正切函数的图像与性质
6.2 正切函数的图像与性质 【教学目标】
理解正切函数的概念，掌握用正弦线和“三点两线法”作正切函数图像的方法，掌握正切函数的有关性质;
经历根据正切函数的图像探究正切函数的性质的过程，在与正弦函数的类比过程中，体验研究函数的一般角度和方法;
进一步体会三角函数的周期性蕴含的美感(
【教学重点】
正切函数的图像及其主要性质
【教学难点】
,,用正切线画出函数的图像 y,tanx,x,(,,)22
【教学过程】
一、复习准备
1(角的正切的定义:
在角的终边上任取一点，设的坐标为，则= ; (x,y),tan,PP
当= 时，无意义( ,tan,
2(不同象限角的正切线——作出下列图中角的正切线: ,
yy,的终边 ,的终边 xx P P
A(1,0)A(1,0)
xO xO
xx
yy
xx
A(1,0)A(1,0)
O xxO
xx P P
,的终边 ,的终边
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
说明:学生课前复习正切的定义及正切线～为学习正切函数的概念、理解正切函数的定义域、用正切线画正切函数的图像作铺垫(
二、正切函数及其图像
1( 正切函数的定义
,tanx(x,k，,k,Z)x对于任意一个实数,都有唯一确定的值与它对应，按照这个2
y,tanx对应法则所建立的函数，表示为，叫做正切函数(
问题1 你能否根据已有知识，判断正切函数是否是一个周期函数,
,代数解释:根据诱导公式，可知正切(x,R且x,k，,k,Z)tan(x，,),tanx,2函数是周期函数，是正切函数的周期( ,
几何解释:任意一个角的终边逆时针旋转，得到角，角的终边是角的终边,,,,,的反向延长线，它们的正切线相同，即正切值相等，可知正切函数是周期函数，是正切函,数的周期(
设计说明:从正切的定义出发～引出正切函数的定义～并从数与形的角度体会正切函数的周期性(
2( 正切函数的图像
(1) 回顾——利用正弦线作正弦函数的图像
作图要点:平移单位圆中的正弦线，描点得到上的图像;利用正弦函数的周期[0,2,]
性，通过左右扩展得到它在整个定义域内的图像(
(2) 类比——利用正切线作正切函数的图像
问题2 根据正切函数的周期性，你打算先作它在哪一个区间上的图像,
,,x,(,,)作函数，的图像: y,tanx22
0
根据正切函数的周期性，把上述图像向左右扩展，得到正切函数
,(x,R且x,k，,k,Z)y,tanx的图像——正切曲线: ,2
y
y
,xO3,, , 3,, ,, 2, 0 x 222
(3) 简化——利用“三点两线”作正弦函数的图像
,问题3 直线在作图时有什么作用, x,k，(k,Z),2
设计说明:类比正弦函数图像的作法～利用正切函数的周期性～平移正切线作图,初步分析图像的特征～明确渐近线在作图时的作用(
三、正切函数的性质
问题4 分析正切函数的图像特征，能得到正切函数的哪些性质呢,
,1(定义域: (图像特征:渐近线) {x|x,，k,,k,Z}2
2(值域:R (图像特征:向上向下无限延伸)
3(周期性: (图像特征:左右平移) ,
4(奇偶性:奇函数 (图像特征:正切曲线关于原点对称)
5(单调性:
,由于正切函数是周期为的奇函数，先研究[0,)内正切函数的单调性( ,2
,证明:正切函数在区间[0,)内是增函数( y,tanx2
问题5 正切函数在定义域内是增函数吗,
,,(k,,k，)(k,Z)结论:在开区间内都是增函数 y,tanx,,22
(图像特征:在被渐近线分开的每一个区间里，从左到右，图像上升)
问题6 正切函数在第一象限内是增函数吗,
设计说明:通过对图像特征的分析～探究正切函数的性质～感受研究函数性质的一般方法(
四、正切函数图像及性质的应用
例1 不计算，比较下列各组函数值的大小.
oo,,tan167tan173tan335tan680?和 ?和
设计说明:利用正切函数的单调性～判断函数值的大小～注意通过诱导公式将角化到同一个单调区间内的方法(
,y,tan(3x,)例2 求函数的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性( 3
设计说明:通过换元转化为正切函数～利用正切函数的奇偶性解决问题(
五、小结
作图——三点两线，平移得图
性质——图像是宝，周期变化
六、作业
1. 教材练习6.2第1、2、3题
,,sin(x，),cosx2. 思考:根据诱导公式，我们将正弦函数的图像向左平移个单位得22
到了余弦函数的图像(类似地，能否根据正切函数的图像，得到余切函数的图像,
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