考研高数知识点总结

考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月1一.函数的概念1�用变上、下限积分 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示的函数�1�()dttfyx∫=0�其中()tf连续�则()xfdxdy=�2�()()()dttfyxx∫=21ϕϕ�其中()x1ϕ�()x2ϕ可导�()tf连续�则()[]()()[]()xxfxxfdxdy1122ϕϕϕϕ′−′=2�两个无穷小的比较设()0lim=xf�()0lim=xg�且()()lxgxf=lim�1�0=l�称()xf是比()xg高阶的无穷小�记以()()[]xgxf0=�称()xg是比()xf低阶的无穷小。�2�0≠l�称()xf与()xg是同阶无穷小。�3�1=l�称()xf与()xg是等价无穷小�记以()()xgxf~3�常见的等价无穷小当0→x时xx~sin�xx~tan�xx~arcsin�xx~arctan221~cos1xx−�xex~1−�()xx~1ln+�()xxαα~11−+二�求极限的方法1�利用极限的四则运算和幂指数运算法则2�两个准则准则1�单调有界数列极限一定存在�1�若nnxx≤+1�n为正整数�又mxn≥�n为正整数��则Axnn=∞→lim存在�且mA≥�2�若nnxx≥+1�n为正整数�又Mxn≤�n为正整数��则Axnn=∞→lim存在�且MA≤准则2��夹逼定理�设()()()xhxfxg≤≤若()Axg=lim�()Axh=lim�则()Axf=lim3�两个重要 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 公式1�1sinlim0=→xxx公式2�ennn=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim�euuu=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+∞→11lim�()evvv=+→101lim4�用无穷小重要性质和等价无穷小代换5�用泰勒公式�比用等价无穷小更深刻��数学一和数学二�当0→x时�()nnxxnxxxe0!!212+++++=Λ()()()1212530!121!5!3sin++++−+++−=nnnxnxxxxxΛ()()()nnnxnxxxx22420!21!4!21cos+−+−+−=Λ()()()nnnxnxxxxx01321ln132+−+−+−=++Λ()()1212153012153arctan+++++−+−+−=nnnxnxxxxxΛ()()()()[]()nnxxnnxxx0!11!21112+−−−++−++=+αααααααΛΛ6�洛必达法则法则1��00型�设�1�()0lim=xf�()0lim=xg�2�x变化过程中�()xf′�()xg′皆存在�3�()()Axgxf=′′lim�或∞�则()()Axgxf=lim�或∞��注�如果()()xgxf′′lim不存在且不是无穷大量情形�则不能得出()()xgxflim不存在且不是无穷大量情形�法则2��∞∞型�设�1�()∞=xflim�()∞=xglim�2�x变化过程中�()xf′�()xg′皆存在考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月2�3�()()Axgxf=′′lim�或∞�则()()Axgxf=lim�或∞�7�利用导数定义求极限基本公式�()()()0000limxfxxfxxfx′=∆−∆+→∆[如果存在]8�利用定积分定义求极限基本公式()∫∑=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∞→1011limdxxfnkfnnkn[如果存在]三�函数的间断点的分类函数的间断点分为两类��1�第一类间断点设0x是函数()xfy=的间断点。如果()xf在间断点0x处的左、右极限都存在�则称0x是()xf的第一类间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。�2�第二类间断点第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。四�闭区间上连续函数的性质在闭区间[]ba,上连续的函数()xf�有以下几个基本性质。这些性质以后都要用到。定理1��有界定理�如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续�则()xf必在[]ba,上有界。定理2��最大值和最小值定理�如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续�则在这个区间上一定存在最大值M和最小值m。其中最大值M和最小值m的定义如下�定义设()Mxf=0是区间[]ba,上某点0x处的函数值�如果对于区间[]ba,上的任一点x�总有()Mxf≤�则称M为函数()xf在[]ba,上的最大值。同样可以定义最小值m。