续，点 opD(),fxy(,)0 0，在上可导: op()pxyD(,),0000 ,,ff0()()0,xxyy,，,,?若 ，则在取得极小,,pxyop(,)()pfxy(,)0000,,xy 值。 ,,ff0()()0,xxyy,，,,?若 ，则在取得极大,,pxyop(,)()pfxy(,)0000,,xy 值。 0证明:，引入辅助函数: ,,pxyop(,)()0 其中。 ,()((),()),tfxtxxytyy,，,，,t,[0,1]0000 由条件知在上满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在，使,()t[,]ab,,(0,1) 得 '，即 ,,,,(1)(0)(),, fxyfxyfxxxyyyxxfxxxyyyyy(,)(,)((),())()((),())(),,，,，,,，，,，,,,,,,000000000000xy 0注意到D为凸区域，从而. ((),())()xxxyyyop，,，,,,,00000 0由条件?可知:， ,,pxyop(,)()fxyfxy(,)(,),000由的任意性以及极值的定义，可知，函数在取得极小值。同ppxy(,)fxy(,)0以上证明方法可以得到，在条件?下，函数在取得极大值。结论?pfxy(,)0证毕。 ,,ff,,f(,)考虑到条件?，?的结构，若记， ppxxyy,,,(,)000,,xy ,,ff2R,,,,，,fppxxyy()(), 引入中的内积则可将定理写成更简000,,xy 洁的形式。 222例2.2.1 求由方程, 所确定的函数xyzxyz，，,，,,,224100 的极值. zfxy,(,) xy,解: 将方程两边分别对求偏导数 (1) 22240xzzz，,,,xx 22240yzzz，，,, (2) yy 8 1,x1，y解出 , z,z,xyz,2z,2 令,求得=1, =-1将他们带入原方程得. zz,,0,0yzz,,,6,2xxy12 在点(1，-1.6)及点(1，-1，-2)的邻域内取值下面考察函数zfxy,(,) 情况. 222Fxyz,,令= .由于xyzxyz，，,，,,22410，， , 所以原方程分别在点(1,-1,6)和(1，-1，-2)的FF(1,1,6)0,(1,1,2)0,,,,,xy 邻域内确定函数. zfxyzfxy,,(,),(,)12 12又方程(1)对x求偏导:,得，120，，,,zzzxz,,,(1,1,6)xxxxxxx4 1. z,,(1,1,2)xx4 方程(1)对y求偏导:zzzzx，,,20,得. zz(1,1,6)0,(1,1,2)0,,,,,xyxyxyxyxy 12120，，,,zzzz方程(2)对y求偏导:,得，z,,,(1,1,6)yyyyyxx4 1 z,,(1,1,2)xx4 2BAC,,0在点(1，-1,6)有，且A<0，所以z,6是极大值。 2BAC,,0z,,2在点(1，-1,2)处有,且A>0，所以是极小值。 222综上所述, 知由方程在点(1，-1,6)的某邻xyzxyz，，,，,,,224100 z,,2域内确定的函数,z,6是极大值;在点(1，-1,2)的某邻域内确定的函数，是极小值. 如把本题所给的方程化成 222 (1)(1)(2)16xyz,，，，,, R,4这是球面方程 ,半径,球心在点(1，-1,2)，对于xy,的一组值，有两个z与之对应，因此 ,从整体来看 ,该方程并不确定一个单值函数 ,从几何图形上看 ,z在(1,-1)取得极大值6与极小值-2是然显的 ,因为球面上最高点与最低点的坐标分别为(1,-1,6)与(1，-1，-2). 2.2.2 推广 9 在引入上述记号后，我们可以将问题推广到n维情形: n0DR,定理2:设为凸区域，，若，在连续，在op()pD,op()fDR:,000 可导， 0?若，，则函数在处取得极小值。 ,,pop()p,,,fpp0f000 0，，则函数在处取得极大值。 ?若,,pop()p,,,fpp0f000 证明同定理1，此处不再赘述 3 多元函数条件极值 3.1 多元函数普通极值存在的条件 000定理3.1.1(必要条件)若元函数在点存(,,,)xxxzfxxx,(,,,)n(2)n,n12n12 000(1,2,,)in,fxxx(,,,)0,在偏导数，且在该点取得极值，则有 xn12i 备注:使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点. 000定理3.1.2(充分条件)设元函数在附近具有(,,,)xxxfxxx(,,,)n(2)n,n12n12 000二阶连续偏导数，且为的驻点.那么当二次型 (,,,)xxxzfxxx,(,,,)n12n12 n000gfxxx()(,,,),,,, ,12xxnijij,,1ij 000000正定时，为极小值;当负定时，为极大值;当fxxx(,,,)fxxx(,,,)g(),g(),nn1212 000不定时，不是极值. fxxx(,,,)n12 000afxxx,(,,,)记，并记 ijxxn12ij aaa，，111213,,aaa212223,, ， A,k,, ,,aaakkkk12，， kHesse它称为的阶矩阵.