(精)2012年全国中考数学选择填空解答压轴
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
分类解析汇编_专题2_几何问题
2012年全国中考数学选择填空解答压轴题分类解析汇编
专题2:几何问题
一、选择题
1. (2012上海市4分)如果两圆的半径长分别为6和2,圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是【 】
A( 外离 B( 相切 C( 相交 D( 内含 2. (2012安徽省4分)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角梯形,其中三边长分别为2、4、3,则原直角三角形纸片的斜边长是【 】
4545217A.10 B. C. 10或 D.10或
(2012广东省3分)已知三角形两边的长分别是4和10,则此三角形第三边的长可能是【 】 3.
A( 5 B( 6 C( 11 D( 16 4. (2012广东珠海3分)如果一个扇形的半径是1,弧长是,那么此扇形的圆心角的大小为【 】 A. 30? B. 45? C (60? D(90?
5. (2012浙江宁波3分)勾股定理是几何中的一个重要定理(在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载(如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理(图2是由图1放入矩形内得到的,?BAC=90?,AB=3,AC=4,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为【 】
A(90 B(100 C(110 D(121
2 6. (2012江苏宿迁3分)在平面直角坐标系中,若将抛物线y=2x- 4x+3先向右平移3个单位长度,再 向上平移2个单位长度,则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是【 】
1 用心 爱心 专心
A.(,2,3) B.(,1,4) C.(1,4) D.(4,3)
7. (2012福建南平4分)如图,正方形纸片ABCD的边长为3,点E、F分别在边BC、CD上,将AB、AD分别和AE、AF折叠,点B、D恰好都将在点G处,已知BE=1,则EF的长为【 】
359A( B( C( D(3 224
8. (2012湖北咸宁3分)中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目:墙来了~选手需按墙上的空洞造型 摆出相同姿势,才能穿墙而过,否则会被墙推入水池(类似地,有一个几何体恰好无缝隙地以三个不同形 状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞,则该几何体为【 】(
A( B( C( D(
9. (2012福建泉州3分)如图,点O是?ABC的内心,过点O作EF?AB,与AC、BC分别交于点E、F,则【 】
A .EF>AE+BF B. EF
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
示()
2. (2012广东汕头4分)如图,在?ABCD中,AD=2,AB=4,?A=30?,以点A为圆心,AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴影部分的面积是 ? (结果保留π)(
o3. (2012广东深圳3分)如图,Rt?ABC中,C= 90,以斜边AB为边向外作正方形 ABDE,且正方形对角线交于点D,连接OC,已知AC=5,OC=6,则另一直角边BC的长为 ? ( 2
4. (2012广东珠海4分)如图,AB是?O的直径,弦CD?AB,垂足为E,如果AB=26,CD=24,那么sin?OCE= ? (
4 用心 爱心 专心
5. (2012浙江宁波3分)如图,?ABC中,?BAC=60?,?ABC=45?,AB=22,D是线段BC上的一个动点,以AD为直径画?O分别交AB,AC于E,F,连接EF,则线段EF长度的最小值为 ? (
6. (2012江苏泰州3分)如图,在边长相同的小正方形组成的网格中,点A、B、C、D都在这 些小正方形的顶点上,AB、CD相交于点P,则tan?APD的值是 ? (
7. (2012福建福州4分)如图,已知?ABC,AB,AC,1,?A,36?,?ABC的平分线BD交AC于
,则AD的长是 ? ,cosA的值是 ? ((结果保留根号) 点D
8. (2012湖北宜昌3分)已知?O的半径为5,圆心O到直线l的距离为3,则反映直线l与?O的位置关系的图形是【 】
A( B( C( D( 9. (2012湖北襄阳3分)在等腰?ABC中,?A=30?,AB=8,则AB边上的高CD的长是 ? ( 10. (2012湖南长沙3分)如图,等腰梯形ABCD中,AD?BC,AB=AD=2,?B=60?,则BC的长为
? (
11. (2012四川凉山5分)如图,在四边形ABCD中,AC=BD=6,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的
5 用心 爱心 专心
22中点,则EG+FH= ? 。
12. (2012贵州铜仁4分)以边长为2的正方形的中心O为端点,引两条相互垂直的射线,分别与正方形的边交于A、B两点,则线段AB的最小值是 ? (
13. (2012山东滨州4分)如图,锐角三角形ABC的边AB,AC上的高线CE和BF相交于点D,请写出图中的两对相似三角形: ? (用相似符号连接)(
14. (2012山东济宁3分)如图,在等边三角形ABC中,D是BC边上的一点,延长AD至E,使AE=AC,
,则tan?AEO= ? ( ?BAE的平分线交?ABC的高BF于点O
15. (2012山东日照4分)如图,过A、C 、D三点的圆的圆心为E,过B、F、E三点的圆的圆心为D,如果?A=63?,那么?θ= ? (
16. (2012山东枣庄4分)如图所示,DE为?ABC的中位线,点F在DE上,且?AFB,90?,若AB,5,BC,8,则EF的长为 ? _(
6 用心 爱心 专心
17. (2012广西来宾3分)如图,为测量旗杆AB的高度,在与B距离为8米的C处测得旗杆顶端A的仰角为56?,那么旗杆的高度约是 ? 米(结果保留整数)((参考数据:sin56??0.829,cos56??0.559,tan56??1.483)
18. (2012河北省3分)用4个全等的正八边形进行拼接,使相等的两个正八边形有一条公共边,围成一圈后中间形成一个正方形,如图1,用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接,如图2,若围成一圈后中间形成一个正多边形,则n的值为 ? 。
25S=,19. (2012新疆区5分)如图所示,分别以直角三角形的三边为直径作半圆,其中两个半圆的面积,18S=2π,则S是 ? ( 23
20. (2012黑龙江哈尔滨3分)如图。四边形ABCD是矩形,点E在线段CB的延长线上,连接DE交AB于点F,?AED=2?CED,点G是DF的中点,若BE=1,AG=4,则AB的长为 ?
7 用心 爱心 专心
21. (2012黑龙江大庆3分)用八个同样大小的小立方体粘成一个大立方体如图1,得到的几何体的三视图如图2所示,若小明从八个小立方体中取走若干个,剩余小立方体保持原位置不动,并使得到的新几何体的三视图仍是图2,则他取走的小立方体最多可以是 ? 个(
三、解答题
1. (2012山东淄博9分)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x(
(1)当点G与点D重合时,求x的值;
)当点F为AD中点时,求x的值及?ECF的正弦值( (2
2. (2012山西省12分)问题情境:将一副直角三角板(Rt?ABC和Rt?DEF)按图1所示的方式摆放,其中?ACB=90?,CA=CB,?FDE=90?,O是AB的中点,点D与点O重合,DF?AC于点M,DE?BC于点N,试判断线段OM与ON的数量关系,并说明理由(
探究展示:小宇同学展示出如下正确的解法:
解:OM=ON,证明如下:
连接CO,则CO是AB边上中线,
?CA=CB,?CO是?ACB的角平分线((依据1)
?OM?AC,ON?BC,?OM=ON((依据2)
反思
小班合家欢主题反思小班合家欢主题审议反思小班合家欢反思恩怨历尽后的反思下载恩怨历尽后的反思下载
交流:
8 用心 爱心 专心
(1)上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指:
依据1: 依据2:
(2)你有与小宇不同的思考
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
吗,请写出你的证明过程(
拓展延伸:
(3)将图1中的Rt?DEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置,使点D落在BA的延长线上,FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M,BC的延长线与DE垂直相交于点N,连接OM、ON,试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系,并写出证明过程(
3. (2012福建厦门10分)已知ABCD,对角线AC与BD相交于点O,点P在边AD上,过点P分
PF?BD,垂足分别为E、F,PE,PF( 别作PE?AC、
(1)如图,若PE,3,EO,1,求?EPF的度数;
(2)若点P是AD的中点,点F是DO的中点,BF ,BC,32,4,求BC的长(
14. (2012甘肃白银10分)如图,点A,B,C,D在?O上,AB=AC,AD与BC相交于点E,,AED,E2
1延长DB到点F,使,连接AF( FBD,B2
(1)证明:?BDE??FDA;
(2)试判断直线AF与?O的位置关系,并给出证明(
9 用心 爱心 专心
5. (2012广东广州14分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=5,BC=10,F为AD的中点,CE?AB于E,
设?ABC=α(60??α,90?)(
(1)当α=60?时,求CE的长;
(2)当60?,α,90?时,
是否存在正整数k,使得?EFD=k?AEF,若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由( ?
