美式期权二叉树定价及matlab程序
金融随机分析课程
美式期权的二叉树定价
1、对于连续随机游走:
dS,,Sdt，,SdZ
,t 可以用离散格随机游走模型来表示，即标的资产的价格只在离散时间点，,t,t,t,t2,3,…,N取值，表示很小但非无穷小的时间步长;如果标的资产在时
mm,t,t刻m的价格为，那么在时刻(m+1)其价格有两种可能的值:和SuS(u,1)
mmm，并且标的资产的价格从上升到的概率为p。 SuSdS(d,1)
2、风险中性假设在风险中性条件下，随机微分方程:
dS,,Sdt，,SdZ
其中的可以用r来表示。即 ,
dS,rSdt，,SdZ
m,t,tV风险中性条件下，在时刻m衍生证券的价格是其在时刻(m+1)的期望值
m,r,tm，1按照无风险利率r贴现所得到的，即。 V,E[eV]
3、期权的计算
期权的计算是从二叉树图的末端(时刻T)开始向后倒退进行的。T时刻期
N权的价值已知。对于一个看涨期权来说，有 Vn
NN V,max(S,K,0)nn
对于一个看跌期权来说，有
NN V,max(K,S,0)nn
其中，n=0,1,2,…,N, K为执行价格。
T,,t在风险中性条件下，时刻的每个结点上的期权值都可以用T时刻期权
,tT,2,t价值的期望值在时间内用利率r贴现求出;同理，时刻的每个结点的
T,,t,t期权值可以用时刻的期望值在时间内用利率r贴现求出，其它结点依次类推。
而如果对于美式期权，必须检查二叉树图的每个结点，以确定提前执行是否
,t比继续持有时间更为有利。最后，向后倒推通过所有结点就求出了当前时刻
V的期权价值。 0
下面对美式期权定价问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
进行研究:
美式看涨期权被提前执行时，其内涵价值为
mm n=0,1,2,…,m V,max(S,K,0)nn
对于看跌期权来说，有
mm n=0,1,2,…,m V,max(K,S,0)nn
,t,t在m时刻从节点(m,n)向(m+1)时刻的结点(m+1,n+1)移动的概率为p;
,t向(m+1)时刻的结点(m+1,n)移动的概率为1-p。
假设期权不提前执行，有:
m,r,tm，1m，1 V,e[pV，(1,p)V]nn，1n
若期权提前执行，必须与内涵价值相比较。那么，对于看涨期权，有
mm,r,tm，1m，1 V,max{max(S,K,0),e[pV，(1,p)V]}nnn，1n对于看跌期权，有
mm,r,tm，1m，1 V,max{max(K,S,0),e[pV，(1,p)V]}nnn，1n4、计算美式看涨期权的价格的Matlab实现(基于具体的算例) Matlab程序如下:
%输入具体参数
S0=100; %当前股价
K=105; %执行价格
r=0.05; %利率
T=1; %期权有效期
sigma=0.3; %波动率
q=0.02; %红利率
n=1000; %步数
dt=T/n; %时间步长
%计算二叉树各参数
u=exp(sigma*sqrt(dt)); %计算上升比率 d=1/u; %计算下降比率 p=(exp((r-q)*dt)-d)/(u-d); %计算上升的概率 %构造二叉树矩阵，i表示行数，j表示列数，Sx为股价矩阵，fx为期权的内在
价值
for j=1:n+1
for i=1:j
Sx(i,j)=S0*(u^(j-i))*(d^(i-1));
fx(i,j)=max(Sx(i,j)-K,0);
end;
end;
%计算美式期权价格矩阵Afx和欧式期权价格矩阵Efx
for i=1:n+1 %到期时(j=n+1)期权价格
Afx(i,n+1)=fx(i,n+1);
Efx(i,n+1)=fx(i,n+1);
end;
for jj=1:n %倒推前面各期(j=n-1,n-2,…,1)期权价格
j=n+1-jj;
for i=1:j
Efx(i,j)=exp(-r*dt)*(p*Efx(i,j+1)+(1-p)*Efx(i+1,j+1));
Afx(i,j)=max(exp(-r*dt)*(p*Afx(i,j+1)+(1-p)*Afx(i+1,j+1)),fx(i,j));
end;
end;
%输出结果
AmeOptionPrice=Afx(1,1)
ErouOptionPrice=Efx(1,1)
AmeOptionPrice = 10.89434691587509 ErouOptionPrice = 10.89432408424911
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