对于二次型正负定的判断有如下定理: fg(), 10 (1,2,,)kn,定理3.1.3若 ，则二次型是正定的，此时det0A,g(),k 000k(1,2,,)kn,为极小值;若 ，则二次型是负定的，fxxx(,,,)(1)det0,,Ag(),n12k 000此时为极大值. fxxx(,,,)n12 特殊地，当时，有如下推论: n,2 推论3.1.1若二元函数某领域内具有一阶和二阶连续偏导zfxyxy,(,)(,)在点的00 数，且 fxyfxy(,)0,(,)0,,xy0000 令 AfxyBfxyCfxy,,,(,),(,),(,)xxxyyy000000 A,0,取极大值,2ACB,,0则 ?当时，. ,A,0,取极小值, 2ACB,,0 ?当时，没有极值. 2ACB,,0?当时，不能确定，需另行讨论. 3.2多元函数条件极值的若干解法 3.2.1用梯度法求多元函数的极值 利用梯度法求目标函数在条件函数f(x,x,？,x),(x,x,？,x),012nk12n k,1,2,？,m,m,n()组限制下的的极值。首先求目标函数的梯度向量，f(x,x,？,x)12n ,f,f,fgradf,？(,,,);设为m个条件相交部分的方程，,,,,，,,，？，,,1122nn,x,x,x12n 把多个条件转化为一个条件，而曲面在点处的法向量,(x,x,？,x),0(x,x,？,x)12n12n ,,,,,,,,,,,,,,n12,，，？，n,(,,？,)为:，注意其中;设曲面,,,n12,x,x,x,x,x,x,xiiii12n 在点处的切平面上的一个切向量为:,(x,x,？,x),0(x,x,？,x)12n12n ,,,,,,a,(a,a,？,a)a，a，，a？，则有==0;然后令a,n12nn12,x,x,xiii ，可以得到一个切向量，如令，a,i,1,2,？,n中的(n,2)个数为0a,a,？,a,0i23n,1 ,,,,,,,,a,,a/？(,a,0,？,0,a)，，消去，于是得到切平面上的一个切ann1nn,,xx,x,xn1n1 11 ,,,,,,,,向量(,,0,？,0,)，类似可以得到另外的个向量，(0,,,0,？,0,)，…，(n,2),x,x,x,xn1n2 ,f,f,f,,,,(0,？,0,,,);把这个向量与gradf,？作内积并令它们为(,,)(n,1),x,x,x,x,xnn,112n0，得到个方程，再与m个条件函数联立构成方程组，即可求出稳定点。 (n,1) 例3.2.1:从斜边之长为的一切直角三角形中,求最大周长的直角三角形. l 222fxyxyl(,),，，解:设两条直角边为,本题的实质是求在条件 xy,xyl，,下的极值问题. 222,gradxylgradxyl()()，，,，,,,根据梯度法,列出方程组 ,222xyl，,,, ,,1,12,2,xy,,,,,进一步求解得 ,222xyl，,,, lxy,,容易解出 2 ll,,根据题意是唯一的极大值点,也是最大值点. ,,,22,, l所以，当两条直角边都为时,直角三角形的周长最大. 2 3.2.2利用二次方程判别式的符号求某些条件极值 222fxyz,,，22例3.2.2:若,试求的极值. xyz，，,1 1222解 因为,代入得 xyz，，,1yxzf,，,(2)2 1222 xxzfz，，,，,,(2)104 222即 ? 5(42)(844)0xzfxzfzf，,，，,,, 这个关于的二次方程要有实数解, 必须: x 222 ,,,,，,,,(42)20(844)0zfzfzf 22即 fzfz,，,,4950 12 解关于的二次不等式,得: f 2225(1)25(1)11zzfzzz,,,,，,,,, 显然,求函数的极值, 相当于求 f 2fzzz,，,,,,25(1)11 ? 或 2fzzz,,,,,,25(1)11 ? 的极值. 22由(2)得 ? 9450zfzf,，,, 这个关于的二次方程要有实数解,必须 z 222, 即 ,,,,,1636(5)0ff90,,f ,,,33f解此关于的二次不等式,得. f 所以 ff,,,3,3.maxmin 221把代入(4)得,再把,代入(1),得,最后把z,z,x,f,3f,3333 2121,,代入,得. z,x,y,,f,3yxzf,，,(2)3332 122所以,当,,时,函数达到极大值3. x,z,y,,f333 122同理可得,当,,时,函数达到极小值-3. x,y,z,,f333 也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3. f 3.2.3利用标准量代换法求函数极值 求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了. 如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量. 222xyza，，,例3.2.3:设,求的最小值. uxyz,，， xyza，，aaa,z解:取为标准量, 令,则(为任意xy,,,,,,,,，，,,,,,33333 13 实数),从而有 2aaaa22222u,,，,，，，,，，，()()()222,,,,,,,, 3333 22aaa222,,,,0,，，，，,(),,,,xyz,,, (等号当且仅当即时成立). 333 2a所以的最小值为. u3 3.2.4借助辅助系数求某些条件极值 在求某些函数的条件极值的时候，可以先将所给的函数平方之，然后依靠辅助系数将平方后的函数表示成两个函数代数和的形式，并使其一为某函数的平, 方，而另一函数较原给函数简单(有时甚至为常数)。辅助系数选取满足下列,条件:当自变量取某一相同值时，能使上述两函数都能达到极值。 ,例3.2.4:若，试求函数的极大值。 