22?连接CF,当CE,CF取最大值时,求tan?DCF的值(
CECE3【答案】解:(1)?α=60?,BC=10,?sinα=,即sin60?=,解得CE=。 53,BC102
(2)?存在k=3,使得?EFD=k?AEF。理由如下:
连接CF并延长交BA的延长线于点G,
?F为AD的中点,?AF=FD。
在平行四边形ABCD中,AB?CD,??G=?DCF。
在?AFG和?CFD中,
??G=?DCF,?G=?DCF,AF=FD,
??AFG??CFD(AAS)。?CF=GF,AG=CD。
?CE?AB,?EF=GF。??AEF=?G。
11?AB=5,BC=10,点F是AD的中点,?AG=5,AF=AD=BC=5。?AG=AF。 22
??AFG=?G。
在?AFG中,?EFC=?AEF+?G=2?AEF,
又??CFD=?AFG,??CFD=?AEF。
??EFD=?EFC+?CFD=2?AEF+?AEF=3?AEF,
因此,存在正整数k=3,使得?EFD=3?AEF。
?设BE=x,?AG=CD=AB=5,?EG=AE+AG=5,x+5=10,x,
2222在Rt?BCE中,CE=BC,BE=100,x。
22222在Rt?CEG中,CG=EG+CE=(10,x)+100,x=200,20x。
10 用心 爱心 专心
111222?CF=GF(?中已证),?CF=(CG)=CG=(200,20x)=50,5x。 244
25522222?CE,CF=100,x,50+5x=,x+5x+50=,(x,)+50+。 42
522?当x=,即点E是AB的中点时,CE,CF取最大值。 2
255155152此时,EG=10,x=10,,CE=, =100x=100=,,2242
515
CG152?。 tanDCFtanG,,,,,,15EG3
2
【考点】锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,平行四边形的性质,对顶角的性质,全等三角形的判定和性质,直角三角形斜边上的中线性质,等腰三角形的性质,二次函数的最值,勾股定理。 【
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
】(1)利用60?角的正弦值列式计算即可得解。
(2)?连接CF并延长交BA的延长线于点G,利用“角边角”证明?AFG和?CFD全等,根据全等三角形对应边相等可得CF=GF,AG=CD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF,再根
、BC的长度可得AG=AF,然后利用等边对等角的性质可得?AEF=?G=?AFG,根据三角形的一个外角据AB
等于与它不相邻的两个内角的和可得?EFC=2?G,然后推出?EFD=3?AEF,从而得解。
2?设BE=x,在Rt?BCE中,利用勾股定理表示出CE,表示出EG的长度,在Rt?CEG中,利用勾股定理表
22示出CG,从而得到CF,然后相减并整理,再根据二次函数的最值问题解答。
6. (2012广东肇庆10分)如图,在?ABC中,AB=AC,以AB为直径的?O交AC于点E,交BC于点D,连结BE、AD交于点P. 求证:
(1)D是BC的中点;
(2)?BEC ??ADC;
(3)AB, CE=2DP,AD(
【答案】证明:(1)?AB是?O的直径,??ADB=90?,即AD?BC。
?AB=AC,?D是BC的中点。
11 用心 爱心 专心
(2)?AB是?O的直径,??AEB=?ADB=90?,即?CEB=?CDA=90?,
??C是公共角,??BEC??ADC。
(3)??BEC??ADC,??CBE=?CAD。
?AB=AC,AD=CD,??BAD=?CAD。??BAD=?CBE。
??ADB=?BEC=90?,??ABD??BCE。
ABADABBC?。?。 ,,BCBEADBE
AB2BDABBD?BC=2BD,?,即。 ,,ADBE2ADBE
DPBD??BDP=?BEC=90?,?PBD=?CBE,??BPD??BCE。?。 ,CEBE
ABDP?,即AB•CE=2DP•AD。 ,2ADCE
【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由AB是?O的直径,可得AD?BC,又由AB=AC,由三线合一,即可证得D是BC的中点。
(2)由AB是?O的直径,?AEB=?ADB=90?,又由?C是公共角,即可证得?BEC??ADC。
)易证得?ABD??BCE与?BPD??BCE,根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD,即可证(3
得AB•CE=2DP•AD。
7. (2012贵州毕节14分)如图,AB是?O的直径,AC为弦,D是的中点,过点D作EF?AC的延长BC线于E,交AB的延长线于E,交AB的延长线于F。
(1)求证:EF是?O的切线;
1sin(2)若?F=,AE=4,求?O的半径和AC的长。 3
【答案】(1)证明:连接OD,
BC?D是的中点,??BOD=?A。
?OD?AC。
12 用心 爱心 专心
?EF?AC,??E=90?。??ODF=90?。
?EF是?O的切线;
1(2)解:在?AEF中,??E=90?,sin?F= ,AE=4, 3
AE?。 AF12,,sinF,
设?O的半径为R,则OD=OA=OB=R,AB=2R(
1在?ODF中,??ODF=90?,sin?F=,?OF=3OD=3R。 3
?OF+OA=AF,?3R+R=12,?R=3。
连接BC,则?ACB=90?。
??E=90?,?BC?EF。?AC:AE=AB:AF。
?AC:4=2R:4R,?AC=2。
??O的半径为3,AC的长为2。
【考点】弧、圆周角和圆心角的关系,圆周角定理,平行的判定和性质,切线的判定,锐角三角函数定义,平行线分线段成比例定理。
【分析】(1)连接OD,根据圆周角定理,可得?BOD=?A,则OD?AC,从而得出?ODF=90?,即EF是?O的切线。
11(2)先解直角?AEF,由sin?F= ,得出AF=3AE=12,再在Rt?ODF中,由sin?F=,得出OF=3OD,33设?O的半径为R,由AF=12列出关于R的方程,解方程即可求出?O的半径。连接BC,证明BC?EF,根据平行线分线段成比例定理得出AC:AE=AB:AF,即可求出AC的长。
8. (2012江苏泰州12分)如图,已知直线l与?O相离,OA?l于点A,OA=5,OA与?O相交于点 P,AB与?O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C(
(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;
25(2)若PC=,求?O的半径和线段PB的长;
(3)若在?O上存在点Q,使?QAC是以AC为底边的等腰三角形,求?O的半径r的取值范围(
13 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)AB=AC。理由如下:
连接OB。
?AB切?O于B,OA?AC,??OBA=?OAC=90?。 ??OBP+?ABP=90?,?ACP+?CPB=90?。 ?OP=OB,??OBP=?OPB。
??OPB=?APC,??ACP=?ABC。
?AB=AC。
)延长AP交?O于D,连接BD, (2
设圆半径为r,则由OA=5得,OP=OB=r,PA=5,r。
25又?PC=,
2222222222ABOAOB5rACPCPA2 5 5r,,,,,,,,,,()? 。 ,,
22225r2 5 5r,,,,()由(1)AB=AC得,解得:r=3。 ,,
?AB=AC=4。
?PD是直径,??PBD=90?=?PAC。
CPAP25265,??DPB=?CPA,??DPB??CPA。?,即,解得。 PB=,PDBP56BP
(3)作线段AC的垂直平分线MN,作OE?MN,
11122则OE=AC=AB=。 5r,222
122又?圆O要与直线MN交点,?OE=?r, 5r,2
5?r?。
又?圆O与直线l相离,?r,5。
14 用心 爱心 专心
??O的半径r的取值范围为?r,5( 5
【考点】切线的性质,三角形内角和定理,等腰三角形的判定和性质,勾股定理,直线与圆的位置关系,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接OB,根据切线的性质和垂直得出?OBA=?OAC=90?,推出?OBP+?ABP=90?, ?ACP+?CPB=90?,求出?ACP=?ABC,根据等腰三角形的判定推出即可。
(2)延长AP交?O于D,连接BD,设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5,r,根据AB=AC推出
2CPAP222,求出r,证?DPB??CPA,得出, ,代入求出PB即可。 5r2 5 5r,,,,(),,PDBP
(3)根据已知得出Q在AC的垂直平分线上,作出线段AC的垂直平分线MN,作OE?MN,求出OE,r,求出r范围,再根据相离得出r,5,即可得出答案。
9. (2012山东淄博9分)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x(
(1)当点G与点D重合时,求x的值;
(2)当点F为AD中点时,求x的值及?ECF的正弦值(
【答案】解:(1)当点G与点D重合时,点F也与点D重合。
?矩形ABCD中,AC?BD,?四边形ABCD是正方形。
?BC=4,?x= AB= BC=4。
(2)?点F为AD中点,BC=4,?AF=2。
AEFEAF21 ?矩形ABCD中,AD?BC,??AEF??BEB。?。 ,,,,CEBDCB42
CE=2AEBD=2FE,AC=3AEBF=3FE, ?。?。
0 ?矩形ABCD中,?ABC=?BAF=90,
222222AC=AB+BCBF=AF+AB, ?在Rt?ABC和Rt?BAF中由勾股定理得,
2222223AE=x+43FE=2+x, 即。 ,,,,
15 用心 爱心 专心
222 两式相加,得。 9AE+FE=2x+20,,
2222 又?AC?BG,?在Rt?ABE中,。 AE+FE=AB=x
2229x=2x+20 ?,解得(已舍去负值)。 x=357
28,,,,2222 ?AE=+16=FE=4+=CE=4AE=4=,,,,, 。 ,,,,976397636363,,,,
48528576222 ?在Rt?CEF中由勾股定理得。 CF=FE+CE=+,636363
482CF12363 ?。?。 sinECF===,,,sinECF=,2576126EF
48
【考点】矩形的性质,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义。 【分析】(1)由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。
AC=3AEBF=3FE, (2)由点F为AD中点和矩形的性质,得?AEF??BEB,从而得。在Rt?ABC、
,根据锐角三角函Rt?BAF和Rt?ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt?CEF中应用勾股定理求得CF数定义即可求得?ECF的正弦值。
210. (2012四川宜宾10分)如图,?O、?O相交于P、Q两点,其中?O的半径r=2,?O的半径r=(过121122点Q作CD?PQ,分别交?O和?O于点C(D,连接CP、DP,过点Q任作一直线AB交?O和?O于点A(B,1212连接AP、BP、AC(DB,且AC与DB的延长线交于点E(
PA(1)求证:; ,2PB
(2)若PQ=2,试求?E度数(
22【答案】(1)证明:??O的半径r=2,?O的半径r=,?PC=4,PD=2。 1122
?CD?PQ,??PQC=?PQD=90?。
?PC(PD分别是?O、?O的直径,在?O中,?PAB=?PCD,在?O中,?PBA=?PDC, 1212
16 用心 爱心 专心
PAPC4PAPB??PAB??PCD。?。 ,,,2,,即PBPDPCPD22
PQ1(2)解:在Rt?PCQ中,?PC=2r=4,PQ=2,?cos?CPQ=。??CPQ=60?。 ,1PC2
PQ22?在Rt?PDQ中,PD=2r=2,PQ=2,?sin?PDQ=。??PDQ=45?。 2,PD2
??CAQ=?CPQ=60?,?PBQ=?PDQ=45?。
又?PD是?O的直径,??PBD=90?。??ABE=90?,?PBQ=45?。 2
在?EAB中,??E=180?,?CAQ,?ABE=75?。
答:?E的度数是75?。
【考点】相交两圆的性质,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,圆周角定理,三角形内角和定理。
PAPC4PAPB【分析】(1)求出PC、PD,证?PAB??PCD,得出 ,,,2,,从而。PBPDPCPD22
PQ1,(2)由cos?CPQ=,求出?CPQ=60?,同理求出?PDQ=45?。由圆周角定理,得出 PC2
?CAQ=?CPQ=60?,?PBQ=?PDQ=45?,求出?PBD=90?,求出?ABE=45?根据三角形的内角和定理求出
即可。
11. (2012四川广安9分)如图,在?ABC中,?ABC=?ACB,以AC为直径的?O分别交AB、BC于点M、N,点P在AB的延长线上,且?CAB=2?BCP(
(1)求证:直线CP是?O的切线(
552)若BC=2(,sin?BCP=,求点B到AC的距离( 5
(3)在第(2)的条件下,求?ACP的周长(
【答案】解:(1)??ABC=?ACB且?CAB=2?BCP,在?ABC中,?ABC+?BAC+?BCA=180?,
?2?BCP+2?BCA=180?。
??BCP+?BCA=90?,即?PCA=90?。
又?AC是?O的直径,?直线CP是?O的切线。
17 用心 爱心 专心
(2)如图,作BD?AC于点D,
?PC?AC,?BD?PC。??PCB=?DBC。
5?C=2,sin?BCP= 55
DCDC5?,解得:DC=2。 sinBCPsinDBC,,,,,,BC525
?由勾股定理得:BD=4。?点B到AC的距离为4。
(3)如图,连接AN,
CNCN5AC=== =5在Rt?ACN中,, sin DBC sin BCP,,5
5
又CD=2,?AD=AC,CD=5,2=3。
?BD?CP,??ABD??ACP。
BDAD4320,?,即。?。 ,PC,PCACPC53
22025,,222在Rt?ACP中,。 APAC+PC5+,,,,,33,,
2025??ACP的周长为。 ACCPAP5++20,,,,33
【考点】切线的判定和性质,三角形内角和定理,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性
质,锐角三角函数定义。
【分析】(1))根据?ABC=?AC且?CAB=2?BCP,在?ABC中?ABC+?BAC+?BCA=180?,得到
2?BCP+2?BCA=180?,从而得到?BCP+?BCA=90?,证得直线CP是?O的切线。
DCDC5sinBCPsinDBC,,,,,,(2)作BD?AC于点D,得到BD?PC,从而利用求得DC=2,BC525再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。
(3)先求出AC的长度,然后由BD?PC求得?ABD??ACP,利用比例线段关系求得CP的长度,再由勾股定理求出AP的长度,从而求得?ACP的周长。
12. (2012四川达州7分)如图,C是以AB为直径的?O上一点,过O作OE?AC于点E,过点A作 ?O的切线交OE的延长线于点F,连结CF并延长交BA的延长线于点P.