定理3��介值定理�如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续�且其最大值和最小值分别为M和m�则对于介于m和M之间的任何实数c�在[]ba,上至少存在一个ξ�使得()cf=ξ推论�如果函数()xf在闭区间[]ba,上连续�且()af与()bf异号�则在()ba,内至少存在一个点ξ�使得()0=ξf这个推论也称为零点定理五�导数与微分计算1�导数与微分表()0=′c()0=cd()1−=′αααxx�α实常数�()dxxxd1−=ααα�α实常数�()xxcossin=′xdxxdcossin=()xxsincos−=′xdxxdsincos−=()xx2sectan=′xdxxd2sectan=()xx2csccot−=′xdxxd2csccot−=()xxxtansecsec=′xdxxxdtansecsec=()xxxcotcsccsc−=′xdxxxdcotcsccsc−=()axxaln1log=′()1,0≠>aaaxdxxdalnlog=()1,0≠>aa()xx1ln=′dxxxd1ln=()aaaxxln=′()1,0≠>aaadxadaxxln=()1,0≠>aa考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月3()xxee=′dxedexx=()211arcsinxx−=′dxxxd211arcsin−=()211arccosxx−−=′dxxxd211arccos−−=()211arctanxx+=′dxxxd211arctan+=()211cotxxarc+−=′dxxxdarc211cot+−=()[]22221lnaxaxx+=′++()dxaxaxxd22221ln+=++()[]22221lnaxaxx−=′−+()dxaxaxxd22221ln−=−+2�四则运算法则()()[]()()xgxfxgxf′±′=′±()()[]()()()()xgxfxgxfxgxf′+′=′⋅()()()()()()()xgxgxfxgxfxgxf2′−′=′⎥⎦⎤⎢⎣⎡()()0≠xg3�复合函数运算法则设()ufy=�()xuϕ=�如果()xϕ在x处可导�()uf在对应点u处可导�则复合函数()[]xfyϕ=在x处可导�且有()[]()xxfdxdududydxdyϕϕ′′==对应地()()[]()dxxxfduufdyϕϕ′′=′=由于公式()duufdy′=不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。4�由参数方程确定函数的运算法则设()txϕ=�()tyψ=确定函数()xyy=�其中()tϕ′�()tψ′存在�且()0≠′tϕ�则()()ttdxdyϕψ′′=()()0≠′tϕ二阶导数()()()()()[]3221tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxydϕϕψϕψ′′′′−′′′=⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=5�反函数求导法则设()xfy=的反函数()ygx=�两者皆可导�且()0≠′xf则()()()[]ygfxfyg′=′=′11()()0≠′xf二阶导数()()[]()dxdydxxfddyygdyg11⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡′=′=′′()()[]()[]()[]{}33ygfygfxfxf′′′−=′′′−=()()0≠′xf6�隐函数运算法则设()xyy=是由方程()0,=yxF所确定�求y′的方法如下�把()0,=yxF两边的各项对x求导�把y看作中间变量�用复合函数求导公式计算�然后再解出y′的表达式�允许出现y变量�7�对数求导法则先对所给函数式的两边取对数�然后再用隐函数求导方法得出导数y′。对数求导法主要用于�①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数关于幂指函数()[]()xgxfy=常用的一种方法考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月4()()xfxgeyln=这样就可以直接用复合函数运算法则进行。8�可微与可导的关系()xf在0x处可微()xf⇔在0x处可导。9�求n阶导数�2≥n�正整数�先求出,,,Λyy′′′ 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出规律性�然后写出()ny�最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式�1�xey=()xney=�2�()1,0≠>=aaayx()()nxnaayln=�3�xysin=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2sinπnxyn�4�xycos=()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=2cosπnxyn(5)xyln=()()()nnnxny−−−−=!111两个函数乘积的n阶导数有莱布尼兹公式()()[]()()()()()∑=−=nkknkknnxvxuCxvxu0其中()!!!knknCkn−=�()()()xuxu=0�()()()xvxv=0假设()xu和()xv都是n阶可导。