0,,xyxx,，，,(13)cos(31)sin2 22 解: yxx,，，,[(13)cos(31)sin] 231(31),,22222 ,,,,，,，，，，[(13)cossin](1)[(13)cossin]xxxx2,, 2(13)，,31,显然，当 即 (1) ,tgx,(13)cossin0，,,xx,31, 22(31),(31),22时，第一项取得极大值，而当，即，亦即(13)，,,,22,(13)， (31),时，第二项取得极大值。 ,, (13)， (31),(31),,将值代入(1)得，即当时，tgx,tgx, (13)，(13)， 22 y,，，,,(13)(31)22max ,yaxbx,，cossin一般地，若试求函数的极大值。 abx,,,,0,0,0,2 2bb2222222,,，，，(cossin)(1)[cossin]axxaxx,,解 , yaxbx,，[cossin]2,, 2ba,axx,cossin0,,,tgx显然，当，即(1)时第一项取得极大值。而当b, 14 2bbb2a,时，第二项取得极大值。将值代入(1)得，即当时，,tgx,tgx,2,aa 22yab,，。 max 在简单情况下，不必设辅助系数也可。 3.2.5利用三角代换求某些极值 所谓三角代换，就是用三角函数(或三角函数式)去代替所给函数式中的变 数，从而借助于三角函数运算求出极值，代换时，首先要从函数式中变数的允许值去考虑，选取哪些三角函数(或三角函数式)，再从解题的需要选择适当的代换。 22fxy,， 例 3.2.5 若 ，试求函数的极值。 xy，,1 x,sin,, 解:令 (,为参数，02,,,,) ,y,cos,, 22则合于条件，故，此处 xy,fxy,，,，,，sincos2sin(),,,,xy，,1 22,sin()1,,，,,,,,sin,cos.f,2 当时，此时(n，,，2n,,,max222 ,为正整数)， ,，,2n,,,2 ,2,,，,,,xnsinsin(2)cos,,,,22所以 2,,,，,,,yncoscos(2)sin,,,,22 222x,y,x,,因此当，时函数达到极大值，类似的可得，当，f2222 2y,,时函数达到极小值。 f,22 3.2.6 通过雅可比(Jacobi) 矩阵求条件极值 3.2.6.1 问题的提出 设方程 fxxxy(,,,,)0,,,,12n (1) 在某邻域内满足隐函数存在定理的所有条件,它确定的隐函数为 ,又设约束方程组为 yyxxx,,,,(,,,)12n 15 ,(,,,,)0xxxy,,,,,112n,(,,,,)0xxxy,,,,,,212n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,(,,,,)0xxxy,,,,,mn12, 现在要求方程(1)给出的目标函数yyxxx,,,,(,,,)12n 在约束方程组(2) (2) 其中, 函数在上述邻域内具有连续偏导数, 且彼此独立. ,,,,,,,,mn,12m 利用拉格朗日乘数法, 设拉格朗日函数 下的条件极值. Fxxxyy(,,,,;,,),,,,,,,，，，,,,,,,,,,12121122nmmm则目标函数具有条件极值的必要条件是: yyxxx,,,,(,,,)12n ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,Fyyyymm1122,，，，，，,,,，，,0,,,,,,,,,,,12m,,,,,,,,,,,xxxyxxyxxyx11111111,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,Fyyyy,,,,,,mm1122,,，，，，，,,,，，,0,,,,,,,,,,12m,,,,,,,,,,,xxxyxxyxxyx,22222222,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,Fyyyy,,,,,,,,mm1122,，，，，，,,,，，,0,,,,,,,,,,,12m,,,,,,,,,,,xxxyxxyxxyxnnnnnnnn,,,,,,, ,(,,,,xxx,,,y)0,,,112n, ,(,,,,)0,xxxy,,,,,212n,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,(,,,,)0.xxxy,,,,,mn12, (3) 有解. 0000这就是说,若目标函数在点xxxx,,,,(,,,)取得条件极yyxxx,,,,(,,,)n12n12 0值, 则 满足方程组(3). x 3.2.6.2 问题的分析 00000若方程组(3)有解xxxx,,,,(,,,),将代入(3)的前个方程的偏导函nxn12 16 ,,,,,,,,,,,y,,yyjj0(1,2,,;1,2,,)injm,,,,,,,,数中, 并用、表示点处，x,,,,,,,x,,,,xxyxiiii,,,,,,000 的各偏导数值, 并以为未知数构造线性方程组: zzzz,,,,,,,121mm， ,,,,,,,,,,,,,,,,,,yyymm11zzz，，，，，,0,,,,,,,121m，,,,,,,,xxyxxyx,,,,,,11111,000 ,,,,,,,,,,,,yyy,,,,,,mm11,zzz，，，，，,0,,,,,,,121m，,,,,,,,xxyxxyx ,,,,,,,22222000,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,yyy,,mm11,，，，，，,zzz0,,,,,,121m，,,,,,,,xxyxxyx,,,,,,,nnnnn,000 ( 4) 0z,,,,1,,,,,,显然方程组(4)有非零解,故方程组(4)的系数矩阵的A，，m012 RAm,，1秩, 其中 ，，0 ,,,,,,,,,,,,,,,,,yyymm11，,,,，,,,,,,,,,,,,,xxyxxyx,,,,,,11111000 ,,,,,,,,,,,yyy,,,,,,mm11，,,,，,,,,,,,,,,,,,xxyxxyxA, ,,,,,,222220000 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,y,,,,,,,,yy1mm1,，,,,，,,,,,,,x,,,,,,xyxxyx,,nnnnn,,,,000 由此可知方程组(3)的前个方程的所有解对应的函数矩阵 xxxx,,,,(,,,)n12n ,,,,,,,,,,,yyymm1`1，,,,，,,,,,,,xxyxxyx11111 ,,,,,yyy,,,,,,mm11，,,,，,,,,,,,xxyxxyxA, 22222 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,yyymm11,,,,，,,,，,,,,,,,xxyxxyxnnnnn RAm()1,，也满足. 因此矩阵A的后列元素对应的函数矩阵 m 17 ,,,,,,,,,,yymm1`1，,,,，,,,,,,xyxxyx1111 ,,,,,,yy,,,,mm11，,,,，,,,,,,xyxxyxB, 2222 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,yymm11,,,,，,,,，,,,,,,xyxxyxnnnn 是函数对于一切自变量的偏导数所组成的雅可比矩阵的转置矩阵,由,,,,,，,,,12m RBm(),RAm(),函数的彼此独立性知,,故所以, 目标函数,,,,,，,,,12m RAm(),具有条件极值的必要条件是. yxxx(,,,),,,12n 将函数矩阵A 看作是在所讨论的某邻域内某点处的各偏导数所组成的数值 ,,,,1`矩阵, 进行如下初等变换: 将A的第1列乘以加到第2列; 将A的第1列乘,,,y,,,,,,,,,,,m`2`,,,以加到第3列,,直至将A的第1列乘以加到第+1列,可得与Am,,,,,,yy,,,,,,等价的矩阵 , 其中 A1 ,,,,,ym1`,,,,,,xxx111 ,,,y,,m1,,,,,,xxxA, 2221 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,ym1,,,,,,,,xxxnnn 由隐函数存在定理知, 对方程所确定的隐函数fxxxy(,,,,)0,,,,12n , 有: yyxxx,,,,(,,,)12n ,,,,,,,,,yffyffyff\,\,,\,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,xxyxxyxxy1122nn故 18 ,,,,,,ffm1`,,,,\,,,,xyxx111 ,,,,ff,,m1,,,,\,,,,xyxxA, 2221 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,,ffm1,,,,,,\,,,,xyxxnnn ,,,f再将的第1列乘以得矩阵 A,1,,,y,, ,,,,,fm1`,,,,,,xxx111 ,,,f,,m1,,,,,,xxxA, 2222 ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ,,,fm1,,,,,,,,xxxnnn RARARAm,,,故, 且, AAA~~，，，，，，1212 3.2.6.3 问题的解决 RAm,因为函数矩阵的秩为, 故中必有一个m阶子式不恒为零. 不AA，，222 失一般性，可设的右上角的阶子式D,0,其中 Am2 ,,,,m1`,,,,,xx11 ,,,,m1,,,,,xxD, 22 ,,,,,,,,,,,,,,,, ,,m1,,,,,,,xxmm D而且中所有包含的个+1阶的加边行列式都等于零, 其中 ADnm,m2k 19 ,,,,,fm1`,,,,,,xxx111 ,,,f,,m1,,,,,,xxx222 kmmn,，，,,,1,2,,, . (5) 0D,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,k ,,f,m1,,,,,,,,xxxmmm ,,,fm1,,,,,,,,xxxkkk 由此可知, 若由方程( 1)所确定的目标函数在点yyxxx,,,,(,,,)12n00000取得满足约束方程组(2)的条件极值, 则点必满足方程组xxxx,,,,(,,,)xn12 (5) . 综合以上, 可得求方程(1)所确定的目标函数满足约束方yyxxx,,,,(,,,)12n程组(2)的条件极值的如下方法: ? 选定不恒为零的阶子式D,写出方程组(5),即, D,0mkkmmn,，，,,,1,2,,; ? 解方程组(5)与方程组(2)及方程(1)的联立方程组; 0000? 对解出的可能的条件极值点加以判断. xxxx,,,,(,,,)n12 222xyz，，,1例3.2.6 求椭球面的内接最大长方体体积. 