博弈论习题[指南]博弈论习题[指南]
完全信息静态博弈
1表1是两人博弈得战略式表达，其中U和D是参与人1的战略空间，L和R是参与人2的战略空间
L R
U a, b c, d
D e, f g, h
(1) 准确地定义上述博弈地占优策略均衡和纳什均衡。 (2) 当a, b, c, d, e, f, g, h之间满足什么条件时，上述博弈存在:(a)占优战略均衡;(b)重复剔
除占优均衡;(c)纳什均衡。
2. 两个人就如何分配1元钱谈判，双方同时提出各自希望得到的份额，分别为s1和s2，且0=1，则两人均一无所获，求出此...
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博弈论习题[指南]
完全信息静态博弈
1表1是两人博弈得战略式表达，其中U和D是参与人1的战略空间，L和R是参与人2的战略空间
L R
U a, b c, d
D e, f g, h
(1) 准确地定义上述博弈地占优策略均衡和纳什均衡。 (2) 当a, b, c, d, e, f, g, h之间满足什么条件时，上述博弈存在:(a)占优战略均衡;(b)重复剔
除占优均衡;(c)纳什均衡。
2. 两个人就如何分配1元钱谈判，双方同时提出各自希望得到的份额，分别为s1和s2，且0<=s1, s2<=1，若s1+s2<=1，则二人分别得到它们所要的一份;若s1+s2>=1，则两人均一无所获，求出此博弈的纯战略纳什均衡。
3.烟草的需求如为q=1 000 000 (10-p)，其中p是每千克烟草的价格，存在一个政府支持项目以保证每千克价格不低于0.25元。三个种植烟草的农民每人收获了60万千克烟草，每个人必须独立作出决定，出售多少烟草，销毁多少烟草。 (a)证明博弈有两个纳什均衡，其中之一，每个农民都把所有的烟草运到市场上出售，另一个均衡是每个农民出售25万千克，销毁35万千克。 (b)是否存在其他纳什均衡。
4. 两个渔民共同享用一锅蛇鲨，锅里总共有1000只，而且每人各自控制进食速率ri，吃蛇
2鲨的净效用取决于两人的进食速率:ui=4qi-50ri-ri，其中qi是每人所吃蛇鲨的总量，由于两渔民最终吃完所有蛇鲨，那么qi=1000ri/(r1+r2)>
(a)如果他们同意共同以一个最优的速率进食，那么这个速率是多少, (b)如果他们独立选择，他们各自的速率是多少,
5. 性别之战，某个晚上，丈夫想去看拳击，妻子想去看歌剧，他们的得益表如图所示。证明这个博弈有两个纯战略均衡和一个混合战略均衡，证明如果他们安排好他们的活动可以生活得更好。
歌剧 拳击 妻
丈 子
夫
歌剧 2, 1 0, 0
拳击 0, 0 1, 2
6. 请解出图中标准博弈唯一的混合纳什均衡。证明两个参与人中如果有一个人采用自己纳什策略之外的任何一种策略，另一个参与人的最优化反应将产生一个对两个人都较好的结果。如果存在这种状况，那么纳什均衡是所有可能结果中最差的一种(注意在囚徒困境中，因为当一个参与者合作而他的同伴背叛时，他将得到较差的结果，所以纳什解不是帕累拖最小值。)
α β γ
a 0, 0 50, 40 40, 50 b 40, 50 0, 0 50, 40 c 50, 40 40, 50 0, 0
7. 一个上校和民兵组织都试图通过适当地分布他们的军队来占领两个军事要塞，上校有4个团，民兵组织有3个团。如果在一个要塞处，上校拥有的团比敌军多，上校将得到敌军的团加上一个团(这一个团是占领要塞的这个团)。如果上校在一个要塞处拥有的团数比敌军少，他将损失俘获敌方1个团的机会加上他在这个要塞处拥有的团。如果两方的团数一样多，则两方的得益都为0，总得益为两个要塞处的得益之和。 证明上校有五种纯策略，而民兵组织有四种纯策略，找出得益矩阵，并为双方找到一种混合策略纳什均衡。
8 三家公司在市场上投放三种产品，他们只能在早间电视节目和晚间电视节目中选择一种进行广告宣传。其中，每家公司每天只播广告一次。如果多于一家公司在同一时间播放广告，则他们的收益为0。如果仅有一家公司在早间电视节目中播放广告，其收益为1;如果仅有一家公司在晚间电视节目中播放广告，其收益为2。三家公司必须同时作出他们的每日广告决策。
说明以下形式采取了纳什均衡策略。
(a) 有一家公司经常选择在早间电视节目中播广告，另一家公司经常选择在晚间电视节目中
播广告，第三家公司以任意概率选择在早间电视节目中播广告。
2,1(b) 所有公司都以的概率在早间电视节目中播放广告。
动态博弈
9. 给出表的扩展式表述(博弈树)，并找出每个博弈的所有纯战略纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡(参与人1先行动)。
U D 参
与
参 人 与 2 人
1
L 4, 1 0, 0
M 3, 0 0, 1
R 2, 2 2, 2
10. 参与人1(丈夫)和参与人2(妻子)必须独立地决定出门是否带伞，他们知道下雨和不下雨地可能性相同。支付函数如下，如果只有一人带伞，下雨时带伞者地效用为-2.5，不带伞者(搭便车者)地效用为-3;不下雨时带伞者地效用为-1，不带伞者(搭便车者)地效用为0;如果两人都带伞，下雨时每人地效用为-2，不下雨时每个人地效用为-1;如果两人都不带伞，下雨时每个人的效用为-5，不下雨时两人的效用为1，如下表所示。
参与人1(丈夫) 参与人2(妻子) 下雨(可能性0.5) 不下雨(可能性0.5)
带伞 不带伞 (-2.5, -3) (-1, 0) 不带伞 带伞 (-3, -2.5) (0, -1) 带伞 带伞 (-2, -2) (-1, -1) 不带伞 不带伞 (-5, -5) (1, 1) 给出以下四种情况下的扩展表述(博弈树)和战略式描述: (1) 两人出门前都不知道是否会下雨，并且两人同时决定是否带伞(即每一方在决策时都不
知道对方的决策);
(2) 两人出门前都不知道是否会下雨，但丈夫先决策，妻子在观察到丈夫是否带伞后才决定
自己是否带伞;
(3) 丈夫出门前知道是否会下雨，妻子不知道，但丈夫先决策，妻子后决策;
(4) 妻子出门前知道是否会下雨，丈夫不知道，但妻子先决策，丈夫后决策。
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