微分中值定理一�罗尔定理设函数()xf满足�1�在闭区间[]ba,上连续��2�在开区间()ba,内可导��3�()()bfaf=则存在()ba,∈ξ�使得()0=′ξf二�拉格朗日中值定理设函数()xf满足�1�在闭区间[]ba,上连续��2�在开区间()ba,内可导�则存在()ba,∈ξ�使得()()()ξfabafbf′=−−或写成()()()()abfafbf−′=−ξ()ba<<ξ有时也写成()()()xxxfxfxxf∆⋅∆+′=−∆+θ000()10<<θ这里0x相当a或b都可以�x∆可正可负。推论1�若()xf在()ba,内可导�且()0≡′xf�则()xf在()ba,内为常数。推论2�若()xf�()xg在()ba,内皆可导�且()()xgxf′≡′�则在()ba,内()()cxgxf+=�其中c为一个常数。三�柯西中值定理�数学四不要�设函数()xf和()xg满足��1�在闭区间],[ba上皆连续��2�在开区间()ba,内皆可导�且()0≠′xg则存在()ba,∈ξ使得()()()()()()ξξgfagbgafbf′′=−−()ba<<ξ�注�柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广�特殊情形()xxg=时�柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。�四�泰勒定理�泰勒公式��数学一和数学二�定理1��皮亚诺余项的n阶泰勒公式�设()xf在0x处有n阶导数�则有公式()()()()()()()()()()xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=00200000!!2!1Λ考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月5()0xx→其中()()[]nnxxxR00−=()0xx→称为皮亚诺余项。()()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−→0lim00nnxxxxxR前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形�根据不同情形取适当的n�所以对常用的初等函数如()xxxex+1ln,cos,sin,和()αx+1�α为实常数�等的n阶泰勒公式都要熟记。定理2�拉格朗日余项的n阶泰勒公式�设()xf在包含0x的区间()ba,内有1+n阶导数�在[]ba,上有n阶连续导数�则对[]bax,∈�有公式()()()()()()()()()()xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn+−++−′′+−′+=00200000!!2!1Λ其中()()()()()101!1++−+=nnnxxnfxRξ��ξ在0x与x之间�称为拉格朗日余项。上面展开式称为以0x为中心的n阶泰勒公式。当00=x时�也称为n阶麦克劳林公式。如果()0lim=∞→xRnn�那么泰勒公式就转化为泰勒级数�这在后面无穷级数中再讨论。导数的应用�一�基本知识1�定义设函数()xf在()ba,内有定义�0x是()ba,内的某一点�则如果点0x存在一个邻域�使得对此邻域内的任一点()0xxx≠�总有()()0xfxf<�则称()0xf为函数()xf的一个极大值�称0x为函数()xf的一个极大值点�如果点0x存在一个邻域�使得对此邻域内的任一点()0xxx≠�总有()()0xfxf>�则称()0xf为函数()xf的一个极小值�称0x为函数()xf的一个极小值点。函数的极大值与极小值统称极值。极大值点与极小值点统称极值点。2�必要条件�可导情形�设函数()xf在0x处可导�且0x为()xf的一个极值点�则()00=′xf。我们称x满足()00=′xf的0x为()xf的驻点可导函数的极值点一定是驻点�反之不然。极值点只能是驻点或不可导点�所以只要从这两种点中进一步去判断。3�第一充分条件设()xf在0x处连续�在δ<−<00xx内可导�()0xf′不存在�或()00=′xf。°1如果在()00,xxδ−内的任一点x处�有()0>′xf�而在()δ+00,xx内的任一点x处�有()0<′xf�则()0xf为极大值�0x为极大值点�°2如果在()00,xxδ−内的任一点x处�有()0<′xf�而在()δ+00,xx内的任一点x处�有()0>′xf�则()0xf为极小值�0x为极小值点�°3如果在()00,xxδ−内与()δ+00,xx内的任一点x处�()xf′的符号相同�那么()0xf不是极值�0x不是极值点。4�第二充分条件设函数()xf在0x处有二阶导数�且()00=′xf�()00≠′′xf�则当()00<′′xf时�()0xf为极大值�0x为极大值点。