222abc (,,)xyz解 设椭球面的内接长方体在第一卦限内的顶点为,则其体积为 uxyz,8. fxyzuxyzu(,,,)80,,,现求方程所给出的目标函数在约束方程组u 222xyzfxyz(,,)10,，，,,下的条件极值. 222abc ,,,f,,fx,22x8yz8yz2222yx,,xx,,xxaa,,0,,0由 与，可得 与,,022,,f,,fz2ba2y,,8xy8xz22,,yy,,zzcb 20 22zx,,0.解联立方程组 22ca 22,yx,,0,22ba,22zx,,,0 ,22ca,222,xyz，，,,10,222abc, abcxyz,,,,,可得 333 椭球面的内接最大长方体体积是存在的,而且求得唯一的可由实际意义知, abc,,能条件极值点, 故点为所求条件极值点,所求内接最大长方体体,,,,333,, 8abc积为. 33 ufxyz,(,,)从以上讨论和计算可知, 对于目前函数是显函数的情形, 不必 化为隐函数,可直接计算. 4 多元函数极值 4.1 拉个朗日乘数法 拉格朗日乘数法是求多元函数条件极值的一种最常用方法，求目标函数 k,1,2,？,m,m,n在条件函数，()组限制下的极f(x,x,？,x),(x,x,？,x),012nk12n值。若及有连续的偏导数，且雅克比矩阵f(x,x,？,x),(x,x,？,x)12nk12n,(,,？,),,,12n的秩为m，则可以用拉格朗日乘数法求极值。 ,(x,x,？,x)12n 首先，构造拉格朗日函数 m ,,(x,x,？,x) =+ L(x,x,？,x,,,？,)f(x,x,？,x),kk12n12n1m12nk,1 ,L,0,1,2,？,i,n,,x,i然后，解方程组。从此方程组中解出驻点的坐标，,,L,0,,2,？,k,im,,,k, 21 (0)(0)(0)，进而求出函数的极值。 P(x,x,？x)012n 2例4.1 求表面积为而面积为最大的长方体的体积。 a 解:设长方体的三棱长为，则问题就是在条件 xyz,, 2 ,(,,)2220xyzxyyzxza,，，,,下长方体体积的最大值，作拉格朗日函数 2， Lxyzxyzxyyzxza(,,)(222),，，，,,求其对的偏导数，并使之为零，得到 xyz,, yzyz，，,2()0, xzxz，，,2()0， , xyyx，，,2()0, 2再与联立求解。 ,(,,)2220xyzxyyzxza,，，,, 因都不等于零，所以由 xyz,, yzyz，，,2()0,, xzxz，，,2()0, , xyyx，，,2()0.,可得 xxzyxy，，,,,. yyzzxz，， 2由以上带入式，使得 ,(,,)2220xyzxyyzxza,，，,, 6xyza,,,, 6 这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在，所以最大值就在这个可 62a能的极值点处取得。也就是说，表面积为的长方体中，以棱长为的正方体的体积为a6 63Va,最大，最大体积。 36 4.2利用二阶偏导数矩阵判断 若要求函数在条件下的极值，还可以fxxx(,,...,)gxxxkm(,,...,)0,1,2,...,,,12nkn12采用以下方法。 (1)构造拉格朗日函数 m Lxxxfxxxgxxx(,,...,,,,...,)(,,...,)(,,...,),,,,,， ,12121212nnnkkn,1i000000000Pxxx(,,...,)(2)求出驻点(,,...,,,,...,)xxx,,,，设， nnm0121212 000FxxxLxxx(,,...,)(,,...,,,,...,),,,,令; nnm121212 (3)利用以下定理判断函数fxxx(,,...,)的极值定理。记矩阵 12n 22 '''''',,FFF...xxxxxx11121n,,''''''FFF...,,xxxxxx21222nM, ， ,,............,,'''''',,FFF...xxxxxx,,nnn112 M?若正定，则在条件下，在点处取得极小值; gxxx(,,...,)0,fxxx(,,...,)Pkn1212n0 M?若负定，则在条件下，在点处取得极大值 gxxx(,,...,)0,fxxx(,,...,)Pkn1212n0 222例4.2 求由方程, 所确定的函数xyzxyz，，,，,,,224100 的极值. zfxy,(,) 解: 将方程两边分别对求偏导数 xy, (1) 22240xzzz，,,,xx 22240yzzz，，,, yy (2) 1,x1，y解出 , z,z,xyz,2z,2 y令zz,,0,0,求得=1, =-1将他们带入原方程得. zz,,,6,2xxy12 下面考察函数在点(1，-1.6)及点(1，-1，-2)的邻域内取值zfxy,(,) 情况. 222Fxyz,,令= .由于xyzxyz，，,，,,22410，， FF(1,1,6)0,(1,1,2)0,,,,,, 所以原方程分别在点(1,-1,6)和(1，-1，-2)的xy 邻域内确定函数. zfxyzfxy,,(,),(,)12 12120，，,,zzzx又方程(1)对x求偏导:,得z,,,，(1,1,6)xxxxxxx4 1z,,. (1,1,2)xx4 zzzzx，,,20zz(1,1,6)0,(1,1,2)0,,,,,方程(1)对y求偏导:,得. xyxyxyxyxy 12120，，,,zzzz方程(2)对y求偏导:,得z,,,，(1,1,6)yyyyyxx4 1z,, (1,1,2)xx4 2BAC,,0z,6在点(1，-1,6)有，且A<0，所以是极大值。 