小升初奥数离散最值问题讲解

小升初奥数离散最值问题讲解 发布时间:09/12/22 作者:优才教育奥数组 来源:优才小升初网 小升初奥数离散最值问题讲解 在数学中，经常做的一件事就是求值，求值问题中有一类是在一定条件下求最大值或最小值，这类问题有很强的实际应用价值。最大值最小值问题五花八门，涉及的知识很广泛。 例1:一个长方形周长为20厘米，要使它的面积最大，这个长方形的长、宽各是多少厘米, 分析与解答: 分析:长方形的面积=长×宽，要使长方形的面积最大，即长、宽的乘积最大。长与宽的和是其周长的一半，即10厘米。注意，两个数和一定时，其差愈小，则其积愈大。于是，当长方形的长与宽相等时，即该长方形边长是5厘米的正方形时，面积最大。 解答:长和宽的和=20?2=10(厘米) 长、宽分别是10?2=5(厘米)时长方形面积最大 答:这个长方形的长、宽各是5厘米。 说明:一般地，我们有如下结论:(1)若两个数的和为定值，则两个数相等时，乘积最大;(2)在周长相等的长方形中，正方形的面积最大;在周长相等边数也相等的多边形中，正多边形的面积最大。而且周长相等的正多边形中，边数愈多的正多边形面积愈大。当边数无限地增多时，多边形愈来愈接近圆。因此，在周长一定的条件下，正三角形面积,正方形的面积,正五边形,…,圆面积。 例2:不能写成两个不同奇合数的和的最大偶数是多少, 分析与解答: 分析:解答本题的关键在于找到一个偶数，证明比它大的所有偶数都可以表示为两个不同的奇合数的和，而这个偶数不能表示为两个不同的奇合数的和。 注意，两个最小的奇合数为9和15，因而小于24的偶数一定不能表示为两个不同的奇合数之和，即只要在比24大的偶数中寻找。 由于比15大的最小的奇合数为21，9，21=30，于是可以从32开始寻找:32不能表示为两个不同的奇合数的和，34=9+25，36=9+27，38也不能表示为两个不同的奇合数的和;40=15+25，42=15+27，44=9+35，46=21+25，48=33+15…注意到在上面的40、42、44、46和48的算式中均有一个奇合数为5的倍数，而比48大的偶数总可以由40、42、44、46、48其中之一加上10的倍数得到，将这个10的倍数与上面的5的倍数的奇合数合在一起，得到一个新的奇合数，所以比38大的每一个偶数都可以写成两个不同的奇合数的和。由此，38是不能写成两个不同奇合数之和的最大偶数。 说明:枚举、筛选是一种既重要又基本的数学思想，熟练地掌握它，有利于我们解题。 例3:两个四位数，每一个的各位数字互不相同，如果它们的差是1999，那么它们的和的最大值是多少, 分析与解答: 分析:要想使两个四位数的和最大，那么这两个数高位上的数越大越好。 不妨设这两个四位数为abcd、efgh。(a?b?c?d;e?f?g?h)，根据题意就得到: 若令abcd+efgh的值最大，那么就有 a，e,b，f,c，g,d，h. 如果a=9，e=8，显然此题无解。只能是a=9，e=7，则b=8，f=8，c=6，g=6，d=4，h=5，符合题意。 因此这两个四位数的最大值是9864，7856=17729。 说明:最小中求最大或最大中求最小是离散最值问题较典型的题目。 例4:某学习小组有4名女生、2名男生。在一次考试中，他们做对 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 的数量各不相同，最多对10题，最少对4题;女生中做对最多的比男生做对最少的多4题，男生中做对最多的比女生中做对最少的多4题。男生中做对最多的人对了几道题, 分析与解答: 分析:本题的关键是分析它们的数量关系，根据数量关系进行推理。 由题意可知共计有4，2=6名同学，由这6名同学做对试题的数量各不相同，且最多的对10题，最少对4题可知:6名同学做对的题数只能是4、5、6、7、8、9、10中的六个数。 若做对最少的是男生，即男生做对最少的是对4道题，则女生做对最多的对8道题(4，4=8)，所以男生做对最多的对10题。 由女生做对最多的对8题可知:女生4名同学分别对5、6、7、8道题。因为10,5=5道，与已知男生做对最多的比女生做对最少的多4题矛盾，由此否定男生是做对最少的。 若做对最少的是女生，即女生做对最少的是对4题，则男生做对最多的对8题(4，4=8)，所以女生做对最多的对10题，则男生做对最少的对6题(10,4=6)。 因此4名女生做对的题数可能是4、5、7、10;4、5、9、10;4、7、9、10。男生做对的题数是6、8，于是男生中做对最多的对8题。 说明:本题选自1999年全国小学数学奥林匹克决赛试题，相信此题会给小读者们一些启迪。 例5:20=10，10=5，5，10=1，2，3，4，5，5=1，1，…，1，这说明20可用多种形式写成若干个自然数之和。