2010 海淀二模数学

2010 海淀二模数学 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理科) 2010.5 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. Axx,,01(已知集合，，则 B,{0,1,2},, ,,ABBAA( B( C( D( ABB,AB,,,, ,fxx()sin(2),，2(函数图象的对称轴方程可以为 3 ,5,,,,,,,A( B(x C(x D(x x123612 AEBCD3(如图，是?O的直径，切?O于点， DDB，DBE，,:D20连接，若，则的大小为 20:40:A. B. O 60:70:C. D. Cfxxx()2ln,,,4(函数在定义域内零点的个数为 ABEA(0 B(1 C(2 D(3 02,,,x,,k5(已知不等式组所 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的平面区域的面积为4，则的值为 xy，,,20,,,kxy,，,20, 开始 ,3A(1 B( ,3或C(1 D(0 k=1 6(已知，是不同的直线，，是不同的平面，则下列条件能 m,n, n,,使成立的是 S=0 A(， B(， ,,,m,,,,//m,, m//,nm,C(， D(， ,,,n//,是 M 7(按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为 否 k,16k,8A( B( 输出S S=S+k k,16k,8C( D( kk,，2 结束 F8(已知动圆C经过点(0，1),并且与直线相切，若直线与圆C有公共点，则圆Cy,,134200xy,，,的面积 A(有最大值为 B(有最小值为 ,, 4,4,C(有最大值为 D(有最小值为 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上. ,9(在极坐标系中，若点()是曲线上的一点，则 . A(,),,0,,,,,2cos,0003 10(某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙 两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如 右图).，分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 ss12 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 差，则 .(填“”、“”或“,”)[来源:学|s,,s科|网] 12 11(已知向量a=，b=，若，则 ; . (1,0)(x,1)x,ab，,ab2, n*a12. 已知数列满足，aa,2(N)，则的值为 . a,1aa，n,,,n，11nn910 ab，AB,ABCCbacA,sin13(在中，角,,所对应的边分别为,,，若，则的最大值为 . acc14(给定集合，映射满足: An,{1,2,3,...,}fAA:,nnn ?当时，; ijAij,,,,fifj()(),n m,2?任取若，则有. mA,,,{(1),(2),..,()}fffmmn .则称映射:是一个“优映射”.例如:用表1表示的映射:是一个“优映射”. AA,AA,ffnn33 表1 表2 i i 1 2 3 4 1 2 3 fi() fi() 3 2 3 1 (1)已知表2表示的映射: 是一个优映射，请把表2补充完整(只需填出一个满足条AA,f44 件的映射); (2)若映射:AA,是“优映射”，且方程的解恰有6个，则这样的“优映射”的个ffii(),1010 数是_____. 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 15((本小题满分13分) 记等差数列{}a的前n项和为S，已知aaS，,,6,10. nn244 (?)求数列{}a的通项公式; n *n(N)n,ba,,2(?)令，求数列{}b的前n项和T. nnnn 16((本小题满分14分) 已知四棱锥PABCD,，底面ABCD为矩形，侧棱，其中BCABPA,,,226，MN,PAABCD,底面为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示. P(?)求证:; ANMBD//平面 PD(?)求异面直线AN与所成角的余弦值; NMBDC,,(?)求二面角的余弦值. M A D BC 17((本小题满分13分) 为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每 名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立. (?)求4人恰好选择了同一家公园的概率; XX(?)设选择甲公园的志愿者的人数为，试求的分布列及期望( 18((本小题满分13分) 2axa,0fxaxx()(2)e,,已知函数，其中a为常数，且. a,1(?)若，求函数的极值点; fx() (2,2)(?)若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围. fx() 19((本小题满分13分) 已知椭圆和抛物线有公共焦点F(1,0), 的中心和的顶点都在坐标原点，过点M(4，0)的CCCC1212 l直线与抛物线分别相交于A,B两点. C2 (?)写出抛物线的标准方程; C2 1lAMMB,(?)若，求直线的方程; 2 POll(?)若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长CCC211 轴长的最小值. 20((本小题满分14分) 已知函数的图象在上连续不断，定义: fx()[,]ab ， fxftatx()min{()|},,,([,])xab,1 ( fxftatx()max{()|},,,([,])xab,2 DD表示函数在上的最小值，表示函数在上的最其中，max{()|}fxxD,min{()|}fxxD,fx()fx() k大值(若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为上fxfxkxa()()(),,,xab,[,]fx()[,]ab21 k的“阶收缩函数”( (?)若，，试写出，的表达式; fx()fx()fxx()cos,x,[0,],12 2k(?)