23 2BAC,,0在点(1，-1,2)处有,且A>0，所以z,,2是极小值。 222综上所述, 知由方程在点(1，-1,6)的某邻xyzxyz，，,，,,,224100 z,,2域内确定的函数,是极大值;在点(1，-1,2)的某邻域内确定的函数，z,6 是极小值. 如把本题所给的方程化成 222 (1)(1)(2)16xyz,，，，,, R,4,半径,球心在点(1，-1,2)，对于的一组值，有两个z这是球面方程 xy, 与之对应，因此 ,从整体来看 ,该方程并不确定一个单值函数 ,从几何图形上看 ,z在(1,-1)取得极大值6与极小值-2是然显的 ,因为球面上最高点与最低点的坐标分别为(1,-1,6)与(1，-1，-2). 4.3 均值不等式法 利用均值不等求函数的极值，也是要把函数先进行变形，再利用“积定”求和的极小值或是“和定”求积的极大值。 xxx，，？，12nnxxx均值不等式:(当且仅当时，等x,x,？,x？,12n12nn 号成立; ;)……………………………………………………………………………x,0,i,1,2,？,ni …..(2) 在应用均值不等式(2)时，无论怎样变形，一定要满足“一正二定三相等”的条件。 1111(x,0,y,0,z,0)f(x,y,z),2x，2y，2z，，,例4.4:已知，，求的极xyz2 小值。 ？x,0,y,0,z,0解:， 1111f(x,y,z),2x，2y，2z4(x，y，z),(，，)4(x，y，z),== ？xyz2 xyyzxz,4(3，2，2，2),36,4(3，，，，，，) yxzyzx 4.4柯西不等式法 柯西不等式是由大数学家柯西(Cauchy)在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个非常重要的不等式，某些函数的极值、最值可以转化为柯西不等式的形式求解。 柯西不等式:对于任意的实数，总有 a,a,？,a和b，b，？，b12n12n 24 2222222…………………,(a，a，？，a)(b，b，？，b)(ab，ab，？，ab)nn12n12n1122 …..(1) 简述为“积和方不大于方和积”;，当且仅当实数与a,R ， b,R a,a,？,aii12n [1] 对应成比例时，等号成立。由此，得到两个重要结论: b，b，？，b12n (1)若 则ax，ax，？，ax,S,1122nn 2S222bxbxbx ，，？，,nn1122222aaan12，，？，bbbn12 222(2)若; 则bx，bx，？，bx,Tnn1122 222aaan12(，，？，),T, ax，ax，？，ax1122nnbbb12n [2]，i,1,2,？,n(其中)。 b,R i 运用柯西不等式，主要是把目标函数适当变形，进而“配，凑”成柯西不等式的左边或 右边的形式，最终求得极大值或极小值。 222f(x,y,z),2x,2y，z例4.5:已知，求的最值。 (x,2)，(y，1)，(z,4),9 f(x,y,z),2x,2y，z解:首先将变形为 f(x,y,z),2(x,2),2(y，1)，(z,4)，10; g(x,y,z),2(x,2),2(y，1)，(z,4)再设， 于是，根据柯西不等式(1)及已知条件，有 2222222=81 [2(x,2),2(y，1)，(z,4)],[2，(,2)，1],[(x,2)，(y，1)，(z,4)] ,9,2(x,2),2(y，1)，(z,4),9即: xyz,2，1,4,k,,,,2,21当且仅当时，等号成立; , 222,xyz(,2)，(，1)，(,4),9, k,1k,,1,, ,,x,4x,0,,即当时，;当时，， g(x,y,z),9g(x,y,z),,9,,maxminy,,3y,1,, ,,z,3z,5,, 25 所以，;。 f(x,y,z),19f(x,y,z),1maxmin 4.5 用几何模型法求解极值 本节利用多元函数微分法在几何上的应用得到了求解多元函数条件极值的 方法. 4.5.1 z=f(x,y)在满足条件下的极值 ,,()x,y,z0,Mxyz(,,)引理 设空间曲线的方程以的形式给出，是曲线,,,()x,y,z0, ГГ上的一个点，则曲线在点M处的切线方程为 xxyyzz,,,000,, ,,,,,,zxyzxy ,,,,,,zxyzxyMMM zfxy,(,),Г由空间解析几何知方程组(1)表示一条空间曲线， ,,(,)0xy,, zfxy,(,),zfxy,(,)Г在满足条件下的极值即为曲线: 上点P的坐标的,,(,)0xy,, Г极大值与极小值.如果曲线上处处都有切线，则z 坐标取极大值与极小值的点p 处的切平面必平行于坐标面，亦即垂直于z轴。 xoy zfxy,,(,)0,t由(1)知的方程为，设其切向量为， ,,(,)0xy,, ,,,,,fff1,,ff1,fyxyxyxtt,,则有,，又, 0,k？,,,,,,,,0,,,0yxyxyx,, ff,,,,0即 xyyx zfxy,(,),(,)0xy,定理 设函数,在,某一邻域内均有连续的一阶(,)xy00 J,0zfxy,(,),(,)0xy,偏导数且雅克比行列式,则为在满足条件(,)xy(,)xy0000 ff,,,,0下的极值点的必要条件为. xyyx xy，,1例4.5.1 求函数zxy,在附加条件下的极大值. zyzx,,,,,,1,,解:因为, xyxy 26 所以 zz,,,,0xyyx xy,,0即 (1) xy，,1又 (2) 11111解得为，从而= (,)xyf(,)(,)0042222 1由题意知的极大值为. zxy,4 ufxyz,(,,),(,,)0xyz,4.5.2 在满足条件下的最值 基本过程(1)在满足条件下的可能极值点。 