在每种写法中，将这种写法所包含的所有自然数相乘，问乘积的最大值是多少, 分析与解答: 分析:把20的各种拆法一一列举出来，并且计算每一种情况下各加数的乘积，从中找出最大的，这当然是一种方法，但是工作量较大。 容易想到，加数中有1是不利的，因为1与其他数相乘时，1起不到作用。这就是说，为求最大乘积，各加数中不应当有1。 加数中如果有4，可进一步拆成两个2，这是因为2×2=4，计算乘积时把一个4换成两个2不影响结果。因此，我们可以使加数中不含4。 如果加数中有3个或3个以上的2，不如把3个2换成两个3。这是因为2，2，2=3，3，但2×2×2,3×3;如果加数中有7，不如改为3，2，2;…;如果加数中有5——10中的某数，总可以把它们拆成若干个3与不多于3个2之和，这样会使乘积变大。 解:20=2，3，3，3，3，3，3，所求的最大乘积是2×3×3×3×3×3×3=1458。 说明:一般地，对自然数N进行拆分时，为了使所有加数之乘积最大，我们总要使加数中不含1，不含4或4以上的自然数，不含3个或3个以上的2，使所有加数的乘积最大的拆分办法是唯一确定的。 例6:连续自然数1、2、…、N[N,50]。如果从中任取50个数，都能从中找到两个数，使这两个数的差等于7。问N的最大值是多少, 分析与解答: 分析:我们可以这样考虑:(1，8)，(2，9)，(3，10)，…，(7，14)，(15，22)，(16，23)，…，(21，28)，(29，36)，(30，37)，…，(35，42)，…，(85，92)， (86，93)，…，(91，98)。容易看到，1，2，…，98中每个数都出现一次而且只出现一次，共49组。 解:根据抽屉原则知，从1，2，…，98中任取50个数，其中至少有两个数取自上述49组中的同一组，而同一组中的两个数相差7，因此N的最大值是98。 说明:最大最小问题题型十分丰富，解答这类问题有利于提高同学们的分析能力，有利于培养同学们灵活、科学运用知识的能力。 例7:已知算术式abcd,efgh=1996，其中abcd和efgh均为四位数，a、b、c、d、e、f、g、h是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中的八个不同数字。问abcd与efgh之和的最大值与最小值的差是多少, 分析与解答: 分析:如果b不借位，那么b也不能退位，并且b=9，f=0，这时必有c=9，g=0，不符合题意，因此b必须借位。但是，这时b又不能退位，否则(10，b,),f=9，即b=f，不符合题意。 所以必有c=9，g=0，并且(a,1),e=1，(10，b),f=9，d,h=6。即a=e，2，b=f,1，d=h，6。又知abcd，efgh=abcd，(abcd,1996)=2abcd,1996， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 abcd，efgh的最大值，abcd须尽可能的大，则a应尽可能大，所以a=8，则e=6;其次b尽可能大，取b=4，则f=5;最后必有d=7，h=1。 解:当abcd=8497，efgh=6501时，它们的和值最大，为8497，6501=14998。 同理可知，它们的和值最小是3498，1502=5000。 所以最大值与最小值的差为14998,5000=9998。 说明:把这道题写成竖式的形式便于解答。 例8:将分别写有数码1、2、3、4、5、6、7、8、9的九张正方形卡片排成一排，发现恰好是一个能被11整除的最大的九位数。请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程。 分析与解答: 分析:本题应用整体考虑局部调整的方法。 解:我们知道，用1、2、3、4、5、6、7、8、9排成的最大九位数是987654321，但这个数不是11的倍数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数。 设奇数位数字之和为x，偶数位数字之和为y，则x，y=1，2，3，4，5，6，7，8，9=45。 由被11整除的判别法知x,y=0，11，22，33，44。 但x，y与x,y的奇偶性相同，而x，y=45是奇数，所以x,y也只能是奇数值11或33。于是有: (?) x，y=45 (?) x，y=45 x,y=11 x,y=33 由(?)解得x=28，y=17;由(?)解得x=39，y=6，但此时所排九位数的偶位数字和最小为1，2，3，4=10,6，所以(?)的解不合题意，应该排除。由此只能取x=28，y=17。 987654321的奇数位数字和为25，偶数位数字和为20，所以必须调整数字，使奇数位的数字之和增3，偶数位数字之和减3才行。为此调整最后四位数码，排成987652413即为所求