山东省大学生数学竞赛（专科）试卷及标准
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
（非数学类，2010）
考试形式： 闭卷 考试时间： 120 分钟 满分： 100 分.
题 号
一
二
三
四
五
六
七
八
总分
满 分
20
5
10
15
10
10
15
15
100
得 分
注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效. 2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.
一、填空（每小题5分，共20分）.
(1)计算
= .
(2)设
在
连续，且
存在，则
= .
(3)若
，则
.
(4)已知
的一个原函数为
，则
= .
（1）
. (2) 3 . (3)
. (4)
.
二、（5分）计算
，其中
.
解：
=
+
-------- 2分
=
+
-------------4分
=
-------------5分.
三、（10分）设
，其中
具有二阶
导数，求
.
解：
---------------3分
-----7分
=
---------10分.
四、（15分）已知
，求
的值.
解：
---------3分
令
，所以
---------6分
=
------------7分
=
，-----------9分
由
，故
=
，-----------12分
即
=0-----------13分
亦即
-------------14分
所以
-------------15分.
五、（10分）求微分方程
满足条件
的特解.
解：原方程可化为
-----------2分
这是一阶线性非齐次方程，代入公式得
----------4分
=
----------5分
=
-----------6分
=
.---------------7分
所以原方程的通解是
.----------8分
再由条件
，有
，即
，-----------9分
因此，所求的特解是
.----------10分.
六（10分）、若函数
在
内具有二阶导
数，且
，其中
，证明：在
内至少有一点
，使
。
证：由于
在
内具有二阶导数，所以
在
上连续，
在
内可导，再根据题意
，
由罗尔定理知至少存在一点
，使
=0；--------3分
同理，在
上对函数
使用罗尔定理得至少存在一点
，使
=0；---------6分
对于函数
，由已知条件知
在[
，
]上连续，在（
，
）内可导，且
=
=0，由罗尔定理知至少存在一点
（
，
），使
，而
，
）
，故结论得证----------10分.
七、（15分）已知曲线
和直线
，
围成平面图形
.
（1）求平面图形
的面积
；
（2）求
绕
轴旋转所成立体的体积.
解：（1）
-----------2分
-----------4分
-----------5分
（2）因为
，-----------6分
所以
-----------9分
=
------------11分
=
-----------13分
=
.--------------15分.
八、（15分）设
有连续的一阶偏导数，又函数
及
分别由下列两式确定：
和
，求
.
解：
， （1）---------4分
由
两边对
求导，得
=0，--------------7分
即
---------------9分
又由
两边对
求导，得
，-----------11分
即
-----------13分
将其代入（1）式，得
.-----------15分.
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