ufxyz,(,,),(,,)0xyz,00 (2)求一元函数的最值。 ufxzyzz,((),(),)000 222xyz，，,1例4.5.2 求内接于椭球的体积最大的长方体的体积，长方体222abc 的各个面平行于坐标面. 解:设内接于椭球且各个面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点坐标为 222xyz，，,,10则长方体的体积为V=8xyz且 222abc 任意固定, z0,,zc00 222zxy0，，,,10首先求(1) 满足条件时的极值点 Vxyz,80222abc 2x2yVxz,8因为, , , , Vyz,8,,,,y0xyx022ab 22yxVV,,,,0由得得(3) 880yzxz,,,,xyyx0022ba 22zz00a,,1b,,122ccx,y,由(2)(3)解得 22 222,,,,zzz2dV000则由 由 Vzabz()41,,,,,4(1)ab,,,,00222cdzcc,,,,0 27 cz,解得 时， 最大， Vz()003 ccc,,此时长方体在第一卦限的顶点坐标为. ,,,,333,, 用上述定理给出的解决多元函数条件极值问题的方法，可避免利用拉格朗日乘数法过程中繁琐的计算， 同时对工科学生而言也比较容易理解。 5. n元函数极值 5.1 n元函数极值定义及存在条件 元函数极值问题是一个重点,也是一个难点.<<线性代数>>在讲完有关二次 n 型正定,负定,不定等内容后,没有具体讲授他们的用途.本文将这部分内容与多元函数极值问题有机结合起来,从而弥补了这一缺陷,同时也丰富了多元函数极值问题. n00DR,fDR:,定义1:设，函数,点,如果存在一个球,使得pD,BpD(),r00 p ()对一切成立,那么称为的一个(严格)fpfp()(),fpfp()(),pBp,()f000r0 极小值点,那么称为函数的一个(严格)极小值 fp()f0 同样定义(严格)极大值点和(严格)极大值.极小值和极大值统称极值. 5.1.1极值存在的必要条件 000T定理1:设函数在点Xxxx,(,,,)处存在一阶偏导数，且为该函XfX()0012n 数的极值点，则。 ,,fX()00 000T0000证明:设Xxxx,(,,,)，考察单变量的函数fxxtxx(,,,,,,)，tiin,，012n111 0in,1,2,,，如果在取得极值，那么这个单变量函数必在tx,上取得同Xf0i样性质的极值。因此 d0000 (,,,,,,)0,,fxxtxx0iin,，111tx,idt ,f0000in,1,2,,(,,,,,,)0fxxtxx,,这正是 ， 0iin,，1110tx,i,xi 即 ,,fX()00 28 在引述n元函数极值存在的充分条件之前，我们先简要的引述n元函数在点 处的Taylor公式。由于我们通常应用Taylor公式的时候，特别重要的是Taylora 公式的前三项，因此我们现在把它们具体写出来。即 2n,,,fff1 (*) fahfaahahahh()()()()()，,，，，，，,1nij,,,,xxxx2,ij,11nij利用我们黑赛矩阵的定义 我们可以将(*)写成 hh,,,,111,,,,。 ()()()(,,,)()fahfafahhhHa，,，,，，n12,,,,2,,,,hhnn,,,, 1' , fahfafahhHah()()()()，,，,，，2 h,,1,, 其中 h,,,,,hn,, 5.1.2极值存在的充分条件 n定理2:设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，XR,fX()0 ,,,,,fXfXfX()()()000 ,,,fX(),,,0,,0,,,xxxn12,, 则 ?当为正定矩阵时,为的极小值; HX()fX()fX()00 ?当为负定矩阵时,为的极大值; HX()fX()fX()00 ?当为不定矩阵时,不是的极值; HX()fX()fX()00证明:?.由于是的一个驻点，由Taylor公式可得: Xf0 1',,(0,1)，其中，把上式改写为: ，,,，,fXhfXhHXhh()()()0002 11'' ，,,，，,,fXhfXhHXhhHXhHXh()()()(()()),0000022 'h,0由条件知，二次型hHXh()对任意的恒为正值，特别地，在单位球0 'y,1m,0yHXy()上，连续函数取到最小值，最小值之所以能取到，是因0 单位球是以紧致集。 h,0因此，对任意的，我们有: 29 'hh22' hHXhhHXhm()(());,,00hh m另一方面，由于的一切二阶偏导数在处连续，对总可以X,,,,,:0,f0n 取，使0,,h,时， ,,0 22,,ffijn,1,2,,, ()(), XXh,，,00,,,,xxxxijij 于是 22''22 hHXhHXhhHXhHXhhnnh(()())()()，,,，,,,,,,,0000 于是，当0,,h,时， mnmn,,222 fXhfXhhh()()()0，,,,,,,00222这正说明时的一个严格极小值点。 Xf0 ?证明类似，此处不再赘述。 12'?