(1)求证:PC是?O的切线.
22(2)若AF=1,OA=,求PC的长.
18 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)证明:连结OC,
?OE?AC,?AE=CE。?FA=FC。
??FAC=?FCA。
?OA=OC,??OAC=?OCA。
??OAC+?FAC=?OCA+?FCA,即?FAO=?FCO。
?FA与?O相切,且AB是?O的直径,?FA?AB。??FCO=?FAO=90?。
又?OC是?O的半径,?PC是?O的切线。
(2)?PC是?O的切线,??PCO=90?。
PAAF而?FPA=?OPC,?PAF=90?,??PAF??PCO 。?。 ,PCCO
2222?CO=OA=,AF=1,?PC=PA 。
22x设PA=x,则PC=
42222在Rt?PCO中,由勾股定理得, ,解得:。 (22x)(22)(x22),,,x,7
16,?PC。 7
【考点】切线的判定和性质,垂径定理,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】(1)连接OC,根据垂径定理,利用等角代换可证明?FAC=?FCA,然后根据切线的性质得出?FAO=90?,然后即可证明结论。
(2)先证明?PAF??PCO,利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系,在Rt?PCO中,利用勾股定理可得出x的值,从而也可得出PC得长。
13. (2012四川德阳14分) 如图,已知点C是以AB为直径的?O上一点,CH?AB于点H,过点B作?O 的切线交直线AC于点D,点E为CH的中点,连结并延交BD于点F,直线CF交AB的延长线于G.
?求证:AE?FD=AF?EC;
?求证:FC=FB;
?若FB=FE=2,求?O 的半径r的长.
19 用心 爱心 专心
【答案】(1)证明:?BD是?O的切线,??DBA=90?。
?CH?AB,?CH?BD。??AEC??AFD。
AEEC?。?AE•FD=AF•EC。 ,AFFD
CEAEEH,,(2)证明:?CH?BD,??AEC??AFD,?AHE??ABF。?。 DFAFBF?CE=EH(E为CH中点),?BF=DF。
?AB为?O的直径,??ACB=?DCB=90?。?CF=DF=BF,即CF=BF。
(3)解:?BF=CF=DF(已证),EF=BF=2,?EF=FC。??FCE=?FEC。 ??AHE=?CHG=90?,??FAH+?AEH=90?,?G+?GCH=90?。 ??AEH=?CEF,??G=?FAG。?AF=FG。
?FB?AG,?AB=BG。
连接OC,BC,
?BF切?O于B,??FBC=?CAB。
?OC=OA,CF=BF,
??FCB=?FBC,?OCA=?OAC
??FCB=?CAB。
??ACB=90?,??ACO+?BCO=90?。??FCB+?BCO=90?,即OC?CG。 ?CG是?O切线。
22?GBA是?O割线,FB=FE=2,由切割线定理得:(2+FG)=BG×AG=2BG, 【注,没学切割线定理的可由?AGC??CGB求得】
2222在Rt?BFG中,由勾股定理得:BG=FG,BF,?FG,4FG,12=0。 解得:FG=6,FG=,2(舍去)。
2262=42,由勾股定理得:AB=BG=。
22??O的半径r是。
20 用心 爱心 专心
【考点】切线的判定和性质,等腰三角形判定和的性质,直角三角形斜边上的中线性质,勾股定理,圆周角定理,切割线定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)由BD是?O的切线得出?DBA=90?,推出CH?BD,证?AEC??AFD,得出比例式即可。
(2)证?AEC??AFD,?AHE??ABF,推出BF=DF,根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可。
(3)求出EF=FC,求出?G=?FAG,推出AF=FG,求出AB=BG,连接OC,BC,求出?FCB=?CAB推
22出CG是?O切线,由切割线定理(或?AGC??CGB)得出(2+FG)=BG×AG=2BG,在Rt?BFG中,由勾股
2222定理得出BG=FG,BF,推出FG,4FG,12=0,求出FG即可,从而由勾股定理求得AB=BG 的长,从而得到?O的半径r。
14. (2012四川资阳9分)如图,在?ABC中,AB,AC,?A,30?,以AB为直径的?O交B,于点D,交AC于点,连结DE,过点B作BP平行于DE,交?O于点P,连结EP、CP、OP( E
(1)(3分)BD,DC吗,说明理由;
(2)(3分)求?BOP的度数;
(3)(3分)求证:CP是?O的切线;
如果你解答这个问题有困难,可以参考如下信息:
为了解答这个问题,小明和小强做了认真的探究,然后分别用不同的思路完成了这个题目(在进行小组交流的时候,小明说:“设OP交AC于点G,证?AOG??CPG”;小强说:“过点C作CH?AB于点H,证四边形CHOP是矩形”(
【答案】解:(1)BD=DC。理由如下:连接AD,
?AB是直径,??ADB=90?。
?AB=AC,?BD=DC。
(2)?AD是等腰?ABC底边上的中线,
BDDE, ??BAD=?CAD 。?。
?BD=DE。
?BD=DE=DC。??DEC=?DCE。
21 用心 爱心 专心
??ABC中,AB=AC,?A=30?,
1??DCE=?ABC= (180?,30?)=75?。??DEC=75?。 2
??EDC=180?,75?,75?=30?。
?BP?DE,??PBC=?EDC=30?。
??ABP=?ABC,?PBC=75?,30?=45?。
?OB=OP,??OBP=?OPB=45?。??BOP=90?。
(3)设OP交AC于点G,则?AOG=?BOP =90?。
OG1在Rt?AOG中,??OAG=30?,?。 ,AG2
OPOGOGGPOPOP1,,又?,?。?。 ,,ACAGAGGCACAB2
又??AGO=?CGP,[w??AOG??CPG。
O??GPC=?AOG=90?。?CP是?的切线。
【考点】圆周角定理,等腰三角形的性质,三角形内角和定理,相似三角形的判定和性质,切线的判定。 【分析】(1)连接AD,由圆周角定理可知?ADB=90?,再由AB=AC可知?ABC是等腰三角形,故BD=DC。
BDDE,(2)由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线,所以?BAD=?CAD,故,从而可得出BD=DE,故BD=DE=DC,所以?DEC=?DCE,?ABC中由等腰三角形的性质可得出?ABC=75?,故?DEC=75?由三角
形内角和定理得出?EDC的度数,再根据BP?DE可知?PBC=?EDC=30?,进而得出?ABP的度数,再由OB=OP,可知?OBP=?OPB,由三角形内角和定理即可得出?BOP=90?。
OG1(3)设OP交AC于点G,由?BOP=90?可知?AOG=90?在Rt?AOG中,由?OAG=30?,可知,,AG2
OPOGOGGPOPOP1,,由得, ,由?AGO=?CGP可得出?AOG??CPG,由相似三角形形的性,,ACAGAGGCACAB2
质可知?GPC=?AOG=90?,故可得出CP是?O的切线。
15. (2012山东滨州12分)如图1,l,l,l,l是一组平行线,相邻2条平行线间的距离都是1个单1234
位长度,正方形ABCD的4个顶点A,B,C,D都在这些平行线上(过点A作AF?l于点F,交l于点H,32过点C作CE?l于点E,交l于点G( 23
(1)求证:?ADF??CBE;
(2)求正方形ABCD的面积;
(3)如图2,如果四条平行线不等距,相邻的两条平行线间的距离依次为h,h,h,试用h,h,h 123123表示正方形ABCD的面积S(
22 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)证明:在Rt?AFD和Rt?CEB中,
?AD=BC,AF=CE,?Rt?AFD?Rt?CEB(HL)。
(2)??ABH+?CBE=90?,?ABH+?BAH=90?,??CBE=?BAH。
又?AB=BC,?AHB=?CEB=90?,??ABH??BCE(AAS)。
同理可得,?ABH??BCE??CDG??DAF。
1?S=4S+S=4××2×1+1+1=5。 正方形ABCD?ABH正方形HEGF2
(3)由(1)知,?AFD??CEB,故h=h, 13
由(2)知,?ABH??BCE??CDG??DAF,
1222?S=4S+S=4×(h+h)•h+h=2h+2hh+h( 正方形ABCD?ABH正方形HEGF121211222
【考点】全等三角形的判定和性质,平行线之间的距离,正方形的性质。 【分析】(1)直接根据HL定理得出Rt?AFD?Rt?CEB。
(2)由AAS定理得出?ABH??BCE??CDG??DAF,再根据S=4S+S即可得出结正方形ABCD?ABH正方形HEGF
论。
(3)由?AFD??CEB可得出h=h,再根据(2)中?ABH??BCE??CDG??DAF,可知 13
S=4S+S,从而得出结论。 正方形ABCD?ABH正方形HEGF
16. (2012山东泰安10分)如图,E是矩形ABCD的边BC上一点,EF?AE,EF分别交AC,CD于点M,F,
BG?AC,垂足为C,BG交AE于点H(
(1)求证:?ABE??ECF;
(2)找出与?ABH相似的三角形,并证明;
(3)若E是BC中点,BC=2AB,AB=2,求EM的长(
23 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)证明:?四边形ABCD是矩形,??ABE=?ECF=90?(
?AE?EF,?AEB+?FEC=90?,??AEB+?BEA=90?。
??BAE=?CEF。??ABE??ECF。
(2)?ABH??ECM。证明如下:
?BG?AC,??ABG+?BAG=90?。??ABH=?ECM。
由(1)知,?BAH=?CEM,??ABH??ECM。
(3)作MR?BC,垂足为R,
?AB=BE=EC=2,
?AB:BC=MR:RC=2,?AEB=45?。
??MER=45?,CR=2MR。
MR2212,?MR=ER=。?EM=。 RC=sin453:23
【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形,锐角三角函数,特殊角的三角函数值。 【分析】(1)由四边形ABCD是矩形,可得?ABE=?ECF=90?,又由EF?AE,利用同角的余角相等,可得
?BAE=?CEF,然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似,即可证得:?ABE??ECF。
(2)由BG?AC,易证得?ABH=?ECM,又由(1)中?BAH=?CEM,即可证得 ?ABH??ECM。
MR(3)首先作MR?BC,垂足为R,由AB:BC=MR:RC=2,?AEB=45?,即可求得MR的长,又由EM= sin45:即可求得答案。