当()00>′′xf时�()0xf为极小值�0x为极小值点。考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月6二�函数的最大值和最小值1�求函数()xf在[]ba,上的最大值和最小值的方法首先�求出()xf在()ba,内所有驻点和不可导点kxx,,1Λ�其次计算()()()()bfafxfxfk,,,,1Λ。最后�比较()()()()bfafxfxfk,,,,1Λ�其中最大者就是()xf在[]ba,上的最大值M�其中最小者就是()xf在[]ba,上的最小值m。2�最大�小�值的应用问题首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间�然后再求出目标函数在区间内的最大�小�值。三�凹凸性与拐点1�凹凸的定义设()xf在区间I上连续�若对任意不同的两点21,xx�恒有()()[]()()[]⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+<⎟⎠⎞⎜⎝⎛++>⎟⎠⎞⎜⎝⎛+21212121212212xfxfxxfxfxfxxf则称()xf在I上是凸�凹�的。在几何上�曲线()xfy=上任意两点的割线在曲线下�上�面�则()xfy=是凸�凹�的。如果曲线()xfy=有切线的话�每一点的切线都在曲线之上�下�则()xfy=是凸�凹�的。2�拐点的定义曲线上凹与凸的分界点�称为曲线的拐点。3�凹凸性的判别和拐点的求法设函数()xf在()ba,内具有二阶导数()xf′′�如果在()ba,内的每一点x�恒有()0>′′xf�则曲线()xfy=在()ba,内是凹的�如果在()ba,内的每一点x�恒有()0<′′xf�则曲线()xfy=在()ba,内是凸的。求曲线()xfy=的拐点的方法步骤是�第一步�求出二阶导数()xf′′�第二步�求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点1x、2x、…、kx�第三步�对于以上的连续点�检验各点两边二阶导数的符号�如果符号不同�该点就是拐点的横坐标�第四步�求出拐点的纵坐标。四�渐近线的求法1�垂直渐近线若()∞=+→xfaxlim或()∞=−→xfaxlim则ax=为曲线()xfy=的一条垂直渐近线。2�水平渐近线若()bxfx=+∞→lim�或()bxfx=−∞→lim则by=是曲线()xfy=的一条水平渐近线。3�斜渐近线若()0lim≠=+∞→axxfx�()[]baxxfx=−+∞→lim或()0lim≠=−∞→axxfx�()[]baxxfx=−−∞→lim则baxy+=是曲线()xfy=的一条斜渐近线。五�曲率�数学一和数学二�设曲线()xfy=�它在点()yxM,处的曲率()[]2321yyk′+′′=�若0≠k�则称kR1=为点()yxM,处的曲率半径�在M点的法线上�凹向这一边取一点D�使RMD=�则称D为曲率中心�以D为圆心�R为半径的圆周称为曲率圆。不定积分一�基本积分公式1�Cxdxx++=∫+11ααα()�实常数1−≠α考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月72�∫+=Cxdxxln13�∫+=Caadxaxxln1()1,0≠>aaCedxexx+=∫4�∫+=Cxxdxsincos5�∫+−=Cxxdxcossin6�Cxdxxxdx+==∫∫tancos1sec227�Cxdxxxdx+−==∫∫cotsin1csc228�Cxxdxx+=∫secsectan9�Cxxdxx+−=∫csccsccot10�Cxxdx+−=∫coslntan11�Cxxdx+=∫sinlncot12�Cxxxdx++=∫tanseclnsec13�Cxxxdx+−=∫cotcsclncsc14�∫+=−Caxxadxarcsin22()0>a15�Caxaxadx+=+∫arctan122()0>a16�Cxaxaaxadx+−+=−∫ln2122()0>a17�Caxxaxdx+±+=±∫2222ln()0>a二�换元积分法和分部积分法1�第一换元积分法�凑微分法�设()()CuFduuf+=∫�又()xϕ可导�则()[]()()[]()()()duufxuxdxfdxxxf∫∫∫==′ϕϕϕϕϕ令()()[]CxFCuF+=+=ϕ这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”�也就是非常熟练地凑出微分。