专题：极坐标方程与直角坐标方程的互化
极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
互化条件:极点与原点重合，极轴与x轴正半轴重合，长度单位相同.
222,,,x，y,,,xcos,,互化公式: 或 ,,yy,,sin,,xtan,(,0),,x,
θ的象限由点(x,y)所在的象限确定.
,,4cos,,,,4sin,例1.?O和?O的极坐标方程分别为，( 12
(I)把?O和?O的极坐标方程化为直角坐标方程; 12
(II)求经过?O，?O交点的直线的直角坐标方程( 12
练习:曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为 ,,
2222 (A) x+(y+2)=4 (B) x+(y-2)=4 2222 (C) (x-2)+y=4 (D) (x+2)+y=4
二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型
常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:
1、直线的极坐标方程(a>0)
(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:,=α;
(2)垂直于极轴和极点间的距离为的直线的极坐标方程:,cos,=; aa
(3)平行于极轴和极轴间的距离为的直线的极坐标方程:,sin,=; aa
(4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程: ,
,sin(α-θ)=. a
2、圆的极坐标方程(a>0)
(1)圆心在极点,半径为的圆的极坐标方程: ,=; aa
(2)圆心在(,0),半径为的圆的极坐标方程: ,=2cos,; aaa
(3)圆心在(,),半径为的圆的极坐标方程: ,=,2acos,; ,aa
,, (4)圆心在(,),半径为的圆的极坐标方程: ,=2sin; aaa2
,3 (5)圆心在(,),半径为的圆的极坐标方程: ,=,2asin,; aa2
,,, (6)圆心在(, ),半径为的圆的极坐标方程: ,=2cos(-). aaa003、极坐标系中的旋转不变性:
,,,,0 曲线f(,,,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转||角(时,按顺 ,,
,,0 时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.
,2,例2(极坐标方程4sin=5所表示的曲线是( ) 2
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线
,,,练习:极坐标方程=cos(-)所表示的曲线是( ) 4
1
(A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆
三、判断曲线位置关系
例3(直线=和直线sin(-)=1的位置关系( ) ,,,,,
(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合
四、根据条件求直线和圆的极坐标方程
例4(在极坐标系中,如果一个圆的方程是,=4cos,+6sin,，那么过圆心且与极轴
平行的直线方程是( )
(A) ,sin,=3 (B) ,sin, = –3 (C) ,cos, =2 (D) ,cos, = –2
练习:在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是 ,,
(A) sin=2 (B)cos=2 (C)cos= 4 (D) cos=- 4(
答案
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:B) ,,,,,,,,
五、求曲线中点的极坐标
,,cos,，,sin,,0例5(在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线2
段AB最短时，点B的极坐标是_________.
22练习:极坐标方程5cos2,+-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为_________. ,,
六、求距离
,例6(在极坐标系中，直线,的方程为ρsinθ=3，则点(2,)到直线,的距离为6__________.
练习:极坐标方程分别是,=cos,和,=sin,的两个圆的圆心距是
2(A) 2 (B) (C) 1 (D) 22
七、判定曲线的对称性
,例7(在极坐标系中,曲线= 4sin(,-)关于 ,3
,,5,, (A) 直线=轴对称 (B)直线=轴对称 36
, (C) 点(2, )中心对称 (D)极点中心对称 3
八、求三角形面积
5,,例8(在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,,)，则?OAB的面积36
是 .
2
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