17. (2012山东聊城10分)如图,?O是?ABC的外接圆,AB=AC=10,BC=12,P是上的一个动点,过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D(
(1)当点P在什么位置时,DP是?O的切线,请说明理由;
(2)当DP为?O的切线时,求线段DP的长(
24 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)当点P是的中点时,DP是?O的切线。理由如下: BC
连接AP。
?AB=AC,? ABAC,。
又?,?。?PA是?O的直径。 PBPC,PBAPCA,
?,??1=?2。 PBPC,
又?AB=AC,?PA?BC。
又?DP?BC,?DP?PA。?DP是?O的切线。
(2)连接OB,设PA交BC于点E。(
由垂径定理,得BE=BC=6。
2222ABBE1068,,,,在Rt?ABE中,由勾股定理,得:AE=。
设?O的半径为r,则OE=8,r,
25222在Rt?OBE中,由勾股定理,得:r=6+(8,r),解得r=。 4
?DP?BC,??ABE=?D。
又??1=?1,??ABE??ADP,
68BEAE75?,即,,解得:。 ,DP,25DP8DPAP2,4
【考点】圆心角、弧、弦的关系,圆周角定理,切线的判定,勾股定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质。
BCPBAPCA,【分析】(1)根据当点P是的中点时,得出,得出PA是?O的直径,再利用DP?BC,得出DP?PA,问题得证。
(2)利用切线的性质,由勾股定理得出半径长,进而得出?ABE??ADP,即可得出DP的长。 18. (2012山东东营10分)
(1)如图1,在正方形ABCD中,E是AB上一点,F是AD延长线上一点,且DF,BE(求证:CE,CF;
25 用心 爱心 专心
(2)如图2,在正方形ABCD中,E是AB上一点,G是AD上一点,如果?GCE,45?,请你利用(1)的结
论证明:GE,BE,GD(
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,在直角梯形ABCD中,AD?BC(BC,AD),?B,90?,AB,BC,E是AB上一点,且?DCE,
,4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面积( 45?,BE
【答案】解:(1)证明:在正方形ABCD中,?BC,CD,?B,?CDF,BE,DF,
??CBE??CDF(SAS)。?CE,CF。
(2)证明: 如图,延长AD至F,使DF=BE(连接CF。
由(1)知?CBE??CDF,
??BCE,?DCF。
??BCE,?ECD,?DCF,?ECD,
即?ECF,?BCD,90?。
又?GCE,45?,??GCF,?GCE,45?。
?CE,CF,?GCE,?GCF,GC,GC,
??ECG??FCG(SAS)。?GE,GF,
?GE,DF,GD,BE,GD。
(3)如图,过C作CG?AD,交AD延长线于G(
在直角梯形ABCD中,?AD?BC,??A,?B,90?。
又?CGA,90?,AB,BC,
?四边形ABCD 为正方形。 ?AG,BC。
已知?DCE,45?,
根据(1)(2)可知,ED,BE,DG。
?10=4+DG,即DG=6。
设AB,x,则AE,x,4,AD,x,6,
26 用心 爱心 专心
222222在Rt?AED中,?DE=AD,AE,即10=(x,6),(x,4)。
解这个方程,得:x=12或x=,2(舍去)。
?AB=12。
11?。 ()()SADBCAB61212108,,,,,,,,梯形ABCD22
?梯形ABCD的面积为108。
【考点】正方形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,直角梯形。 【分析】(1)由四边形是ABCD正方形,易证得?CBE??CDF(SAS),即可得CE=CF。
(2)延长AD至F,使DF=BE,连接CF,由(1)知?CBE??CDF,易证得?ECF=?BCD=90?,又由
?GCE=45?,可得?GCF=?GCE=45?,即可证得?ECG??FCG,从而可得GE=BE+GD。
(3)过C作CG?AD,交AD延长线于G,易证得四边形ABCG为正方形,由(1)(2)可知,ED=BE+DG,即可求得DG的长,设AB=x,在Rt?AED中,由勾股定理DE2=AD2+AE2,可得方程,解方程即可求得AB的长,从而求得直角梯形ABCD的面积。
19. (2012广西来宾10分)如图,AB是?O的直径,点C是?O上一点,?BAC的平分线AD交?O于点D,过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E(
(1)求证:DE是?O的切线;
(2)如图AD=5,AE=4,求?O的直径(
【答案】(1)证明:如图,连接OD,
?AD为?CAB的平分线,??CAD=?BAD。
又OA=OD,??BAD=?ODA。??CAD=?ODA。
?AC?OD。??E+?EDO=180?。
又AE?ED,即?E=90?,??EDO=90?。
?OD为圆O的切线。
(2)解:如图,连接BD,
?AB为圆O的直径,??ADB=90?。
27 用心 爱心 专心
AE 4在Rt?AED中,AE=4,AD=5,?。 cosEAD,,,AD5
AD4又??EAD=?DAB,在Rt?ABD中,?。 cosDAB=,,AB5
255525?,即圆的直径为。 AB=AD=5=,4444
【考点】等腰三角形的性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。
【分析】(1)连接OD,由AD为角平分线,得到一对角相等,再由OA=OD,得到一对角相等,等量代换得到一对内错角相等,根据内错角相等两直线平行可得AC?OD,由两直线平行同旁内角互补,得到?E与?EDO互补,再由?E为直角,可得?EDO为直角,即DE为圆O的切线。
(2)连接BD,由AB为?O的直径,根据直径所对的圆周角为直角的性质,得到?ADB=90?。在Rt?AED
4,中,由AE和AD的长,根据锐角三角函数定义求出cos?EAD。又在Rt?ABD中,根据锐角三角函数定5
AD4义得到 ,即可求出直径AB的长。 cosDAB=,,AB5
20. (2012广西柳州10分)如图,AB是?O的直径,AC是弦(
1)请你按下面步骤画图(画图或作辅助线时先使用铅笔画出,确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑); (
第一步,过点A作?BAC的角平分线,交?O于点D;
第二步,过点D作AC的垂线,交AC的延长线于点E(
第三步,连接BD(
2(2)求证:AD=AE•AB;
EO(3)连接EO,交AD于点F,若5AC=3AB,求的值( FO
【答案】解:(1)如图:
(2)证明:?AB是?O的直径,??ADB=90?。
28 用心 爱心 专心
又?DE?AC,??AED=90?。
?AD平分?CAB,??CAD=?DAB。?Rt?ADE?Rt?ABD。
2?AD:AB=AE:AD,?AD=AE•AB。
(3)如图,连接OD、BC,它们交于点G,
:AB=3:5,?不妨设AC=3x,AB=5x, ?5AC=3AB,即AC
?AB是?O的直径,??ACB=90?。??ECG=90?。
又??CAD=?DAB,?。?OD垂直平分BC。 DC=DB
13?OD?AE,OG=AC=x。?四边形ECGD为矩形。 22
53?CE=DG=OD,OG=x,x =x。?AE=AC+CE=3x+x=4x。 22
5?AE?OD,??AEF??DOF。?AE:OD=EF:OF,?EF:OF=4x:x=8:5。 2
EO8513,?。 ,,FO55
【考点】圆的综合题,圆周角定理,相似三角形的判定和性质,垂径定理,矩形的判定和性质。 【分析】(1)根据基本作图作出?BAC的角平分线AD交?O于点D;点D作AC的垂线,垂足为点E。
(2)根据直径所对的圆周角为直角得到?ADB=90?,DE?AC,则?AED=90?,又由AD平分?CAB 得到?CAD=?DAB,根据相似三角形的判定得到Rt?ADE?Rt?ABD,根据相似的性质得到AD:AB=AE:AD,
2利用比例的性质即可得到AD=AE•AB。
(3)连接OD、BC,它们交于点G,由5AC=3AB,则不妨设AC=3x,AB=5x,根据直径所对
的圆周角为直角得到?ACB=90?,由?CAD=?DAB得到,根据垂径定理的推论得到OD垂直平分DC=DB
13BC,则有OD?AE,OG=AC=x,并且得到四边形ECGD为矩形,则可求出CE,从而计算出AE,利用AE?OD22
5EO可得到?AEF??DOF,则AE:OD=EF:OF,即EF:OF=4x:x=8:5,然后根据比例的性质即可得到 的2FO值。
21. (2012广西桂林10分)如图,等圆?O和?O相交于A、B两点,?O经过?O的圆心,顺次连接 1212A、O、B、O( 12
(1)求证:四边形AOBO是菱形; 12
(2)过直径AC的端点C作?O的切线CE交AB的延长线于E,连接CO交AE于D,求证:CE,2OD; 122
(3)在(2)的条件下,若?AOD的面积为1,求?BOD的面积( 22
29 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)证明:??O与?O是等圆,?AO=OB=BO=OA。 121122
?四边形AOBO是菱形。 12
(2)证明:?四边形AOBO是菱形,??OAB=?OAB。 1212
?CE是?O的切线,AC是?O的直径,??ACE=?AOC=90?。 112
DOAO122??ACE??AOD。,,?,即CE=2DO。 22ECAC2
(3)?四边形AOBO是菱形,?AC?BO。??ACD??BOD。 1222
BODB12?。?AD=2BD。 ,,ADAC2
1S1,?S,?。 ,S,AOD,ODB222
【考点】相交两圆的性质,菱形的判定和性质,圆周角定理,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)根据?O1与?O是等圆,可得AO=OB=BO=OA,利用四条边都相等的四边形是菱形可判定出21122结论。
DOAO122,,(2)根据已知得出?ACE??AO2D,从而得出,即可得出结论。 ECAC2
BODB12(3)首先证明?ACD??BOD,得出 ,AD=2BD,再利用等高不等底的三角形面积,,2ADAC2
关系得出答案即可。
22. (2012广西北海10分)如图,AB是O的直径,AE交O于点E,且与O的切线CD互相垂直,垂足
为D。
(1)求证:?EAC,?CAB;
(2)若CD,4,AD,8:
?求O的半径;
?求tan?BAE的值。
30 用心 爱心 专心
【答案】(1)证明:连接OC。
?CD是?O的切线,?CD?OC。
又?CD?AE,?OC?AE。??1,?3。
?OC,OA,??2,?3。
??1,?2,即?EAC,?CAB。
(2)解:?连接BC。
?AB是?O的直径,CD?AE于点D, ??ACB,?ADC,90?。
ADAC??ACD??ABC。?。 ??1,?2,,ACAB