常用的几种凑微分形式��1�()()()∫∫++=+baxdbaxfadxbaxf1()0≠a�2�()()()∫∫++=+−baxdbaxfnadxxbaxfnnnn11()0,0≠≠na�3�()()()xdxfxdxxflnlnln∫∫=�4�⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∫∫xdxfxdxxf1112�5�()()()∫∫=xdxfxdxxf2�6�()()()∫∫=xxxxadafadxaafln1()1,0≠>aa()()()∫∫=xxxxedefdxeef�7�()()()∫∫=xdxfxdxxfsinsincossin�8�()()()∫∫−=xdxfxdxxfcoscossincos�9�()()()∫∫=xdxfxdxxftantansectan2�10�()()()∫∫−=xdxfxdxxfcotcotcsccot2�11�()()()∫∫=xdxfxdxxxfsecsectansecsec�12�()()()∫∫−=xdxfxdxxxfcsccsccotcsccsc�13�()()()∫∫=−xdxfdxxxfarcsinarcsin1arcsin2�14�()()()∫∫−=−xdxfdxxxfarccosarccos1arccos2�15�()()()∫∫=+xdxfdxxxfarctanarctan1arctan2�16�()()()∫∫−=+xarcdxarcfdxxxarcfcotcot1cot2考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月8�17�∫∫⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=+⎟⎠⎞⎜⎝⎛xdxfdxxxf1arctan1arctan11arctan2�18�()[]()[]()()∫∫++++=+++22222222lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf()0>a�19�()[]()[]()()∫∫−+−+=−−+22222222lnlnlnaxxdaxxfdxaxaxxf()0>a�20�()()()Cxfdxxfxf+=′∫ln()()0≠xf2�第二换元积分法设()txϕ=可导�且()0≠′tϕ�若()[]()()CtGdtttf+=′∫ϕϕ�则()()()[]()()()[]CxGCtGdtttftxdxxf+=+=′=∫∫−1ϕϕϕϕ令其中()xt1−=ϕ为()txϕ=的反函数。第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数�通过换元把根式去掉�其常见的变量替换分为两大类�第一类�被积函数是x与nbax+或x与ndcxbax++或由xe构成的代数式的根式�例如baex+等。只要令根式()txgn=�解出()txϕ=已经不再有根式�那么就作这种变量替换()txϕ=即可。第二类�被积函数含有()02≠++ACBxAx�如果仍令tCBxAx=++2解出()txϕ=仍是根号�那么这样变量替换不行�要作特殊处理�将0>A时先化为()[]220lxxA±−�0<A时�先化为()()[]202xxlA−−−然后再作下列三种三角替换之一�根式的形式所作替换三角形示意图�求反函数用�22xa−taxsin=22xa+taxtan=22ax−taxsec=3�分部积分法设()xu�()xv均有连续的导数�则()()()()()()∫∫−=xduxvxvxuxdvxu或()()()()()()∫∫′−=′dxxvxuxvxudxxvxu使用分部积分法时被积函数中谁看作()xu谁看作()xv′有一定规律。�1�()axnexP�()axxPnsin�()axxPncos情形�()xPn为n次多项式�a为常数�要进行n次分部积分法�每次均取axe�axsin�axcos为()xv′�多项式部分为()xu。�2�()xxPnln�()xxPnarcsin�()xxPnarctan情形�()xPn为n次多项式取()xPn为()xv′�而xln�xarcsin�xarctan为()xu�用分部积分法一次�被积函数的形式发生变化�再考虑其它方法。�3�bxeaxsin�bxeaxcos情形�进行二次分部积分法后要移项�合并。�4�比较复杂的被积函数使用分部积分法�要用凑微考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月9分法�使尽量多的因子和dx凑成一�定积分的概念与性质1�定积分的性质�1�()()∫∫−=baabdxxfdxxf�2�()0=∫aadxxf�3�()()[]()()∫∫∫+=+bababadxxfkdxxfkdxxfkxfk22112211�4�()()()∫∫∫+=bccabadxxfdxxfdxxf�c也可以在[]ba,之外��5�设ba≤�()()xgxf≤()bxa≤≤�则()()∫∫≤babadxxgdxxf�6�设ba<�()Mxfm≤≤()bxa≤≤�则()()()abMdxxfabmba−≤≤−∫�7�设ba<�则()()∫∫≤babadxxfdxxf�8�定积分中值定理设()xf在[]ba,上连续�则存在[]ba,∈ξ�使()()()abfdxxfba−=∫ξ定义�我们称()∫−badxxfab1为()xf在[]ba,上的积分平均值�9�奇偶函数的积分性质()0=∫−aadxxf�f奇函数�()()∫∫=−aaadxxfdxxf02�f偶函数��10�周期函数的积分性质设()xf以T为周期�a为常数�则()()∫∫=+TTaadxxfdxxf0二�基本定理1�变上限积分的函数定义�设()xf在[]ba,上可积�则()()∫=