正切、余切
函数
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图象和性质 反三角函数
[知识要点]
1(正切函数、余切函数的图象与性质
2(反三角函数的图象与性质
3(已知三角函数值求角
[目的要求]
1(类比正、余弦函数的研究，讨论正切函数与余切函数的图象和性质，关注其不同点.
2(从反函数概念入手，引入反三角函数定义，并定性讨论其图象和性质.
3(能熟练运用正、余弦函数性质解决问题.
4(能用反三角函数值表示不同范围2(已知三角函数值求角
[
内容
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一、正切函数与余切函数图象
由前面我们正、余弦函数图象和性质的过程知，在中学阶段，对一个函数的认识，多是“由图识性”.因此，可以先作出正、余切函数的图象.
作三角函数图象的一般方法，有描点法和平移三角函数线法.
与正、余弦函数的五点法作图相类似，我们可以选择正切函数在一个周期内的图
象上三点及两条重要的辅导线——
渐近线，来作正切函
数在区间
上的简图，不妨称之为”三点两线法”.
若想迅速作出余切函数y=cotx的图象，如何选择“三点”及“两线”呢,请大家看余切函数的图象，不难得到答案.
二、正、余切函数的性质
由图象可得:
注: 1、由定义域知，y=tanx与y=cotx图象都存在无数多个间断点(不连续点).
2、每个单调区间一定是连续的.
3、由单调性可解决比较大小问题，但要务必使两个自变量在同一单调区间内.
三、反三角函数的概念和图象
四种三角函数都是由x到y的多值对应，要使其有反函数，必须缩小自变量x的范围，使之成为由x到y的对应.从方便的角度而言，这个x的范围应该(1)离原点较近;(2)包含所有的锐角;(3)能取到所有的函数值;(4)最好是连续区间.从这个原则出发，我们给出如下定义:
1(y=sinx, x?的反函数记作y=arcsinx, x?[-1,1]，称为反正弦函数.
y=cosx, x?[0, π]的反函数记作y=arccosx, x?[-1,1]，称为反余弦函数.
y=tanx，x
?的反函数记作y=arctanx, x?R，称为反正切函数.
y=cotx，x?(0, π)的反函数记作y=arccotx, x?R，称为反余切函数.
2(反三角函数的图象
由互为反函数的两个函数图象间的关系，可作出其图象.
注:(1)y=arcsinx, x?[-1,1]
图象的两个端点是
(2)y=arccosx, x?[-1,1]图象的两个端点是(1，0)和(-1，π).
(3)y=arctanx, x?R
图象的两条渐近线是和.
(4)y=arccotx, x?R图象的两条渐近线是y=0和y=π.
四、反三角函数的性质由图象，有
另外:
1(三角的反三角运算
arcsin(sinx)=x(x?) arccos(cosx)=x (x?[0, π])
arctan(tanx)=x(x?
2(反三角的三角运算
) arccot(cotx)=x(x?(0, π))
sin(arcsinx)=x (x?[-1,1]) cos(arccosx)=x (x?[-1,1]) tan(arctanx)=x (x?R) cot(arccotx)=x (x?R)
3(x与-x的反三角函数值关系 arcsin(-x)=-arcsinx(x?[-1,1]) arccos(-x)=π-arccosx (x?[-1,1]) arctan(-x)=-arctanx (x?R) arccot(-x)=π-arccotx(x?R)
4(
五、已知三角函数值求角
1. 若sinx=a (|a|?1)，则x=kπ+(-1)karcsina(k?Z)
2. 若cosx=a (|a|?1)，则x=2kπ?arccosa(k?Z)
R), 则x=kπ+arctana (k?Z) 3. 若tanx=a (a?
4. 若cotx=a (a?R), 则x=kπ+arccota(k?Z)
具体计算和表示时，应根据x的范围来确定x的个数.
[典型例题分析]
例1(比较大小:
(1)
(2)
分析
:不在余切函数的同一单调区间?
.
(1)
(2)(3)y=|tanx|
分析:(1)若设，则原函数可看作是由
y=tanu, 复合而成的复合函数，
由于
在R上单增，由复合函数的单调性确定法则，可解决之.类似地，可解决(2).
解:(1)?
上单增，(k?Z)
此时，(k?Z)
解之得
Z) (k?
?
在区间上单增(k?Z)
(2)? 原函数由
y=cotu,
又y=cotu
在复合而成，而(k?Z)上单减， 在R上单减，
此时，(k?Z)
解之得
Z) (k?
即
(k?Z)
?
在区间(k?Z) 上单增.
(3)分析:由y=tanx图象作翻折可得y=|tanx|的图象，由图象即可得其单调区间.
? y=|tanx|
的单增区间是(k?Z)
，单减区间是(k?Z). 例3(求函数
的值域.
分析:考虑到最简原则，将sec2x化为tan2x+1，这样去分母，作变形，就可以得到关于tanx的二次型方程，而tanx?R，可考虑用判别式法求值域.有
法一:?
， ? (y-1)tan2x+(1+y)tanx+(y-1)=0
当y?1
时，， ?
，
当y=1时，tanx=0?R
综上，所求值域为
法二:另分析，先对解析式变形“切割化弦” .
有........(1)
?
, ?
?
, ?
.
法三:也可由(1)式
得， 解不等式
， 亦可得
.
(设 例4
(0,1),若f(1)=g(1)，求f(x),g(x)和T.
，它们有相同最小正周期T，且a,b?
分析:先从f(x)与g(x)有共同最小正周期入手，找参数a,b关系.
解:?
， ? a=2b,
? f(1)=g(1), ?
即
, ?
?
或，
?
或
(0,1), ? 又b?
.
?
,T=12.
例5(若, cosx+tsinx=t, 求t取值范围.
分析:先将t表示出来
，，观察到此式右端与半角正切的有理公
式
很相像，能否转化,
?
又
.
(求值: ， 例6
?
， ?
，即
(1)
(2)
(3)
(4)arctan2+arctan3
解:(1)
设
，则， ?
?
原式
.
(2)设，
?
? 原
， ?
式，
(3)设，
?
，?
， ?
， ? 原式值不存在.
(4)设arctan2=a, arctan3=b，则，
?
.又， ? 0<a+b<π,
?
原式=. , ?
例7(求适合下列条件的x集合:
分析:先对原式变形，讨论.
.
解:?
.
当
，即时，角x不存在;
当
，即时，原式为sin2x=1
，所求集合为;
当
，即时，所求集合为
反思:对于含字母的三角函数值，必须就字母的不同取值分类讨论
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