对偏心球形电容器电容的计算

对偏心球形电容器电容的计算 第24卷第4期 2003年12月 首都师范大学学报(自然科学版) JournalofCapitalNormalUniversity (NaturalScienceEdition) Vo1.24.No.4 Dec.20o3 对偏心球形电容器电容的计算 李旭 (重庆师范大学物理学与信息技术系,重庆,400047) 摘要 在双球坐标系下采用分离变量的方法经推导求解了偏心球形电容器的电容,得到了它的级 数解,并通过编制 程序计算得到了偏心球形电容器的电容大小与偏心率之间的数值关系. 关键词:双球坐标系,电势分布,电容,偏心率. 中图分类号:O441.1 O引言 在介绍电容器时,一般的电磁学教科 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf ?通常 只涉及平行板电容器,同轴圆柱形电容器,同心球形 电容器,其静电场的求解,面电荷分布和电容的计算 都很简单.但是在实际中平行,同轴,同心我们都只 能在一定的精度内做到,这就启发我们考虑非平行 板电容器],非同轴圆柱形电容器”],非同心球形 电容器.文献[5,6]都是在球坐标系下通过分 离变量的方法并且假定偏心度较小采用一阶近似得 到了小偏心球形电容器电容的近似解.文献[5]认为 在偏心度较小的情况下偏心球形电容器的电容是不 会发生改变的,文献[6]的计算结果表明电容器的电 容是随着偏心距的增加而减小的.这些计算的局限 使它们只能用于小偏心距的情况,当偏心距增加时, 就会带来极大的误差甚至是错误.为此本文采用双 球坐标系”通过分离变量的方法经推导求解了偏心 球形电容器的电容,得到了它的级数解,并通过编制 程序对级数解进行了数值计算得到了偏心球形电容 器电容大小随偏心度变化的数值关系.由计算结果 可知,偏心球形电容器电容的大小是随偏心率的增 加而增加的,但是在偏心率很小的情况下电容的改 收稿13期:2002—12.05;修回13期:2003—04—26 *基金项目:重庆市教育委员会资助项目(NO:20011075) 变量相当小,可近似认为不发生变化.这和文献[5] 的计算结果是一致的,而文献[6]的计算结果是不恰 当的. 1双球坐标系下的拉普拉斯方程及其 通解 若双球坐标系中的三个变量用(,叩,)表示, 则它们与圆柱坐标(1D,,)的关系是:lD= aS — ill .,=,= ash~: ,式中.是双球坐 标参量,双球坐标一经选定,a即为恒量.双球坐标 中三个坐标(,刁,5&)的变化范围是:一?<专<?,0 ?Tl?兀,0??27t. 双球坐标系中的三个坐标曲面分别为: = 常数时的坐标面是球面p+(—acth~) = (a/sh~),叩=常数时的坐标面是绕轴的回转纺 锤面(1D—acotr/)+=(a/sh),=常数时的坐 标面是从轴发散的半平面. 双球坐标系中的拉梅系数(度规系数)是:h= aasinr/h 2—ch~:-—cosr/’h3 把双球坐标系中的拉梅系数代入正交曲线坐标 系中的拉氏一般方程中,就得到双球坐标下的拉普 拉斯方程为: 妄(襄)+(鬻)+ 首都师范大学学报(自然科学版)2003矩 =0(1) 要直接求解(1)式比较困难,为此令= ~/2(ch一cos)代入(1)式可得: ++c咖+sin叩一=. (2) 考虑到在轴对称的情况下与方位角无关,上式 可简化为: ++cot叩一-o? 将(3)式再作分离变量,设=()y(),则 警一=Y(+cot)_川a一4一\a叩’,a叩?” 于是可以得到 dzX : (n+1)+ — d2 — y+c.tdY +n(n+1)y:0一dr/2+c.叩+(+)u 上面两个常微分方程的通解分别为: : Ach(n+1)+Bsh(n+1)(4) Y=CP(cos~)+DQ(cos~)(5) 在(5)式中,因为第二类勒让德函数Q(cosr~)在叩 = 0或叩=不时为无穷大,而静电场的电势在无电 荷的区域总是有限的,故D=0,这样把(4)式和(5) 式再代入(3)式就可求得拉氏方程在球外区域内的 轴对称解为: (,)=_二_? [A.ch(n+)+B.sh(n+)cos) (6) 2双球坐标系下电容的严格求解 如图1所示,半径分别为R,和R的内外球 壳,保持内球壳电势为,外球壳接地,构成偏心距 d=的偏心球形电容器.欲求解电容之值,使内 外两个极板面分别是:.和=的坐标面,使 z轴通过这两个球层的球心,这时两个极板的中心 坐标分别是:z.=acth~.,z=acth~.两个极板的半 径R.,R与口,.,之间的关系是:口=R.sM’.= R2sh2,d=z2一zl=0(cth2一cthI),由此可以得 到: h:!堡, h:!堡(7)h————__, nez————=_厂L , , 图1偏心球形电容器示意图 欲求解电容,必先求出带电导体球系统在球壳层之 间的电势分布,即是要求解满足本问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 边界条件的 方程(6)式,本问题的边界条件可表示为: (.,)=V(8) (,)=0(9) 将(9)式代入(6)式可以sh(n+1)(?一z) 将(12)式代入(6)可得到球壳层之间的电势分布为: (,)=V~/2(ch一cosr~) 毒山咖13)_1’n…’,…一 .h(n+言)(一z) 根据d:一e.并考虑到沿:,导体球外法线 a凡 一,, 一 一S—O,C 一一 —C 一 一n —S 第4期李旭:对偏心球形电容器电容的计算35 万同是藏小的,口J求得-球回上的电荷回瑟度为:口 : l,因此导体球面,上的总电量为可表,oI=. 示为: Q=肌oo觏) 并考虑利用特殊函数的积分公式 d(c唧)=集e_(n代入(14) 式并利用C=Q/V,就求得偏心球形电容器电容的 大小为 P(cos叩)dd=COSchl一叩,uu一 …壹n=O e 山,【+ (2n+1)cth(n+)(. (ch1一cos,1)”× cos=…妻n=0 e 山[警+ (2n+1)cth(n+)(.