球体积公式的极限法推导球体积公式的极限法推导
成果集锦
球体积公式的极限法推导
本文的目的在于使学生明白，球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法。
3定理 半径为R的球，其体积V=4/3πR(
证明:考虑半球，将其大圆弧分为2n等份(如图)，过分点作球大圆的平行截面，设第i个截面(自下而上)的半径为r，其圆周上一点与球心连线与大圆I
面所成角θi=iπ/2n，i=0，…，n(ro=R，r=0)(第i-1与第i个截面间的距 n
n 离为hi，以其为上、下底构成的圆台体积记为,i，则可以证明,,,lim?,i. ??=1 ...
球体积公式的极限法推导
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球体积公式的极限法推导
本文的目的在于使学生明白，球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法。
3定理 半径为R的球，其体积V=4/3πR(
证明:考虑半球，将其大圆弧分为2n等份(如图)，过分点作球大圆的平行截面，设第i个截面(自下而上)的半径为r，其圆周上一点与球心连线与大圆I
面所成角θi=iπ/2n，i=0，…，n(ro=R，r=0)(第i-1与第i个截面间的距 n
n 离为hi，以其为上、下底构成的圆台体积记为,i，则可以证明,,,lim?,i. ??=1 n 我们来计算Vi(由于r=Rcosθi，r= Rcosθi-1，hi=R(sinθi-sinθi-1)，应用圆i-1i
台的体积公式，有
22 Vi=1/3π(r+r+ r r)hi ii-1ii-1
33 cosθi,cosθi-1 3 =1/3πR (sinθi-sinθi-1)
cosθi,cosθi-1
把θi的值代入，经适当的三角变换，得
1 1 3(2i-1) 3π (2i-1)π 3π 3sin +cos (sin +cos Vi= —πR[—
3 2 4n 4n 4n 4n
3 π
—sin )]
2 4n
n sin2nθ
cos(2k-1)θ=应用公式? ，将上式两边关于i由1到n求和，得
k=1 sinθ
3π
sin
n 1 1 4n 3 ?Vi=—πR(—+ )。
=1 3 2iπ 2sin
4n
3π sin 4n sinx3 由于lim =1，则lim = x?0 x n??π 2 2sin 4n 上式两边对n??取极限，即知
n 1 1 3 4 33— ,=2lim?,i ,2?—πR(+ —)= —πR(
n??i=1 3 2 2 3
(湖北省黄石市二中 杨志明)
(发表于《中学数学教学参考》2000年第3期)
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