xadttfxF�[]bax,∈称为变上限积分的函数定理��1�若()xf在[]ba,上可积�则()()∫=xadttfxF在[]ba,上连续�2�若()xf在[]ba,上连续�则()()∫=xadttfxF在[]ba,上可导�且()()xfxF=′推广形式�设()()()()∫=xxdttfxF21ϕϕ�()()xx21,ϕϕ可导�()xf连续�则()()[]()()[]()xxfxxfxF1122ϕϕϕϕ′−′=′2�牛顿一莱布尼兹公式设()xf在[]ba,上可积�()xF为()xf在[]ba,上任意一个原函数�则有()()()()aFbFabxFdxxfba−==∫�注�若()xf在[]ba,上连续�可以很容易地用上面变上限积分的方法来证明�若()xf在[]ba,上可积�牛顿一莱布尼兹公式仍成立�但证明方法就很复杂�三�定积分的换元积分法和分部积分法1�定积分的换元积分法设()xf在[]ba,上连续�若变量替换()txϕ=满足�1�()tϕ′在[]βα,�或[]αβ,�上连续��2�()a=αϕ�()b=βϕ�且当βα≤≤t时�()bta≤≤ϕ�则()()[]()∫∫′=badtttfdxxfβαϕϕ2�定积分的分部积分法设()()xvxu′′,在[]ba,上连续�则()()()()()()dxxvxuxvxudxxvxubababa∫∫′−=′或()()()()()()∫∫−=bababaxduxvxvxuxdvxu考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月10定积分的应用一�平面图形的面积1�直角坐标系模型I()()[]dxxyxySba∫−=121其中()()xyxy12≥�[]bax,∈模型II()()[]dyyxyxSdc∫−=122其中()()yxyx12≥�[]dcy,∈2�构坐标系模型I()θθβαdrS∫=2121模型II()()[]θθθβαdrrS∫−=21222213�参数形式表出的曲线所围成的面积设曲线C的参数方程()()⎩⎨⎧==tytxψϕ�()βα≤≤t()a=αϕ�()b=βψ�()tϕ在[]βα,�或[]αβ,�上有连续导数�且()tϕ′不变号�()0≥tψ且连续�则曲边梯形面积�曲线C与直线bxax==,和x轴所围成�()()∫∫′==βαϕψdtttydxSba二�平面曲线的弧长�数学一和数学二�1�直角坐标系设光滑曲线()xyy=�()bxa≤≤[也即()xy有连续的导数]弧长()[]dxxySba∫′+=21而()[]dxxydS21′+=也称为弧微分2�构坐标系设光滑曲线()θrr=�()βθα≤≤[()θr在[]βα,上有连续导数]弧长()[]()[]θθθβαdrrS∫′+′=223�参数方程所表曲线的弧长设光滑曲线()()⎩⎨⎧==tyytxxC()βα≤≤t[()tx�()ty在[]βα,上有连续的导数]曲线C的弧长()[]()[]dttytxS∫′+′=βα22三�特殊的空间图形的体积�一般体积要用二重积分�1�已知平行截面面积的立体体积设空间一个立体由一个曲面和垂直于z轴两平面cz=和dz=所围成�z轴每一点()dzcz≤≤且垂直于z轴的立体截面的面积()zS为已知的连续函数�则立体体积()∫=dcdzzSV2�绕坐标轴旋转的旋转体的体积�1�平面图形由曲线()xyy=()0≥与直线ax=�bx=和x轴围成绕x轴旋转一周的体积考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月11()dxxyVbax∫=2π绕y轴旋转一周的体积()∫=baydxxxyVπ2�2�平面图形由曲线()yxx=()0≥与直线cy=�dy=和y轴围成绕y轴旋转一周的体积()dyyxVdcy∫=2π绕x轴旋转一周的体积()∫=dcxdyyyxVπ2四�绕坐标轴旋转的旋转曲面的面积�数学一和数学二�设平面曲线ABC∩=位于x轴上方�它绕x轴一周所得旋转曲面的面积为S。1�设AB∩的方程为()xyy=()bxa≤≤则()()[]dxxyxySba∫′+=212π2�设AB∩的极坐标方程为()θrr=�()βθα≤≤则()()[]()[]θθθθθπβαdrrrS22sin2′+′=∫3�设AB∩的参数方程为()txx=�()tyy=�()βα≤≤t则()()[]()[]dttytxtyS222′+′=∫βαπ常微分方程二�变量可分离方程及其推广1�变量可分离的方程�1�方程形式�()()()()0≠=yQyQxPdxdy通解()()∫∫+=CdxxPyQdy�注�在微分方程求解中�习惯地把不定积分只求出它的一个原函数�而任意常数另外再加��2�方程形式�()()()()02211=+dyyNxMdxyNxM通解()()()()CdyyNyNdxxMxM=+∫∫1221()()()0,012≠≠yNxM2�变量可分离方程的推广形式�1�齐次方程⎟⎠⎞⎜⎝⎛=xyfdxdy令uxy=�则()ufdxduxudxdy=+=()cxcxdxuufdu+=+=−∫∫||ln考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月12�2�()()0,0≠≠++=bacbyaxfdxdy