已知函数fxx(),，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出x,,[1,4][1,4],fx() k对应的;如果不是，请说明理由; 32b,0b(?)已知，函数fxxx()3,,，是上的2阶收缩函数，求的取值范围. [0,]b 海淀区高三年级第二学期期末练习 数 学 (理) 参考答案及 评分 售楼处物业服务评分营养不良炎症评分法中国大学排行榜100强国家临床重点专科供应商现场质量稽核 标准 2010(5 说明: 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数. 第?卷(选择题 共40分) 一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D C A B A D 第?卷(非选择题 共110分) 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分) 9(1 10( 11(2 ; 12(48 13(2 ,10 14( 三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15((本小题满分13分) 解:(?)设等差数列的公差为d，由， aaS，,,6,10a,,244n 246ad，,,1, 可得 ， ………………………2分 ,43，410ad，,1,,2 ad，,23,1 即， ,235ad，,1, a,1,1 解得， ………………………4分 ,d,1, ?， aandnn,，,,，,,11(1)，，n1 an, 故所求等差数列的通项公式为. ………………………5分 a,,nn nn(?)依题意，， ban,,,,22nn Tbbb,，，， ? nn12 231nn,,，，，，，，，,,，,122232(1)22nn ， ………………………7分 2341nn，2T,122232(1)22，，，，，，，,,，,nn 又， …………………9分 n 2311nnn,， ………………………11分 两式相减得,,，，，，，,,Tn(22222)2n n212,，，n，1，1n,,,,(1)22n ， ………………………12分 n,,,212, n，1 ?. ………………………13分 Tn,,,，(1)22n 16((本小题满分14分) PBDACOOM(?)证明:连结交于，连结 ， ， 底面为矩形ABCD N， ………… 1分 ？OAC为中点 ， MNPC、为侧棱的三等分点M？,CMMN， A？OMAN// ， ………… 3分 DO， OMMBDANMBD,,平面平面,BC. ………… 4分[来源:Zxxk.Com] ？ANMBD//平面 A(?)如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系， Axyz,则，，，， B(3,0,0)A(0,0,0)C(3,6,0)D(0,6,0)z，，, P(0,0,3)M(2,4,1)N(1,2,2)PANPD,,,(1,2,2),(0,6,3), N ………………………5分 MANPD,，,012625DA , ？,,,,,cos,ANPD15y335，ANPD xCB ………………………7分 25PDAN？异面直线与所成角的余弦值为 . ………………………8分 15 (?)侧棱, PAABCD,底面 ？,平面的一个法向量为BCDAP(0,0,3), ………………………9分 设的法向量为, m,(,,)xyz平面MBD BDBM,,,,(3,6,0),(1,4,1)mm,,BDBM,，并且, ,，,360xy,z,,2？x,2，令得，, y,1,,，，,xyz40, ？的一个法向量为 . ………………………11分 m,,(2,1,2)平面MBD AP,m2, ………………………13分 cos,,,,,,APm3APm 由图可知二面角MBDC,,的大小是锐角, 2MBDC,,二面角大小的余弦值为 . .………………………14分 ？3 17( (本小题满分13分) 解:(?)设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A. ………………1分 4每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有种等可能的情况 . …………………2分 3 事件A所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 31所以，. PA,,，，4327 1即:4人恰好选择了同一家公园的概率为. ………………5分 27 1PC,(?)设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则. .………………………6分 ，，3 XX4人中选择甲公园的人数可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量服从二项分布. X可取的值为0，1，2，3，4. .………………………8分 12iii4,PXiC,,， . .………………………10分 ()()i,0,1,2,3,4，，433 X的分布列为: X0 1 2 3 4 16322481 P 8181818181 .………………………12分 14X的期望为EX,，,4( .………………………13分 ，，33 18.(本小题满分13分) 2x2x,fxxx()(2)e,,fxx()(2)e,,解法一:(?)依题意得，所以， .………………………1分 , 令，得， .………………………2分 fx()0,x,,2 , ，随x的变化情况入下表: fx()fx() x (,2),,,(2,2),(2,)，, ,22 , fx(), 0 + 0 , fx()极小值 极大值 ………………………4分 由上表可知，是函数的极小值点，是函数的极大值点. x,,2fx()x,2fx() ………………………5分 22ax,(?) , .………………………6分 fxaxaxa()[(22)2]e,,，,， ,(2,2)x,(2,2)由函数在区间上单调递减可知:对任意恒成立，[来源:学+科+fx()fx()0, 网Z+X+X+K] .………………………7分 ,,x,(2,2)a,0 当时，，显然对任意恒成立; .…………………8分 fxx()2,,fx()0, 22,a,0 当时，等价于， axaxa,,,,(22)20fx()0, 2222a,22x,(2,2)x,,因为，不等式axaxa,,,,(22)20等价于, xa .