![[教学研究]傅立叶展开与傅立叶变换](https://swf.iask.com/354E6Z3NwUd.jpg?ssig=9zq2dEpQDr&Expires=1721187400&KID=sina,ishare&range=0-200735)
[教学研究]傅立叶展开与傅立叶变换
傅立叶展开与傅立叶变换
1.傅立叶展开
2,对于周期为的周期函数，可展开为 ，，fx
,a0 ，，，，fx,，acosnx，bsinnx,nn2n1,
1sinxcos2xsin2x函数系，，，，，……在上满足正交性,,cosx,,,,2 ,,1111 sinmxcosnxdx,0 dx,1,,,,,,,,22
,,1122sinnx,0 cosnx,0 ,,,,,,,,
,,11m,n,sinmxsinnx,0m,n,cosmxcosnx,0 ,,,,,,,,,1n,0，，fxcosnxdx,a则 n,,,,
,1n,1，，fxsinnxdx,b n,,,,
T,2l对于任意周期为的周期函数，可展开为 ，，fx
,ann,,,,0 ，，fx,，acosx，bsinx,,,nn2ll,,n1,
,,2,2,1cossincosxsinxxx函数系，，，，，……在上满足正交性,,,l,lllll2
,,1111sinmxcosnxdx,0 dx,1,,,,,,,,22
,,1122sinnx,1cosnx,1 ,,,,,,,,
,,11m,n,sinmxsinnx,0m,n,cosmxcosnx,0 ,,,,,,,,l1n,n,0，，fxcosxdx,a则 n,,lll
l1n,n,1，，fxsinxdx,b n,,lll
2.傅立叶变换
T,2l，，，，fx,,,,对于无周期的函数，其定义在上，可看作为的周期函数取
l,,的极限。
,ann,,,,0，， fx,，acosx，bsinx,,nn,2ll,,n1,
ll1n1n,, ，，，，fxcosxdx,afxsinxdx,bnn,,,,llllll
,ll11ntx,,，， ，，，，，，fxftdtftcosdt？,，,,,ll,,2llln1,
l1l,,当时， ，， ftdt,0,,l2l
,,n再取， ,,,,,nnll
,l1则 ，，fx，，，，,ftcos,t,xdt,n,l,ln1,,l1,, ，，，，,ftcos,t,xdt,,,,,nn,l,,,,n1,
,,1，，，，,d,ftcos,t,xdt ,,0,,,
定义傅氏积分:
,,1，，，，，，fx,d,ftcos,t,xdt ,,0,,,
傅立叶定理:若函数在任意有限区间上满足狄利克雷条件，且在区间，，fx
内绝对可积，则的傅氏积分在上处处收敛，且有，，，，，，,,,,fx,,,,
,,100fx，，，，，，fx,cos，，，，,, dftt,xdt,,,0,,2,
此式称为傅氏积分公式。 利用欧拉公式，此公式可写为复数形式:
,,1，0，,0，，，，fxfxi,，，tx,,，，,dftedt ,,,,,,22,
当在处连续时，则在处的傅氏积分就等于。，，，，，，xxfxfxfx
,,1i,，，tx,，，,d,ftedt，， fx,,,,,,2,
,,1i,ti,x,,,，，ftedted,, ,,,,,,,,,,2,,i,x，，，，F,,fxedx令 ,,,
,1i,x,，，，，fx,F,ed,则 ,,,2,
，，，，，，，，F,被称为fx的傅氏变换，fx被称为F,的傅氏逆变换。
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