因为 ? fXhfXhHXhoh()()()()，,,，0002 n 因为时不定方阵，故存在，使得 HX()pqR,,0 '' pHXpqHXq()0(),,00 在?中分别取 h为就得: ,p 11'22'2 ? ，,,，,，,,,,fXpfXpHXpopHXpo()()(())()(()(1))000022 1'2 ? ，,,,，,,fXpfXqHXqo()()(()(1))0002 由?和?可知，只要取充分小，就有 , fXpfXfXq()()()，,,，,,000 这正好说明不是的极值点。 Xf0 5.1.3极值存在的充要条件 定理3:设函数在稳定点的某邻域内存在二阶连续偏导数，则 afX() ?是的极大值点，当且仅当在处局部半负定; aafX()Ha() 30 ?是的极小值点，当且仅当在处局部半正定; aafX()Ha()?不是的极值点，当且仅当在处局部不定; aafX()Ha()在证明定理之前我们先看一个引理。 引理: 设A,是n阶对称矩阵，是的函数，当 时，()aah,,hhhh,(,,...)ijnij12n TT ，则当时，是高于的无穷小量。 a,0h,,hAhhhij 2222T证明: 因为|2|||ahhahh,，(),当我们用()hh，代替中的2ahh||hAhijijijijijijij T项时，被放大，且不再有形如的项，而且剩下如下的平方项。 2ahh||hAhijij 22(||+||+...+||)h(||+||+...+||)haaaaaa，，...1112121222nn12 2(||+||+...+||)h||+||+...+||+||+||+...+||+aaaaaaaaa,( nnnnnn121112121222n 222...+||+||+...+||)(hhhaaa，，，...).nnnn1212n nnTTT||||hAhahh,.||a,0.于是因为当时，，所以， h,,a,0hAh,,ijijijijij,1,,1, TTT是高于的无穷小量，即是比高阶的无穷小量。 hhhAhhh 下面我们就定理3给出其证明如下: 证明:由泰勒公式 1TT,,1)(其中是实数，且。 ,fahfafahhHahh，,，,，，,()()()()2 ,,fa()0, 因为是的稳定点，所以由泰勒公式得 af 1T fahfahHahh，,,，,()()()2 因为在的某邻域内存在二阶连续偏导数，所以 afX() HahHaA()()，,，,， ()aahh,,a,0其中A,是n阶对称矩阵，是的函数，当时，，于ijnijij 是 1111TTTT,, hHaAh，hHahhAh，fahfahHahh，,,，,(())().()()()2222 TTh,,由引理知，当则当时，是高于的无穷小量，所以，在的一ahAhhh 11TT个充分小的邻域内，的右边的符号完全fahfahHahhAh，,,，()()().22 T由决定。 hHah() 31 Tfahfa()()0，,,?，当且仅当; ,0hHah() Tfahfa()()0，,,?，当且仅当; ,0hHah() Tfahfa()()，,?符号不定，当且仅当符号不定。 hHah() 因而有 ?是的极大值点，当且仅当在处局部半负定; aafX()Ha() ?是的极小值点，当且仅当在处局部半正定; aafX()Ha() ?不是的极值点，当且仅当在处局部不定; aafX()Ha() 至此证毕。 参考文献 [1] 李天胜，从一道错误的例题谈条件极值的代入法[J]，高等数学研究,2002(3):22。 [2]肖翔，许伯生，运用梯度法求条件极值[J]，上海工程技术大学教育研究，2006(1):35-37。 [3]莫国良，关于用代入法求条件极值的一点注记[J]，高等数学研究，2004(3):42-49。 [4] 王延源, 条件极值的六种初等解法[J], 临沂师专学报, 1999(12):21-24。 [5]李瑛华, 标准量代换法求函数极值,实战实例。 [6]北京大学数学系几何代数教研室。高等代数[M].北京:高等教育出版社，1988。 [7]丘维声。高等代数[M]。北京:高等教育出版社，2002。 [8]同济大学数学教研室。高等数学[M].北京:高等教育出版社，1996。 [9]裴礼文。数学分析中得典型问题与方法。高等教育出版社。 [10]同济大学教研室。高等数学 [11]张宏志。高等数学教与学参考西北工业大学出版社。 [12]常庚哲 史济怀 数学分析教程(下册) 高等教育出版社。 32 结束语 通过本文对求多元函数极值方法的论述，我们深刻的体会到学习多元函数极值的重要性。求解多元函数极值的方法很多。我们知道对于不同的多元函数其极值有不同的解法，除了拉格朗日乘数法和梯度法外，其余条件极值解法均为初等数学的方法，掌握好初等数学的方法求解多元函数条件极值有时候会更简单，但其使用的过程中具有一定的技巧性，也有一定的局限性,需要根据具体情况具体分析.拉格朗日乘数法是一种通用的方法，也是最常用的方法，特别是在约束条件比较多的情况下使用拉格朗日乘数法更方便适用.只有训练掌握各种解法，才能在解极值问题时选择最佳方法快速解题.当然，仅仅一个学期的论文 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ，不足之处在所难免，如没有对本文讨论范围以外的条件极值的解法与应用问题进行展开，在论文完稿之际，我特别要感谢王建军老师的细心指导，在我今后的学习、工作和生活方面，都要把老师的这种严格、一丝不苟的精神贯彻始终，从而不辜负陈老师对我的悉数关怀和耐心指导～ 33