22222?AC,AD,CD,4,8,80,
2AC80,?AB,,10。 AD8
??O的半径为10?2,5。
?连接CF与BF。
?四边形ABCF是?O的内接四边形, ??ABC,?AFC,180?。
??DFC,?AFC,180?,??DFC,?ABC。 ??2,?ABC,90?, ?DFC,?DCF,90?, ??2,?DCF。
??1,?2,??1,?DCF。
??CDF,?CDF,??DCF??DAC。
22CD4CDDF,,? 。?DF,,2。 AD8ADCD
?AF,AD,DF,8,2,6。
31 用心 爱心 专心
?AB是?O的直径,??BFA,90?。
BF842222ABAF,,,106?BF,,8。?tan?BAD,。 ,,63AF
【考点】切线的性质,平行的判定和性质,等腰三角形的性质,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】(1)连接OC,由CD是?O的切线,CD?OC,又由CD?AE,即可判定OC?AE,根据平行线的性质与等腰三角形的性质,即可证得?EAC=?CAB。
(2)?连接BC,易证得?ACD??ABC,根据相似三角形的对应边成比例,即可求得AB的长, 从而可得?O的半径长。
?连接CF与BF(由四边形ABCF是?O的内接四边形,易证得?DCF??DAC,然后根据 相似三角形的对应边成比例,求得AF的长,又由AB是?O的直径,即可得?BFA是直角,利用勾股定理求得BF的长,即可求得tan?BAE的值。
23. (2012内蒙古呼和浩特8分)如图,已知AB为?O的直径,PA与?O相切于点A,线段OP与弦AC垂直并相交于点D,OP与弧AC相交于点E,连接BC(
(1)求证:?PAC=?B,且PA•BC=AB•CD;
3(2)若PA=10,sinP=,求PE的长( 5
【答案】(1)证明:?PA是?O的切线,AB是直径,??PAO=90?,?C=90?。
??PAC+?BAC=90?,?B+?BAC=90?。??PAC=?B。
又?OP?AC,??ADP=?C=90?。??PAD??ABC,?AP:AB=AD:BC,
?在?O中,AD?OD,?AD=CD。?AP:AB=CD:BC。?PA•BC=AB•CD;
AD33,(2)解:?sinP=,且AP=10,?。?AD=6。?AC=2AD=12。 AP55
22PDAPAD8,,,在Rt?ADP中,根据勾股定理得:。
1012,15又??PAD??ABC,?AP:AB=PD:AC。?AB==15。?AO=。 82
2522在Rt?APO中,根据勾股定理得:。 OPAPOA,,,2
32 用心 爱心 专心
2515?PE=OP,OE= ,=5。 22
【考点】切线的性质,勾股定理,圆周角定理,垂径定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。 【分析】(1)由PA为圆O的切线,利用切线的性质得到AP垂直于AB,可得出?PAO为直角,得到?PAD与?DAO互余,再由AB为圆O的直径,根据直径所对的圆周角为直角,可得出?ACB为直角,得到?DAO与?B互余,根据同角的余角相等可得出?PAC=?B,再由一对直角相等,利用两对对应角相等的两三角形相似可得出?APD与?ABC相似,由相似得比例,再由OD垂直于AC,利用垂径定理得到AD=CD,等量代换可得证。
(2)在Rt?APD中,由PA及sinP的值求出AD的长,再利用勾股定理求出PD的长,从而确定出AC的长,由(1)两三角形相似得到的比例式,将各自的值代入求出AB的上,求出半径AO的长,在Rt?APO中,由AP及AO的长,利用勾股定理求出OP的长,用OP,OE即可求出PE的长。
24. (2012湖北恩施12分)如图,AB是?O的弦,D为OA半径的中点,过D作CD?OA交弦AB于点E,交?O于点F,且CE=CB(
(1)求证:BC是?O的切线;
2)连接AF,BF,求?ABF的度数; (
5(3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求?O的半径( 13
【答案】解:(1)证明:连接OB,
?OB=OA,CE=CB,
??A=?OBA,?CEB=?ABC。
又?CD?OA,
??A+?AED=?A+?CEB=90?。
??OBA+?ABC=90?。?OB?BC。
?BC是?O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,
33 用心 爱心 专心
?DA=DO,CD?OA,
??OAF是等边三角形。
??AOF=60?。
1??ABF=?AOF=30?。 2
(3)过点C作CG?BE于点G,由CE=CB,
1?EG=BE=5。 2
易证Rt?ADE?Rt?CGE,
5?sin?ECG=sin?A=, 13
EG5?。 CE==13,5sinECG,
13
2222CGCEEG13512,,,,,?。
又?CD=15,CE=13,?DE=2,
ADDEAD224,,AD,,即,解得。 由Rt?ADE?Rt?CGE得CGGE1255
48??O的半径为2AD=。 5
【考点】等腰(边)三角形的性质,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,圆周角定理,勾股定理,相似三角形的判定和性质,锐角三角函数定义。
【分析】(1)连接OB,有圆的半径相等和已知条件证明?OBC=90?即可证明BC是?O的切线。
(2)连接OF,AF,BF,首先证明?OAF是等边三角形,再利用圆周角定理:同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出?ABF的度数。
1(3)过点C作CG?BE于点G,由CE=CB,可求出EG=BE=5,由Rt?ADE?Rt?CGE和勾股定理求2
出DE=2,由Rt?ADE?Rt?CGE求出AD的长,从而求出?O的半径。
25. (2012黑龙江哈尔滨10分)已知:在?ABC中,?ACB=900,点P是线段AC上一点,过点A作AB的垂线,交BP的延长线于点M,MN?AC于点N,PQ?AB于点Q,A0=MN(
(1)如图l,求证:PC=AN;
(2) 如图2,点E是MN上一点,连接EP并延长交BC于点K,点D是AB上一点,连接DK,?DKE=?ABC,EF?PM于点H,交BC延长线于点F,若NP=2,PC=3,CK:CF=2:3,求DQ的长(
34 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)证明:?BA?AM,MN?AP,??BAM=ANM=90?。
??PAQ+?MAN=?MAN+?AMN=90?,??PAQ=?AMN。 ?PQ?AB MN?AC,??PQA=?ANM=90?。?AQ=MN。??AQP??MNA(ASA)。
?AN=PQ,AM=AP。??AMB=?APM。
??APM=?BPC?BPC+?PBC=90?,?AMB+?ABM=90?,??ABM=?PBC。
?PQ?AB,PC?BC,?PQ=PC(角平分线的性质)。?PC=AN。
(2)?NP=2 PC=3,?由(1)知PC=AN=3。?AP=NC=5,AC=8。
22?AM=AP=5。?。 AQMNAMAN4,,,,
??PAQ=?AMN,?ACB=?ANM=90?,??ABC=?MAN。
MN 4?。 tanABCtanMAN,,,,,AN3
AC?,?BC=6。 tanABC,,BC
?NE?KC,??PEN=?PKC。
NENP又??ENP=?KCP,??PNE??PCK。?。 ,CKPC
?CK:CF=2:3,设CK=2k,则CF=3k。
NE24,?,。 NEk,2k33
过N作NT?EF交CF于T,则四边形NTFE是平行四边形。
454k=k?NE=TF=,?CT=CF,TF=3k,。 k333
?EF?PM,??BFH+?HBF=90?=?BPC+?HBF。 ??BPC=?BFH。
?EF?NT,??NTC=?BFH=?BPC。
BC?。 tanNTCtanBPC2,,,,,PC
35 用心 爱心 专心
15NC?,。 CTNC=,tanNTC2,,,22CT
5533?CT= 。? 。?CK=2×=3,BK=BC,CK=3。 k=k=3222
??PKC+?DKC=?ABC+?BDK,?DKE=?ABC,??BDK=?PKC。
PC?。?tan?BDK=1。 tanPKC1,,,KC
过K作KG?BD于G。
4?tan?BDK=1,tan?ABC=,?设GK=4n,则BG=3n,GD=4n。 3
213?BK=5n=3,?n=。?BD=4n+3n=7n=。 55
22ABACBC10,,,?,AQ=4,?BQ=AB,AQ=6。
219=?DQ=BQ,BD=6,。 55
【考点】相似形综合题,全等三角形的判定和性质,角平分线的性质,勾股定理,相似三角形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,解直角三角形。
【分析】(1)确定一对全等三角形?AQP??MNA,得到AN=PQ;然后推出BP为角平分线,利用角平分线的性质得到PC=PQ;从而得到PC=AN。
(2)由已知条件,求出线段KC的长度,从而确定?PKC是等腰直角三角形;然后在?BDK中,解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。
26. (2012湖北十堰10分)如图1,?O是?ABC的外接圆,AB是直径,OD?AC,且?CBD=?BAC,OD交?O于点E(
(1)求证:BD是?O的切线;
(2)若点E为线段OD的中点,证明:以O、A、C、E为顶点的四边形是菱形;
FG(3)作CF?AB于点F,连接AD交CF于点G(如图2),求的值( FC
【答案】解:(1)证明:?AB是?O的直径,??BCA=90?。??ABC+?BAC=90?。
又??CBD=?BAC,??ABC+?CBD=90?。??ABD=90?。?OB?BD。
36 用心 爱心 专心
?BD为?O的切线。
(2)证明:如图,连接CE、OC,BE,
?OE=ED,?OBD=90?,?BE=OE=ED。
??OBE为等边三角形。??BOE=60?。
又?OD?AC,??OAC=60?。
又?OA=OC,?AC=OA=OE。?AC?OE且AC=OE。
?四边形OACE是平行四边形。
而OA=OE,?四边形OACE是菱形。
(3)?CF?AB,??AFC=?OBD=90?。
又?OD?AC,??CAF=?DOB。?Rt?AFC?Rt?OBD。
FCAFBDAF,?,即。 ,FC,BDOBOB
又?FG?BD,??AFG??ABD。
FGAFBDAF,?,即。 ,FG,BDABAB
FGOB1?。 ,,FCAB2
【考点】圆的综合题,圆周角定理,直角三角形两锐角的关系,切线的判定,直角三角形斜边上的中线性质,等边三角形的判定和性质,平行的判定和性质,菱形的判定,相似三角形的判定和性质。 【分析】(1)由AB是?O的直径,根据直径所对的圆周角为直角得到?BCA=90?,则?ABC+?BAC=90?, ?CBD=?BA,得到?ABC+?CBD=90?,即OB?BD,根据切线的判定定理即可得到BD为?O的切 而
线。
