2019高考数学(江苏专用)二轮复习专题五函数与导数微专题12函数中的构造思想课件

微专题12函数中的构造思想微专题12　函数中的构造思想    题型一　构造函数研究函数的单调性例1　已知函数f(x)= x2-ax+(a-1)lnx,1<a<5,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),x1≠x2,都有 >-1.证明　令g(x)=f(x)+x= x2-ax+(a-1)lnx+x,1<a<5,则g'(x)=x-a+ +1≥2 +1-a=1- ,因为1<a<5,所以g'(x)>0,即g(x)在(0,+∞)上单调递增,从而当x1>x2>0时有g(x1)>g(x2),即f(x1)+x1>f(x2)+x2,f(x1)-f(x2)>-(x1-x2),则 >-1.【方法归纳】    一些不等式的证明或者大小比较的实质是函数单调性的应用,即对要证明的不等式或比较大小的代数式分析,找出共同特征,由此构造新函数,再利用新函数的单调性研究问题.1-1　设函数f(x)的导函数为f'(x),对任意x∈R,都有f'(x)>f(x)成立,则3f(ln2)与2f(ln3)的大小关系是　　　    . 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 　2f(ln3)>3f(ln2)解析　令g(x)= ,则有g'(x)= >0,所以g(x)在R上单调递增,则g(ln3)>g(ln2),即 > ,即2f(ln3)>3f(ln2).1-2　若定义在 上的函数f(x),其导函数是f'(x),且f(x)<f'(x)tanx成立,则 f 与f 的大小关系是　　　    .答案     f >f 解析　令g(x)=cosxf(x),则g'(x)=f'(x)cosx-f(x)sinx=cosx[f'(x)-f(x)tanx]<0在 上恒成立,则g(x)在 上单调递减,∴g >g ,即cos f >cos ·f , f > f ,即 f >f .题型二　构造函数解不等式例2　(1)设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x<0时,f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,且g(1)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是　　　　　　　    .(2)设函数f(x)是定义在(-∞,0)上的可导函数,其导函数为f'(x),且有f(x)+xf'(x)<x,则不等式(x+2018)f(x+2018)+2f(-2)>0的解集为　　　　　　    .答案　(1)(-∞,-1)∪(0,1)　(2)(-∞,-2020)解析　(1)令F(x)=f(x)g(x),则当x<0时,F'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,则F(x)为增函数,又由f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,得F(x)为奇函数,又由g(1)=0得F(1)=0,结合F(x)的图象可得F(x)<0的解集为(-∞,-1)∪(0,1).(2)令F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x)<x<0,则F(x)在(-∞,0)上是减函数,(x+2018)f(x+2018)+2f(-2)>0⇔(x+2018)f(x+2018)>-2f(-2),即F(x+2018)>F(-2),则x+2018<-2,x<-2020,故不等式的解集为(-∞,-2020).【方法归纳】    利用导数 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 、运算法则的逆向应用构造函数,结合导数与函数单调性的关系研究函数的单调性,利用函数奇偶性的定义研究奇偶性,画出新函数的大致图象,再利用图象解不等式.2-1　设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf'(x)>0,则不等式f( )> f( )的解集为　　　    .答案　[1,2)解析　令F(x)=xf(x),则F'(x)=f(x)+xf'(x)>0,则F(x)是R上的递增函数,所以f( )> f( )⇔ f( )> f( ),即F( )>F( ),则 > ,x<2,故解集是[1,2).2-2　已知f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数f'(x)满足f'(x)>1,且f(2)=3,则关于x的不等式f(x)<x+1的解集为　　　    .答案　(-∞,2)解析　因为f'(x)>1⇒(f(x)-x)'>0,所以函数g(x)=f(x)-x递增,且g(2)=f(2)-2=1,所以不等式f(x)<x+1即为g(x)<g(2),解得x<2.2-3　已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,当x>0时, >0成立,则不等式f(x)>0的解集是　　　    .