令ucbyax=++�则()ubfadxdu+=()cxdxubfadu+==+∫∫�3�⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=222111cybxacybxafdxdy①当02211≠=∆baba情形�先求出⎩⎨⎧=++=++00222111cybxacybxa的解()βα,令α−=xu�β−=yv则⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=uvbauvbafvbuavbuafdudv22112211属于齐次方程情形②当02211==∆baba情形�令λ==1212bbaa则()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=211111cybxacybxafdxdyλ令ybxau11+=�则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+++=+=211111cucufbadxdybadxduλ属于变量可分离方程情形。三�一阶线性方程及其推广1�一阶线性齐次方程()0=+yxPdxdy它也是变量可分离方程�通解公式()∫−=dxxPCey��c为任意常数�2�一阶线性非齐次方程()()xQyxPdxdy=+用常数变易法可求出通解公式令()()∫−=dxxPexCy代入方程求出()xC则得()()()[]∫+=∫∫−CdxexQeydxxPdxxP3�贝努利方程()()()1,0≠=+ααyxQyxPdxdy令α−=1yz把原方程化为()()()()xQzxPdxdzαα−=−+11再按照一阶线性非齐次方程求解。4�方程�()()xyPyQdxdy−=1可化为()()yQxyPdydx=+以y为自变量�x为未知函数再按照一阶线性非齐次方程求解。四�全微分方程及其推广�数学一�1�全微分方程()()0,,=+dyyxQdxyxP�满足yPxQ∂∂=∂∂通解�()Cyxu=,�其中()yxu,满足()()()dyyxQdxyxPyxdu,,,+=求()yxu,的常用方法。第一种�凑全微分法()()()yxdudyyxQdxyxP,,,==+Λ把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流�就很有帮助。�1�⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=+222yxdydyxdx��2�⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−222yxdydyxdx�考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月13�3�()xydxdyydx=+��4�()xydxyxdyydxln=+��5�()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++2222ln21yxdyxydyxdx��6�()⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−−2222ln21yxdyxydyxdx��7�⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−xydxydxxdy2��8�⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−yxdyxdyydx2��9�⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=+−yxdyxxdyydxarctan22��10�⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+−xydyxydxxdyarctan22��11�⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=−−yxyxdyxxdyydxln2122��12�⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=+−yxyxdyxydxxdyln2122��13�()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=++22222121yxdyxydyxdx��14�()⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=−−22222121yxdyxydyxdx��15�()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+++22222arctan211yxdyxydyxdx��16�()()⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=−+−22222arctan211yxdyxydyxdx�第二种�特殊路径积分法�因为积分与路径无关�()()()()()()∫++=yxyxdyyxQdxyxPyxuyxu,,0000,,,,()()()∫∫++=yyxxdyyxQdxyxPyxu00,,,000第三种�不定积分法由()yxPxu,=∂∂得()()()∫+=yCdxyxPyxu,,对y求导�得()()[]()yCdxyxPyyuyxQ′+∂∂=∂∂=∫,,�求出()yC′积分后求出()yC2�全微分方程的推广�约当因子法�设()()0,,=+dyyxQdxyxP不是全微分方程。