(2)连接CE、OC,BE,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到BE=OE=ED,则?OBE为等边三角形,于是?BOE=60?,又因为AC?OD,则?OAC=60?,AC=OA=OE,即有AC?OE且AC=OE,可得到四边形OACE是平行四边形,加上OA=OE,即可得到四边形OACE是菱形。
(3)由CF?AB得到?AFC=?OBD=90?,而OD?AC,则?CAF=?DOB,根据相似三角形的
FCAFBDAF,判定易得Rt?AFC?Rt?OBD,则有,即,再由FG?BD易证得?AFG??ABD,则,FC,BDOBOB
FGAFBDAF,,即,然后求FG与FC的比即可。 ,FG,BDABAB
27. (2012江苏镇江11分)等边?ABC的边长为2,P是BC边上的任一点(与B、C不重合),连接AP,以AP为边向两侧作等边?APD和等边?APE,分别与边AB、AC交于点M、N(如图1)。 (1)求证:AM=AN;
37 用心 爱心 专心
(2)设BP=x。
3?若,BM=,求x的值; 8
?记四边形ADPE与?ABC重叠部分的面积为S,求S与x之间的函数关系式以及S的最小值;
0?连接DE,分别与边AB、AC交于点G、H(如图2),当x取何值时,?BAD=15,并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形,请说明理由。
【答案】解:(1)证明:??ABC、?APD和?APE都是等边三角形,
00 ?AD=AP,?DAP=?BAC=60,?ADM=?APN=60。??DAM=?PAN。
??ADM??APN(ASA),?AM=AN。
BMBP(2)?易证?BPM??CAP,?, ,CPCA
3
3x284x8x+3=0, ?BN=,AC=2,CP=2,x,?,即。 ,82x2,
13 解得x=或x=。 22
?四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与?ABC重叠部分的面积。
SS, ??ADM??APN,?。 ,,ADMAPN
SSS SSS,,,,,?。 ,,,,,APMANPAPMADMADP四形边AMPN
如图,过点P作PS?AB于点S,过点D作DT?AP于点T,则点T是AP的中点。
0在Rt?BPS中,??P=60,BP=x,
1300?PS=BPsin60=x,BS=BPcos60=x。 22
1?AB=2,?AS=AB,BC=2,x。 2
22,,13,,2222APASPS2x+x=x2x+4,,,,,?。 ,,,,,,22,,,,
11332?。 ,,,,,,SAPDTAPAP=AP,ADP2224
38 用心 爱心 专心
33333222?。 SSSAPx2x+4x1+0x2,,,,,,,<<,,,,,,ADP,AMPN四形边4444
33?当x=1时,S的最小值为。 4
?连接PG,设DE交AP于点O。
0若?BAD=15,
00??DAP =60,??PAG =45。
??APD和?APE都是等边三角形,
?AD=DP=AP=PE=EA。
?四边形ADPE是菱形。
?DO垂直平分AP。
0?GP=AG。??APG =?PAG =45。
0??PGA =90。
设BG=t,
0在Rt?BPG中,?B=60,?BP=2t,3t3tPG=。?AG=PG=。
3t+t=233?,解得t=,1。?BP=2t=2,2。
03?当BP=2,2时,?BAD=15。
猜想:以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。
0。 ?四边形ADPE是菱形,?AO?DE,?ADO=?AEH=30
0000??BAD=15,?易得?AGO=45,?HAO=15,?EAH=45。
33设AO=a,则AD=AE=2 a,OD=a。?DG=DO,GO=(,1)a。
0000又??BAD=15,?BAC=60,?ADO=30,??DHA=?DAH=75。 ?DH=AD=2a,
33?GH=DH,DG=2a,(,1)a=(3,)a,
33HE=2DO,DH=2a,2a=2(,1)a。
22222,,,,DGGH31a+33a=1683a,,,,,?, ,,,,,,,,,,
222,,HE231a=1683a,,,, ,,,,,,
222DGGHHE,,?。
39 用心 爱心 专心
?以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解一元二次方程,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值,菱形的判定和性质,勾股定理和逆定理。 【分析】(1)由?ABC、?APD和?APE都是等边三角形可得边角的相等关系,从而用ASA证明。
(2)?由?BPM??CAP,根据对应边成比例得等式,解方程即可。
?应用全等三角形的判定和性质,锐角三角函数和勾股定理相关知识求得, SS,,ADP四形边AMPN用x的代数式表示S,用二次函数的最值原理求出S的最小值。
0 ?由?BAD=15得到四边形ADPE是菱形,应用相关知识求解。
求出DG、GH、HE的表达式,用勾股定理逆定理证明。
28. (2012福建三明14分)在正方形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,点P在线段BC上(不含点B),
1?BPE,?ACB,PE交BO于点E,过点B作BF?PE,垂足为F,交AC于点G( 2
(1) 当点P与点C重合时(如图?)(求证:?BOG??POE;(4分)
BF(2)通过观察、测量、猜想:= ? ,并结合图?证明你的猜想;(5分) PE
(3)把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图?),若?ACB=α,
BF求的值((用含α的式子表示)(5分) PE
【答案】解:(1)证明:?四边形ABCD是正方形,P与C重合,
?OB=OP , ?BOC=?BOG=90?。
?PF?BG ,?PFB=90?,??GBO=90?—?BGO,?EPO=90?—?BGO。
??GBO=?EPO 。??BOG??POE(AAS)。
BF1(2)。证明如下: ,PE2
如图,过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,
40 用心 爱心 专心
0??PNE=?BOC=90, ?BPN=?OCB。
0??OBC=?OCB =45, ? ?NBP=?NPB。
?NB=NP。
00??MBN=90—?BMN, ?NPE=90—?BMN,??MBN=?NPE。
ASA)。?BM=PE。 ??BMN??PEN(
1??BPE=?ACB,?BPN=?ACB,??BPF=?MPF。 2
0?PF?BM,??BFP=?MFP=90。
1又?PF=PF, ??BPF??MPF(ASA)。?BF=MF ,即BF=BM。 2
1BF1?BF=PE, 即。 ,PE22
(3)如图,过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,
0??BPN=?ACB=α,?PNE=?BOC=90。
1由(2)同理可得BF=BM, ?MBN=?EPN。 2
0??BNM=?PNE=90,??BMN??PEN。
BMBN?。 ,PEPN
BNBM2BF在Rt?BNP中,, ?,即。 ,,,tan==tan=tanPNPEPE
BF1?。 ,=tanPE2
【考点】几何综合题,正方形和菱形的性质,平行的性质,全等、相似三角形的判定和性质,锐角三角函
数定义。
【分析】(1)由正方形的性质可由AAS证得?BOG??POE。
(2)过P作PM//AC交BG于M,交BO于N,通过ASA证明?BMN??PEN得到BM=PE,通过ASA
BF1证明?BPF??MPF得到BF=MF,即可得出的结论。 ,PE2
1(3)过P作PM//AC交BG于点M,交BO于点N,同(2)证得BF=BM, ?MBN=?EPN,从而可2
BMBNBNBF1证得?BMN??PEN,由和Rt?BNP中即可求得。 ,,,tan==tanPEPNPNPE2
29. (2012辽宁沈阳12分)已知,如图?,?MON=60?,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与
43点O重合),且AB=,在?MON的内部、?AOB的外部有一点P,且AP=BP,?APB=120?. (1)求AP的长;
41 用心 爱心 专心
(2)求证:点P在?MON的平分线上;
(3) 如图?,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,PA的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.
?当AB?OP时,请直接写出四边形CDEF的周长的值; ((
?若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围( ((
【答案】解: (1) 过点P作PQ?AB于点Q ?PA=PB,
?APB=120? ,AB=43,
1111?AQ=AB=×43=23 ,?APQ=?APB=×120?=60?。 2222
AQ在Rt?APQ中, sin?APQ= AP
AQ2323,,?AP= ,4。 sinAPQsin60,:3
2
(2)证明:过点P分别作PS?OM于点S, PT?ON于点T,
??OSP=?OTP=90?。
在四边形OSPT中,?SPT=360?-?OSP-?SOT-?OTP=360?-90?-60?-90?=120?,
??APB=?SPT=120?。 ??APS=?BPT。
又??ASP=?BTP=90?, AP=BP,??APS??BPT(AAS)。 ?PS=PT。
?点P在?MON的平分线上。
333(3) ?8+4 ?4+4,t?8+4。
【考点】等腰三角形的,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,多边形内角和定理,全等三角形的判定和性质,点在角平分线上的判定,三角形中位线定理
1【分析】(1)过点P作PQ?AB于点Q(根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=AB,然后在2直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度。
(2)作辅助线PS、PT(过点P分别作PS?OM于点S,PT?ON于点T)构建全等三角形?APS??BPT;
42 用心 爱心 专心
然后根据全等三角形的性质推知PS=OT;最后由角平分线的性质推知点P在?MON的平分线上。
(3)利用三角形中位线定理知四边形CDEF的周长的值是OP+AB。
?当AB?OP时,根据直角三角形中锐角三角函数的定义可以求得OP的长度;
?当AB?OP时,OP取最大值,即四边形CDEF的周长取最大值;当点A或B与点O重合时,四边形CDEF的周长取最小值,据此写出t的取值范围。
30. (2012辽宁大连12分)如图1,梯形ABCD中,AD?BC,?ABC,2?BCD,2α,点E在AD上,点F在DC上,且?BEF=?A.