答案　(-1,0)∪(1,+∞)解析　令g(x)= (x≠0),则g'(x)= >0在(0,+∞)上恒成立,则g(x)在(0,+∞)上递增,又函数f(x)是定义在R上的奇函数,则g(x)是定义域上的偶函数,f(1)=0,则g(-1)=g(1)=0,作出g(x)的大致图象如图,由图可得不等式f(x)>0的解集是(-1,0)∪(1,+∞). 2-4　设函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数为f'(x),且f'(x)>f(x),且f(3)=1,则不等式f(x)>ex-3的解集为　　　    .解析　令g(x)= ,则g'(x)= >0,g(x)在R上是递增函数,∵f(3)=1,∴f(x)>ex-3⇔ > ⇔g(x)>g(3),则x>3,故不等式f(x)>ex-3的解集为(3,+∞).题型三　构造函数求解不等式恒成立问题例3　已知函数f(x)=(lnx-k-1)x(k∈R).(1)若对于任意x∈[e,e2],都有f(x)<4lnx成立,求k的取值范围;(2)若x1≠x2,且f(x1)=f(x2),证明:x1x2<e2k.解析　(1)由题意得,已知条件可转化为不等式(x-4)lnx-(k+1)x<0对于x∈[e,e2]恒成立,即k+1> 对于x∈[e,e2]恒成立.令g(x)= ,则g'(x)= ,令t(x)=4lnx+x-4,x∈[e,e2],则t'(x)= +1>0,所以t(x)在区间[e,e2]上单调递增,故t(x)min=t(e)=e-4+4=e>0,故g'(x)>0,所以g(x)在区间[e,e2]上单调递增,所以g(x)max=g(e2)=2- .所以k+1>2- ,即实数k的取值范围为 .(2)证明:易知函数f(x)在区间(0,ek)上单调递减,在区间(ek,+∞)上单调递增,且f(ek+1)=0.不妨设x1<x2,则0<x1<ek<x2<ek+1,要证x1x2<e2k,只需证x2< ,即证ek<x2< .因为f(x)在区间(ek,+∞)上单调递增,又f(x1)=f(x2),所以证明f(x1)<f 即可,构造函数h(x)=f(x)-f =(lnx-k-1)x-  ,即h(x)=xlnx-(k+1)x+e2k ,x∈(0,ek).则h'(x)=lnx+1-(k+1)+e2k =(lnx-k) ,因为x∈(0,ek),所以lnx-k<0,x2<e2k,即h'(x)>0,所以函数h(x)在区间(0,ek)上单调递增,故h(x)<h(ek),而h(ek)=f(ek)-f =0,故h(x)<0,所以f(x1)<f ,即f(x2)=f(x1)<f ,所以x1x2<e2k成立.【方法归纳】    已知不等式恒成立求参数的取值范围问题的常用方法是分离参数法和构造函数法,在无法使用参数分离法时,一般利用构造函数法求解,将不等式f(x)≥g(x)变形为不等式f(x)≥0型,一般情况下,设F(x)=f(x)-g(x),再转化为F(x)min≥0,x∈D(D为恒成立区间),求解含参函数y=F(x),x∈D的最小值,使其满足F(x)min≥0,x∈D,进而 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出所求参数的取值范围.需要注意的是,构造新函数时要遵循新函数性质较易研究的原则,比如在不等式两边变形后再构造新函数.3-1　已知函数f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+1(a,b∈R).(1)当a=1时,求函数h(x)= 的单调减区间;(2)当a=0时,若f(x)≥g(x)对任意的x∈R恒成立,求b的取值集合.解析　(1)由a=1,得h(x)= ,所以h'(x)= =- .由h'(x)=0,得x1=1,x2=1-b.所以当b>0时,函数h(x)的单调减区间为(-∞,1-b),(1,+∞);当b=0时,函数h(x)的单调减区间为(-∞,+∞);当b<0时,函数h(x)的单调减区间为(-∞,1),(1-b,+∞).(2)令φ(x)=f(x)-g(x),当a=0时,φ(x)=ex-bx-1,所以φ'(x)=ex-b.①当b≤0时,φ'(x)>0,函数φ(x)在R上单调递增.又φ(0)=0,所以x∈(-∞,0)时,φ(x)<0,即f(x)<g(x).②当b>0时,由φ'(x)>0,得x>lnb;由φ'(x)<0,得x<lnb.所以函数φ(x)在(-∞,lnb)上单调递减,在(lnb,+∞)上单调递增.a.当0<b<1时,lnb<0,又φ(0)=0,所以φ(lnb)<0,与已知矛盾;b.当b>1时,同理,φ(lnb)<0,与已知矛盾;c.当b=1时,lnb=0,所以函数φ(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以φ(x)≥φ(0)=0,故b=1满足题意.综上所述,b的取值集合为{1}.