李代数李代数伴随表示基林形式单根与邓金图权与李代数的表示卡西米尔算符学习提纲（学习基本概念、分类和表示方法）注意李代数理论中定义和定理较多：——7条定义——8条定理掌握基本概念学习分析方法概念结构表示例如逆变向量和协变向量（参见教材P166-167）求和指标必须是一个上标，一个下标，若两者同在上或同在下，则是错的！我们集中研究半单Lie代数1）通过伴随表示，引入基林形式，从而得到半单李代数的判据——嘉当判据2）通过找出半单李代数的
标准
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形式——正则基，研究李代数的根，从而给出单纯李代数的分类。研究半单李代数的思路——判据和分类具体推导不细讲，但基本概念和符号（如上下指标等）的数学意义要搞清楚，以便自学。→例题：习题可以证明，结构常数可以写成半单李代数对易关系的标准形式（陶瑞宝《物理学中的群论》）（也称为素根）定理：秩为l的半单李代数有l个线性无关的单根。高于一维的单纯李代数共有四个李代数系列：它们称为典型李代数。还有五个例外：llllDCBA87642EEEFGllllDlSOClUSpBlSOAlSU）群的李代数是的李代数是酉辛群群的李代数是群的李代数是2()2()12()1(++由邓金图分析可以得到所有可能的单李代数3311222111ADAADCBCAB≈⊕≈≈≈≈从图中可以看到，下面各对李代数的邓金图分别相同，因而它们同构，对应的李群局域同构：用邓金图和嘉当矩阵（两种描述方式是等价的）可以计算单纯李代数的全部根矢量（早已被算过，并列表给出）⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−112112221det1AAAAAA最高权111121αnn=Λ=Λ最高权2211Λ+Λ=Λnn仿照角动量理论的讨论可得−−+→→→JEJEJHz111ααα——力学量完全集←→Cartan子代数的基——好量子数←→权和最高权——力学量完全集的共同本征矢←→权空间中的元素——升算符、降算符←→根向量量子力学中的许多方法和结果可以在半李代数理论中找到对应1、关于李群：（1）李群是参数群—参数化；（2）李群的局域性质完全由生成元决定；（3）生成元的性质由结构常数决定；（4）对紧致李群，有限群的主要定理有效。（5）将一般理论用于讨论SO（3）和SU（2）。2、关于李代数：（1）从李群性质由其生成元代数性质决定出发，引入李代数相关概念；（2）集中研究半单李代数—用基林形式判断半单（包括紧致性）；（3）采用根方法讨论李代数的结构和分类—引入邓金图和嘉当矩阵；（4）采用权方法讨论李代数的不可约表示—用最高权确定李代数的不可约表示，用卡斯米尔算符的本征值标记不可约表示；（5）将一般理论用于讨论so（3）。我们所学的连续群知识小结——清理思路 李代数 学习提纲
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