………………………9分 2 令， gxxx(),[2,2],,,x 2,,[2,2][2,2]gx()1,， 则，在上显然有恒成立，所以函数在单调递增， gx()0,gx()2x g(2)0,[2,2]所以在上的最小值为， .………………………11分 gx() 2222a,,x,(2,2)x,,x,(2,2)由于对任意恒成立等价于对任意恒成立， fx()0,xa 2222a,22a,gx(),0,,,,11aa,001,,a需且只需，即，解得，因为，所以. minaa (2,2)01,,a综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为. fx() .………………………13分 解法二:(?)同解法一 22ax,fxaxaxa()[(22)2]e,,，,，(?), .………………………6分 ,(2,2)x,(2,2)由函数在区间上单调递减可知:对任意恒成立， fx()fx()0, 22x,(2,2)axaxa,,,,(22)20 即对任意恒成立， …………………7分 ,,x,(2,2)a,0 当时，，显然对任意恒成立; …………………8分 fxx()2,,fx()0, 2a,122a,0x,hxaxaxa()(22)2,,,, 当时，令，则函数图象的对称轴为， hx()a .………………………9分 2a,1,001,,ax,(2,2) 若，即时，函数在单调递增，要使对任意恒成hx()(0,)，,hx()0,a h(2)0,,,,11a01,,a立，需且只需，解得，所以; ..………………………11分 2a,1,0a,1x,(2,2) 若，即时，由于函数的图象是连续不间断的，假如对任意hx()hx()0,a h(2)0,x,(2,2),,,11aa,1恒成立，则有，解得，与矛盾，所以不能对任意hx()0, 恒成立. (2,2)综合上述，若函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为01,,a.[来源:学科fx() 网] .………………………13分 19((本小题满分13分) 2解:(?)由题意，抛物线的方程为:yx,4， …………2分 C2 AB(?)设直线的方程为:. ykxkk,,,(4),(0)存在且 yBykx,,(4),2联立，消去，得 kyyk,,,4160， x,2yx,4, ………………3分 FMxO2显然，设， AxyBxy(,),(,),,，,16640k1122 AP4则 yy，, ? 12k ? …………………4分 yy,,,1612 11AMMB,又，所以 yy,, ? …………………5分 1222 2由?? ?消去，得 ， yy,k,212 yx,,242,yx,,，242l故直线的方程为或 . …………………6分 mnOPOP、(,)(?)设，则中点为， 因为两点关于直线对称， ykx,,(4)Pmn(,)22 2nm,,8k,,k(4)m,,,2kmnk,,8,,,221，k所以，即，解之得， …………………8分 ,,,mnk，,0n8k,,,,,,k1n,,2,,m,1，k, 将其代入抛物线方程，得: 288kk22()4,,,，所以，. ………………………9分 k,12211，，kk ykx,,(4),,22y联立 ，消去，得: ,xy，,1,22ab, 2222222222()8160bakxkaxakab，,，,,. ………………………10分 2222222222,,,,，,,(8)4()(16)0kabakakab由，得 2422222222216()(16)0akbakkb,，,,，即， …………………12分 akbk，,16 222将，代入上式并化简，得 ba,,1k,1 342，所以，即， 234a,217a,a,2 因此，椭圆长轴长的最小值为. ………………………13分 C341 20((本小题满分14分) 解:(?)由题意可得: , ………………………1分 fxxx()cos,[0,],,,1 . ………………………2分 fxx()1,[0,],,,2 2,xx,[1,0),,fx(),(?), ………………………3分 ,10,[0,4]x,, 1,[1,1)x,,,fx(), , ………………………4分 ,22xx,[1,4],, 2,1,[1,0),,,xx,fxfxx()()1,[0,1),,,, ………………………5分 ,21,2xx,[1,4],, 2？,,kx1k,21(1),,，xkx当时，,; x,,[1,0] 1？,k1当时，; ？,kx,(0,1)1(1),，kxx，1 2x162？,k？,kxkx,，(1)当时，.[来源:Zxxk.Com] x,[1,4]x，15 16？,k综上所述， ………………………6分 5 k,4即存在，使得是上的4阶收缩函数. ………………………7分 [1,4],fx() 2,fxxxxx()3632,,，,,,x,0x,2(?),令得或. fx'()0,，， fx函数的变化情况如下: ，， x,0令，解得或3. ………………………8分 fx()0, 32fxfxxx()3,,,，b,2fxf()00,,?)时，在上单调递增，因此，，. fx()[0,]b，，，，21 32fxxx()3,,，因为是上的2阶收缩函数， [0,]b 所以，?fxfxx()20,,,对恒成立; xb,[0,]，，，，21 ?存在xb,0,，使得fxfxx()0,,,成立. ………………………9分 ，，，，,,2132即:对恒成立， ?xb,[0,],，,xxx32 3201,,xx,2由，解得:或， ,，,xxx32 3201,,b对恒成立，需且只需. .………………………10分 要使xb,[0,],，,xxx32 2?即:存在，使得成立. xb,[0,]xxx,，,310，， 3535,，2x,0由得:或， xxx,，,310,,x，，22 35,所以，需且只需. b,2 35,. .………………………11分 综合??可得:,,b12 3b,2,[0,]b?)当时，显然有，由于在上单调递增，根据定义可得: fx()[0,2]2 3273f(),，， f()0,21282 33273,,可得 ， ff()23,,,，,21,,2282,, fxfxx()20,,,此时，不成立. .………………………13分 ，，，，21 35,综合?)?)可得:. ,,b12 3注:在?)中只要取区间(1，2)内的一个数来构造反例均可，这里用只是因为简单而已. 2