(1)?BEF=_____(用含α的代数式表示);
(2)当AB,AD时,猜想线段ED、EF的数量关系,并证明你的猜想;
(3)当AB?AD时,将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上,且AE,AB,AB,mDE,AD,nDE”,
EB其他条件不变(如图2),求的值(用含m、n的代数式表示)。 EF
【答案】解:(1)180?,2α。
(2)EB=EF。证明如下:
连接BD交EF于点O,连接BF。
?AD?BC,??A=180?-?ABC=180?,2α,
?ADC=180?,?C=180?-α。
1?AB=AD,??ADB=(180?,?A)=α。 2
??BDC=?ADC,?ADB=180?,2α。
由(1)得:?BEF=180?,2α=?BDC。
OEOBOEOD又??EOB=?DOF,??EOB??DOF。?,即。 ==ODOFOBOF
??EOD=?BOF,??EOD??BOF。??EFB=?EDO=α。
??EBF=180?,?BEF,?EFB=α=?EFB。?EB=EF。
(3) 延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,
1801802:,:,,,,180A:,,则?G=?AEG=。 ==,22
43 用心 爱心 专心
?AD?BC,
??EDF=?C=α,?GBC=?A,?DEB=?EBC。
??EDF=?G。
??BEF=?A,??BEF=?GBC。
??GBC+?EBC=?DEB+?BEF,即?EBG=?FED。
EBBG??DEF??GBE。?。 =EFDE
?AB=mDE,AD=nDE,?AG=AE=(n+1)DE。
?BG=AG,AB=(n+1)DE,mDE=(n+1,m)DE。
EBn1mDE(),,?。 ==n1m,,EFDE
【考点】梯形的性质,平行线的性质,相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质。 【分析】(1)由梯形ABCD中,AD?BC,?ABC=2?BCD=2α,根据平行线的性质,易求得?A的度数,又由?BEF=?A,即可求得?BEF的度数:
?梯形ABCD中,AD?BC,??A+?ABC=180?。??A=180?,?ABC=180?,2α。
??BEF=?A=180?,2α。 又??BEF=?A,
(2)连接BD交EF于点O,连接BF,由AB=AD,易证得?EOB??DOF,根据相似三角形的对应边
OEOB成比例,可得 ,从而可证得?EOD??BOF,又由相似三角形的对应角相等,易得?EBF=?EFB=α,=ODOF
即可得EB=EF。
(3)延长AB至G,使AG=AE,连接BE,GE,易证得?DEF??GBE,然后由相似三角形的对应边成
EB比例,即可求得 的值。 EF
31. (2012辽宁鞍山12分)如图,正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上,点B坐标(3,3),将正方形ABCO绕点A顺时针旋转角度α(0?,α,90?),得到正方形ADEF,ED交线段OC于点G,ED的 延长线交线段BC于点P,连AP、AG(
(1)求证:?AOG??ADG;
(2)求?PAG的度数;并判断线段OG、PG、BP之间的数量关系,说明理由;
(3)当?1=?2时,求直线PE的解析式(
44 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)证明:??AOG=?ADG=90?,
?在Rt?AOG和Rt?ADG中,AO=AD,AG=AG,
??AOG??ADG(HL)。
(2)?PAG =45?,PG=OG+BP。理由如下:
由(1)同理可证?ADP??ABP,则?DAP=?BAP。
?由(1)?AOG??ADG,??1=?DAG。
又??1+?DAG+?DAP+?BAP=90?,
?2?DAG+2?DAP=90?,即?DAG+?DAP=45?。??PAG=?DAG+?DAP=45?。
?ADP??ABP,?DG=OG,DP=BP。 ??AOG??ADG,
?PG=DG+DP=OG+BP。
(3)??AOG??ADG,??AGO=?AGD。
又??1+?AGO=90?,?2+?PGC=90?,?1=?2,??AGO=?AGD=?PGC。
又??AGO+?AGD+?PGC=180?,??AGO=?AGD=?PGC=60?。??1=?2=30?。
3在Rt?AOG中,AO=3,OG=AOtan30?=,
33?G点坐标为:(,0),CG=3,。
CG33,==31,31,在Rt?PCG中,PC=,?P点坐标为:(3,)。 0tan303
3
设直线PE的解析式为y=kx+b,
,3,3k+b=0k=,,则,解得。 ,3,3k+b=31,,,,b=1,,
3?直线PE的解析式为y=x,1。 3
【考点】一次函数综合题,全等三角形的判定和性质,三角形内角和定理,锐角三角函数定义,特殊角的
45 用心 爱心 专心
三角函数值,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系,解二元一次方程组。
【分析】(1)由AO=AD,AG=AG,利用“HL”可证?AOG??ADG。
(2)利用(1)的方法,同理可证?ADP??ABP,得出?1=?DAG,?DAP=?BAP,而?1+?DAG+?DAP+?BAP=90?,由此可求?PAG的度数;根据两对全等三角形的性质,可得出线段OG、PG、BP之间的数量关系。
(3)由?AOG??ADG可知,?AGO=?AGD,而?1+?AGO=90?,?2+?PGC=90?,当?1=?2时,可证?AGO=?AGD=?PGC,而?AGO+?AGD+?PGC=180?,得出?AGO=?AGD=?PGC=60?,即?1=?2=30?,
解直角三角形求OG,PC,确定P、G两点坐标,得出直线PE的解析式。
32. (2012山东威海11分)
探索发现:已知:在梯形ABCD中,CD?AB,AD、BC的延长线相交于点E,AC、BD相交于点O,连接EO并延长交AB于点M,交CD于点N。
(1)如图?,如果AD=BC,求证:直线EM是线段AB的垂直平分线;
(2)如图?,如果AD?BC,那么线段AM与BM是否相等,请说明理由。
学以致用:仅用直尺(没有刻度),试作出图?中的矩形ABCD的一条对称轴。(写出作图步骤,保留作图痕迹)
46 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)证明:?AD=BC,CD?AB,?AC=BD,?DAB=?CBA。?AE=BE。
?点E在线段AB的垂直平分线上。
在?ABD和?BAC中,?AB=BA,AD=BC,AC=BD,
??ABD??BAC(SSS)。??DBA=?CAB。?OA=OB。
?点O在线段AB的垂直平分线上。
?直线EM是线段AB的垂直平分线。
(2)相等。理由如下:
?CD?AB,??EDN??EAM,?ENC??EMB,?EDC??EAB。
DNCNDNDECNCEDECEBMCN,。?。?。 ?,,,,,, AMBMAMDNAMAEBMBEAEBE
?CD?AB,??OND??OMB,?ONC??OMA,?OCD??OAB。
DNCNDNODCNOCODOCAMCN,?。?。?。 ,,,,,, BMAMBMDNBMOBAMOAOBOA
BMAM22 ?。?AM=BM。?AM=BM。 ,AMBM
(3)作图如下:
作法:? 连接AC,BD,两线相交于点O; 1
? 在梯形ABCD外DC上方任取一点E,连接EA,EB,分别交DC于点G,H;
? 连接BG,AH,两线相交于点O; 2
47 用心 爱心 专心
? 作直线EO,交AB于点M; 2
? 作直线MO。 1
则直线MO。就是矩形ABCD的一条对称轴。 1
【考点】平行的性质,全等、相似三角形的判定和性质,等腰三角形的判定,线段垂直平分线的判定,复杂作图。
【分析】(1)一方面由已知可得点E在线段AB的垂直平分线上;另一方面可由SSS证明?ABD??BAC,从而得?DBA=?CAB,因此OA=OB,得出点O在线段AB的垂直平分线上。从而直线EM是线段AB的垂直平分线。
(2)一方面由CD?AB,得?EDN??EAM,?ENC??EMB,?EDC??EAB,利用对应边成比例可得
BMCN;另一方面由CD?AB,得?OND??OMB,?ONC??OMA,?OCD??OAB,利用对应边成比例可,AMDN
AMCNBMAM得。从而得到,即可得到AM=BM的结论。 ,,BMDNAMBM
(3)按(2)的结论作图即可。
33. (2012四川泸州9分)如图,?ABC内接于?O,AB是?O的直径,C是的弧AD中点,弦CE?AB 于点H,连结AD,分别交CE、BC于点P、Q,连结BD。
(1)求证:P是线段AQ的中点;
15?O的半径为5,AQ=(2)若,求弦CE的长。 2
【答案】解:(1)证明:?AB是?O的直径,弦CE?AB,?ACAE,。
AD又?C是弧的中点,?ACCD,。?AECD,。??ACP=?CAP。?PA=PC。
?AB是直径(??ACB=90?。
??PCQ=90?,?ACP,?CQP=90?,?CAP。??PCQ=?CQP。?PC=PQ。
?PA=PQ,即P是AQ的中点。
ACCD,(2)?,??CAQ=?ABC。
48 用心 爱心 专心
ACAQ又??ACQ=?BCQ,??CAQ??CBA。?。 ,BCBA
15
AC3152又?AQ=,BA=10,?。 ,,BC1042
222设AC=3k, BC=4k,则由勾股定理得,,解得k=2。 3k4k10,,,,,,
?AC=6,BC=8。
24根据直角三角形的面积公式,得:AC•BC=AB•CH,?6×8=10CH。?CH=。 5
48又?CH=HE,?CE=2CH=。 5
【考点】圆的综合题,圆周角定理。垂径定理,相似三角形的判定和性质,勾股定理。 【分析】(1)首先利用等角对等边证明:?ACP=?CAP得到:PA=PC,然再证明PC=PQ,即可得到P是AQ
的中点。
(2)首先证明:?CAQ??CBA,依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度,然后根
据直角三角形的面积公式即可求得CH的长,则可以求得CE的长。 4. (2012四川成都10分)如图,AB是?O的直径,弦CD?AB于H,过CD延长线上一点E作?O的切线3
交AB的延长线于F(切点为G,连接AG交CD于K(
(1)求证:KE=GE;
2KG (2)若=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由;
325 (3) 在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长( 5
【答案】解:(1)证明:如答图1,连接OG。
?EG为切线,??KGE+?OGA=90?。
?CD?AB,??AKH+?OAG=90?。
又OA=OG,??OGA=?OAG。