不满足yPxQ∂∂=∂∂但是存在()yxR,使得()()()()0,,,,=+dyyxQyxRdxyxPyxR为全微分方程�也即满足[][]yRPxRQ∂∂=∂∂则()yxR,称为约当因子�按全微分方程解法仍可求出()()()()()yxdudyyxQyxRdxyxPyxR,,,,,=+通解()Cyxu=,。这种情形�求约当因子是关键。特殊的高阶微分方程考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月14一�可降阶的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式()()xfyn=通解()()nnnxCxCdxxfy++=−∫∫211321Λ次()yxfy′=′′,令py=′�则py′=′′�原方程⇒()pxfp,=′——一阶方程�设其解为()1,Cxgp=�即()1,Cxgy=′�则原方程的通解为()∫+=21,CdxCxgy。()yyfy′=′′,令py=′�把p看作y的函数�则dydppdxdydydpdxdpy=⋅==′′把y′�y′′的表达式代入原方程�得()pyfpdydp,1=——一阶方程�设其解为(),,1Cygp=即()1,Cygdxdy�则原方程的通解为()∫+=21,CxCygdy。二�线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构�其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程()()0=+′+′′yxqyxpy�1�二阶非齐次线性方程()()()xfyxqyxpy=+′+′′�2�1�若()xy1�()xy2为二阶齐次线性方程的两个特解�则它们的线性组合()()xyCxyC2211+�1C�2C为任意常数�仍为同方程的解�特别地�当()()xyxy21λ≠�λ为常数��也即()xy1与()xy2线性无关时�则方程的通解为()()xyCxyCy2211+=2�若()xy1�()xy2为二阶非齐次线性方程的两个特解�则()()xyxy21−为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3�若()xy为二阶非齐次线性方程的一个特解�而()xy为对应的二阶齐次线性方程的任意特解�则()()xyxy+为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4�若y为二阶非齐次线性方程的一个特解�而()()xyCxyC2211+为对应的二阶齐次线性方程的通解�1C�2C为独立的任意常数�则()()()xyCxyCxyy2211++=是此二阶非齐次线性方程的通解。5�设()xy1与()xy2分别是()()()xfyxqyxpy1=+′+′′与()()()xfyxqyxpy2=+′+′′的特解�则()()xyxy21+是()()()()xfxfyxqyxpy21+=+′+′′的特解。三�二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1�二阶常系数齐次线性方程0=+′+′′qyypy其中p�q为常数�特征方程02=++qpλλ特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式�1�当042>−=∆qp�特征方程有两个不同的实根1λ�2λ考研数学知识点-高等数学Editedby杨凯钧2005年10月15则方程的通解为xxeCeCy2121λλ+=�2�当042=−=∆qp�特征方程有二重根21λλ=则方程的通解为()xexCCy121λ+=�3�当042<−=∆qp�特征方程有共轭复根βαi±�则方程的通解为()xCxCeyxsincos21ββα+=2�n阶常系数齐次线性方程()()()012211=+′++++−−−ypypypypynnnnnΛ其中()nipi,,2,1Λ=为常数。相应的特征方程012211=+++++−−−nnnnnppppλλλλΛ特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。�1�若特征方程有n个不同的实根nλλλ,,,21Λ则方程通解xnxxneCeCeCyλλλ+++=Λ2121�2�若0λ为特征方程的k重实根()nk≤则方程通解中含有()xkkexCxCC0121λ−+++Λ�3�若βαi±为特征方程的k重共轭复根()nk≤2则方程通解中含有()()[]xxDxDDxxCxCCekkkkxsincos121121ββα−−+++