一2e-(n+{) — = 4ras.RIsh~?e-(2n+1)$1【1+clh(n+1一】 (15) 3数值计算与讨论 为了能比较直观地找到偏心球形电容器电容C 的大小和偏心率m=d/(R:一R.)之间的关系,我们 编制了程序,用微机对(15)式进行了数值计算,得到 了当R,=1,R:=2时C与m之间的数值关系如表 1所示,表1中同时还列出了电容的相对变化率n= (C—C.)/C.和m之间的数值关系,其中C.= 4胞0R,R2/(R:一R.)=2.22530×10I1.(F),表中所 列电容C的单位为10.(F). 1)从上表中可以看到偏心球形电容器电容C 的大小是随偏心率rn=d/(R:一R.)的增加而增加 的,在偏心率较小的情况下,电容的变化很小,可以 近似认为不变,这和文献[5]在基于球坐标系下用分 离变量的方法得到的小偏心球形电容器的电容在偏 心率很小的情况下电容C=C.=4胞.R.R:/(R:一 R.)不发生变化的结论是一致的,而文献[6]认为偏 心球形电容器的电容是随偏心距的增加而减小的观 点是值得商榷的. 表1电容C的大小与偏心率J,l之间的数值关系表 2)从上面的讨论中我们知道,如果要获得较大 的电容,可以增加电容器的偏心率,但同时也应该注 意到当偏心率较大(m>0.8)时虽然电容器的电容 增加相当显着,但此时电容器两个球形壳层之间的 距离靠得非常近,在互相靠近的区域处电场强度很 大,容易发生电击穿从而破坏电容器.所以我们设想 在制造球形电容器时,为了获得较大的电容,可以把 它制成偏心形状的,此时只要在电容器两个极板互 相靠近的区域用耐电性能较好的材料就可以了. 参考文献 赵凯华,陈熙谋.电磁学(第二版)上册.北京:高等教育出版社,1997.154160 游荣义.非平行矩形板电容器的电场和电容.大学物理,1993,12(2):7,9 王树萱,杨翼智等.用双界能量对偏心圆柱电容的电场计算.大学物理,1993,12(?):l5l7 胡文江.两长直带电导体静电场的求解.重庆邮电学院学报(自然科学版),1998,4(3):7l,73 符果行.经典电磁理论方法.成都:电子科技大学出版社,1998.156,158 乔楚良.非球心对称形电容器的研究.广西物理,2000,4(1):24,26 王竹溪,郭敦仁.特殊函数概论.北京:北京大学出版社,2001.663,664 (下转第32页) l234567 32首都师范大学学报(自然科学版)2003正 5结论 基于配变负荷测试仪计算配电网线损的电流分 配系数法,计算结果准确,能够减小由于高压用户配 变的高压侧不装负荷测试仪而给线损计算带来的误 差,使得用电管理部门能够在节省大量资金的情况 下同样获得准确率很高的线损值. 参考文献 1配电综合测试系统软件使用说明.北京能电电技术开发总公司.1991,2,3 2监测仪安装及使用说明.北京能电电技术开发总公司.1991.2,3 3陈珩.电力系统稳态分析.北京:水利电力出版社.1985,51 4袁慧梅.基于GA和ANN的中压配电网线损计算新方法.中国农业大学博士学位论 文.1999,71 MethodofAllocatingCurrentCoefficientstoCalculateEnergyLosses BasedonLoadSurveyInstruments YnanHuimeiJiaShenghaiGuoXiqing (CapitalNormalUnivcrsity100037)(QingxinGorporati.n,HeilOI3 【gjiangProvince163114)(ChinaAgricuIturalUniversity100081) Abstract Basedontheloadsurveyinstrument,anewmethodofallocatingcurrentcoefficientstocalculateenergy1ossesisDut forwardinthispaper.TheelTorcausedbytheshortageofloaddatacanbeminimizedbythemethodwhenenergy1osses arecalculated.ItCanmakethemanagementdepartmentgetthelossexactlywithalimitedcost.Themethodhasbeen provedamoleaccurate,simple,practicalandeconomicalmethodbyexamples. Keywords:loadsurveyinstrument,distributionnetworks;energyloss. (上接第35页) ComputationoftheEccentricSphericalCapacitor’SCapacitance Xu (Dep.ofPhysicsandInformationTechnologyChongqingNormalUniversity,Chongqing4ooo47) Abstract Thesolutionoftheeccentricsphericalcapacitor’scapacitanncehasbeenobtainedbasedonthebispherica1 coordinatesystemandstrictderivation,andthroughmakingprogrametocomputetogetthenumericalrelationbetweenthe capacitanceandtheeccentrity,andalsopiontoutedthemistakeinsomearticles. Keywords:bisphericalcoordinatesystem,electricpotentialdistribution,capacitance,eccentriccity.