??KGE=?AKH=?GKE。?KE=GE。
(2)AC?EF,理由如下:
49 用心 爱心 专心
连接GD,如答图2所示。
KGKD2?KG=KD•GE,?。 ,GEKG
又??KGE=?GKE,??GKD??EGK。
??E=?AGD。
又??C=?AGD,??E=?C。?AC?EF。
(3)连接OG,OC,如答图3所示。
3 由(2)?E=?ACH,?sinE=sin?ACH=。 5
?可设AH=3t,则AC=5t,CH=4t。
?KE=GE,AC?EF,?CK=AC=5t。?HK=CK,CH=t。
22222在Rt?AHK中,根据勾股定理得AH+HK=AK,即(3t)+t=
22(25),解得t=。
设?O半径为r,在Rt?OCH中,OC=r,OH=r,3t,CH=4t,
25252222222由勾股定理得:OH+CH=OC,即(r,3t)+(4t)=r,解得r=t=。 66
?EF为切线,??OGF为直角三角形。
25CH42在Rt?OGF中,OG=r=,tan?OFG=tan?CAH=, ,6AH3
252OG256,,2?FG=。 4tanOFG8,
3
【考点】切线的性质,勾股定理,垂径定理,圆周角定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行的判定,锐角三角函数定义。
【分析】(1)如答图1,连接OG(根据切线性质及CD?AB,可以推出连接?KGE=?AKH=?GKE,根据等角对等边得到KE=GE。
(2)AC与EF平行,理由为:如答图2所示,连接GD,由?KGE=?GKE,及KG2=KD•GE,利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出?GKD与?EKG相似,又利用同弧所对的圆周角相等得到?C=?AGD,可推知?E=?C,从而得到AC?EF。
(3)如答图3所示,连接OG,OC(首先求出圆的半径,根据勾股定理与垂径定理可以求解;然后在Rt?OGF中,解直角三角形即可求得FG的长度。
35. (2012广西钦州10分)如图,AB是?O的直径,AC是弦,直线EF经过点C,AD?EF于点D,?DAC=?BAC(
50 用心 爱心 专心
(1)求证:EF是?O的切线;
2(2)求证:AC=AD•AB;
(3)若?O的半径为2,?ACD=30?,求图中阴影部分的面积(
【答案】解:(1)证明:连接OC,
?OA=OC,??BAC=?OCA。
??DAC=?BAC,??OCA=?DAC。?OC?AD。
?AD?EF,?OC?EF。
?OC为半径,?EF是?O的切线。
(2)证明:?AB为?O直径,AD?EF,
??BCA=?ADC=90?。
??DAC=?BAC,??ACB??ADC。
ADAC2,?。?AC=AD•AB。 ACAB
(3)??ACD=30?,?OCD=90?,??OCA=60?.
?OC=OA,??OAC是等边三角形。?AC=OA=OC=2,?AOC=60?。
1?在Rt?ACD中,AD=AC=1。 2
3由勾股定理得:DC=,
21602332,,,3?阴影部分的面积是S=S,S=×(2+1)×,。 ,,,梯形OCDA扇形OCA360232
【考点】圆的综合题,等腰(边)三角形的判定和性质,平行的判定和性质,切线的判定,圆周角定理,
相似三角形的判定和性质,解直角三角形,扇形面积。
【分析】(1)连接OC,根据OA=OC推出?BAC=?OCA=?DAC,推出OC?AD,得出OC?EF,根据切线的判定
推出即可。
(2)证?ADC??ACB,得出比例式,即可推出答案。
(3)求出等边三角形OAC,求出AC、?AOC,在Rt?ACD中,求出AD、CD,求出梯形OCDA和扇形
OCA的面积,相减即可得出答案。
51 用心 爱心 专心
36. (2012广西贵港11分)如图,Rt?ABC的内切圆?O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F,且
?ACB,90?,AB,5,BC,3。点P在射线AC上运动,过点P作PH?AB,垂足为H。 (1)直接写出线段AC、AD以及?O半径的长;
(2)设PH,x,PC,y,求y关于x的函数关系式;
3)当PH与?O相切时,求相应的y值。 (
【答案】解:(1)AC=4;AD=3,?O半径的长为1。
(2)在Rt?ABC中,AB=5,AC=4,则BC=3。
??C=90?,PH?AB,??C=?PHA=90?。
x4y,PHAPACPC,,??AHP??ACB。?,即。 ??A=?A, ,,35BCABAB
55yx+4,,yx+4,,?,即y与x的函数关系式是。 33
(3)如图,P′H′与?O相切于点M,连接OD,OE,OF,OM。
??OMH′=?MH′D=?H′DO=90?,OM=OD,
四边形OMH′D是正方形。?MH′=OM=1。 ?
?CE、CF是?O的切线,?ACB=90?,
??CFO=?FCE=?CEO=90?,CF=CE。
?四边形CEOF是正方形,CF=OF=1。
?P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y。
553yx+4,,yy+4,,y,又由(2)知,,?,解得。 332【考点】圆的综合题,圆的切线性质,勾股定理,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。
【分析】(1)连接AO、DO,EO,FO,设?O的半径为r,
22ABBC4,,在Rt?ABC中,由勾股定理得AC=,
11??O的半径r=(AC+BC-AB)=(4+3-5)=1。 22
52 用心 爱心 专心
?CE、CF是?O的切线,?ACB=90?,
??CFO=?FCE=?CEO=90?,CF=CE。?四边形CEOF是正方形。?CF=OF=1。
又?AD、AF是?O的切线,?AF=AD。?AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3,即AD=3。
PHAPACPC,(2)通过相似三角形?AHP??ACB的对应边成比例知, ,将“PH=x,PC=y”,,BCABAB
代入求出即可求得y关于x的函数关系式。
(3)根据圆的切线定理证得四边形OMH′D、四边形CFOE为正方形;然后利用正方形的性质、圆的切线定理推知P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C,即x=y;最后将其代入(2)中的函数关系式即可求得y值。
37. (2012贵州安顺12分)如图,在?O中,直径AB与弦CD相交于点P,?CAB=40?,?APD=65?( (1)求?B的大小;
(2)已知AD=6,求圆心O到BD的距离(
【答案】解:(1)??APD=?C+?CAB,?CAB=40?,?APD=65?,
??C=65?,40?=25?。
??B=?C=25?。
(2)过点O作OE?BD于E,则DE=BE,
11又?AO=BO,?OE=AD=×6=3。 22
?圆心O到BD的距离为3。
【考点】圆周角定理,三角形外角性质,垂径定理,三角形中位线定理。
【分析】(1)根据圆周定理以及三角形外角求出即可。
1(2)利用三角形中位线定理得出OE= AD,即可得出答案。 2
38. 2012云南省7分)如图,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BD相交于点N,连接BM,DN(
(1)求证:四边形BMDN是菱形;
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长(
53 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)证明:?四边形ABCD是矩形,?AD?BC。??BNO=?DMO,?NBO=?MDO。
?MN是BD的中垂线,?OB=OD,BD?MN。
??BNO??DMO(AAS)。?ON=OM。
?四边形BMDN的对角线互相平分。?四边形BMDN是平行四边形。
?BD?MN,?平行四边形BMDN是菱形。
(2)?四边形BMDN是菱形,?MB=MD。
设MD长为x,则MB=DM=x,AM=8,x。
0?四边形ABCD是矩形,??A=90。
222222在Rt?AMB中,BM=AM+AB,即x=(8,x)+4,解得:x=5。
。 答:MD长为5
【考点】矩形的性质,线段垂直平分线的性质,平行四边形的性质,菱形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理。
【分析】(1)根据矩形性质求出AD?BC,根据OB=OD和AD?BC推出?BNO??DMO ,OM=ON,得出平行四边形BMDN,推出菱形BMDN。
222(2)根据菱形性质求出DM=BM,在Rt?AMB中,根据勾股定理得出BM=AM+AB,推出 22x=x,16x,64,16,求出即可。
39. (2012山东淄博9分)在矩形ABCD中,BC=4,BG与对角线AC垂直且分别交AC,AD及射线CD于点E,F,G,AB=x(
(1)当点G与点D重合时,求x的值;
(2)当点F为AD中点时,求x的值及?ECF的正弦值(
54 用心 爱心 专心
【答案】解:(1)当点G与点D重合时,点F也与点D重合。
?矩形ABCD中,AC?BD,?四边形ABCD是正方形。
?BC=4,?x= AB= BC=4。
(2)?点F为AD中点,BC=4,?AF=2。
AEFEAF21 ?矩形ABCD中,AD?BC,??AEF??BEB。?。 ,,,,CEBDCB42
CE=2AEBD=2FE,AC=3AEBF=3FE, ?。?。
0 ?矩形ABCD中,?ABC=?BAF=90,
222222AC=AB+BCBF=AF+AB,, ?在Rt?ABC和Rt?BAF中由勾股定理得
2222223AE=x+43FE=2+x, 即。 ,,,,
222 两式相加,得。 9AE+FE=2x+20,,
2222AE+FE=AB=x 又?AC?BG,?在Rt?ABE中,。
2229x=2x+20 ?,解得(已舍去负值)。 x=357
28,,,,2222AE=+16=FE=4+=CE=4AE=4=,,,,, ?。 ,,,,976397636363,,,,
48528576222 ?在Rt?CEF中由勾股定理得。 CF=FE+CE=+,636363
482CF12363sinECF===, ?。?。 ,,sinECF=,2576126EF
48
【考点】矩形的性质,正方形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,锐角三角函数定义。
【分析】(1)由点G与点D重合得出四边形ABCD是正方形即可求得x的值。
AC=3AEBF=3FE, (2)由点F为AD中点和矩形的性质,得?AEF??BEB,从而得。在Rt?ABC、
Rt?BAF和Rt?ABE应用勾股定理即可求得x的值。在Rt?CEF中应用勾股定理求得CF,根据锐角三角函
55 用心 爱心 专心
数定义即可求得?ECF的正弦值。
56 用心 爱心 专心