新东方中考数学寒假几何第1章

三角形的证明★★★★★☆level5第一章三角形的证明本章进步目标★★★★★☆Level5通过对本节课的学习，你能够：1．对全等三角形的模型应用达到【初级运用】级别；2．对全等三角形的综合探究达到【高级运用】级别。VISIBLEPROGRESSSYSTEM进步可视化教学体系VISIBLEPROGRESSSYSTEM1U-CANSECONDARYSCHOOLEDUCATION第一关全等三角形的模型应用关卡1-1拉手模型★★★★☆☆初级运用过关指南Tips学习重点：能够找到图形中对应的边和角，以及它们的转化.证明手拉手模型中的全等【初级运用】掌握等腰三角形、等理解手拉手模型的图形会判定手拉手模型中的全等边三角形的简单性质特征三角形的解题步骤 笔记 哲学笔记pdf明清笔记pdf政法笔记下载课堂笔记下载生物化学笔记PDF 1、定义法：完全重合的两个三角形是全等三角形。（注意：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，•但、都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略。）2、边边边：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“SSS”3、边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“SAS”4、角边角：有两角和其夹边对应相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“ASA”5、角角边：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“AAS”6、斜边直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“HL”例题1．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC，BC为边在AB同侧作等边△ACD和等边△BCE，连接AE，DB相交于点G．（1）求证：AE=DB；（2）求∠DGA的度数．2VISIBLEPROGRESSSYSTEM三角形的证明★★★★★☆level52．如图，点C是线段BD上一点，以BC，CD分别为直角边作等腰直角△ABC和等腰直角△CDE，连接BE和AD．求证：（1）BE=AD；（2）BE⊥AD．3．如图，点C是线段BE上一点，分别以BC，CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接BG，DE．（1）猜想图1中线段BG，线段DE的长度关系及其所在直线的位置关系；（2）将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3所示的情形．请通过观察、测量等方法判断第（1）题中得到的结论是否仍然成立，并利用图2证明你的判断．VISIBLEPROGRESSSYSTEM3U-CANSECONDARYSCHOOLEDUCATION过关练习Exercise1错题记录如图，△ABC与△CDE均为等边三角形，连接BE，AD．（1）求证：BE=AD；（2）分别延长AD，BE交于点F，求∠AFB的度数．Exercise2错题记录如图1，△ABC与△CDE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°．连接BE，AD．求证：（1）BE=AD；（2）BE⊥AD；（3）将△CED绕点C逆时针旋转至图2的位置，则第（1）、（2）题中的结论是否成立？证明你的结论．图1图24VISIBLEPROGRESSSYSTEM三角形的证明★★★★★☆level51-2关卡三垂直模型★★★★☆☆初级运用过关指南Tips学习重点：能够找到图形中对应的边和角，以及它们的转化.证明垂直模型中的全等【初级运用】熟知余角的性质会利用直角倒，证明角的等量关系笔记1.等角的余角_________;2.同角的余角_________.例题1．如图，AB，ED分别垂直于BD，点B，D是垂足，点C是线段BD上一点，△ACE是等腰三角形，∠ACE=90°．求证：AB=CD．VISIBLEPROGRESSSYSTEM5U-CANSECONDARYSCHOOLEDUCATION2．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD⊥CD于点D，BE⊥CD于点E．（1）求证：△ACD≌△CBE；（2）若BE=9，CE=4，求DE的长．【B组】3．如图，在△ABC外作正方形ABEF和ACGH，AD是BC上的高，延长DA交FH于点M．求证：FM=HM．6VISIBLEPROGRESSSYSTEM三角形的证明★★★★★☆level5过关练习Exercise1错题记录如图，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积S是（）A．50B．62C．65D．68Exercise2错题记录1．已知：如图（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过点A的一条直线，且点B、点C在AE的异侧，BD⊥AE于点D，CE⊥AE于点E．（1）求证：BD＝DE＋CE；（2）如图（2），若将过点A的直线绕点A旋转，使B，C在DE的同侧．其他条件不变，请问BD与DE，CE之间的关系如何？请证明．【B组】Exercise3错题记录如图，在△ABC中，以AB，AC为边分别向内作正方形ABEF和ACGH，AD是BC上的高，AD交FH于点M．求证：FM=HM．VISIBLEPROGRESSSYSTEM7U-CANSECONDARYSCHOOLEDUCATION1-3关卡倍长中线模型★★★★☆☆初级运用过关指南Tips学习重点：能够找到图形中对应的边和角，以及它们的转化.用倍长中线法构造全等三角形【初级运用】理解倍长中线模型会倍长中线构造全等的明白利用全等证明线段等的基本原理辅助线做法量关系的解题思路笔记例题1．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围．2．在△ABC中，AD平分∠BAC，G为BC的中点，FG∥AD交CA延长线于E．求证：BF=EC．8VISIBLEPROGRESSSYSTEM三角形的证明★★★★★☆level5过关练习Exercise1错题记录已知AD是△ABC的中线，BE交AC于F，交AD于E，且AF=EF．求证：AC=BE．Exercise2错题记录如图，在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，DE=EC，过D作DF∥BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC．VISIBLEPROGRESSSYSTEM9U-CANSECONDARYSCHOOLEDUCATION1-4关卡角平分线模型★★★★☆☆初级运用过关指南Tips学习重点：掌握三种利用角平分线构造全等的方法，并识别三种方法分别适用的情况.利用角平分线构造全等【初级运用】理解角平分线和对称的掌握三种利用角平分线构造全等识别三种方法分别适用的概念与性质的方法情况笔记模型介绍：(1)如图1：DA平分∠EAF，根据角平分线的性质，可得DE=DF；DE，DF是两条常用的辅助线.(2)如图2：DA平分∠EAF，易得△ADF≌△ADE；DE是一条常用的辅助线.(3)如图3：DA平分∠EAF，易得△ADF≌△ADE；这是角分线常构的一组全等.例题1．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线．求证：BC=AB+AD．2．已知，在四边形ABCD中，BC＞BA，∠A+AC=180△，且∠C=600，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+DC．10VISIBLEPROGRESSSYSTEM三角形的证明★★★★★☆level5过关练习Exercise1错题记录如图所示，直线MA∥NB，∠MAB与∠NBA的平分线交于点C，过点C作一条直线l与两条直线MA，NB分别相交于点D，E．(1)如图1所示，当直线l与直线MA垂直时，猜想线段AD，BE，AB之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明.(2)如图2所示，当直线l与直线MA不垂直且交点D，E都在AB的同侧时，(1)中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.(3)当直线l与直线MA不垂直且交点D，E在AB的异侧时，(1)中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD，BE，AB之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．VISIBLEPROGRESSSYSTEM11U-CANSECONDARYSCHOOLEDUCATION1-5关卡半角模型★★★★☆☆初级运用过关指南Tips学习重点：识别出半角模型，通过旋转构造出全等三角形．用半角模型构造全等三角形【高级运用】能在复杂的图形中找会通过旋转构造掌握全等三角形掌握全等三角形的出半角模型全等三角形的判定性质笔记例题1．如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，∠EAF=45°，求证：BE+DF=EF.2．如图，△ABC是边长为3cm的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点做一个60°角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长.12VISIBLEPROGRESSSYSTEM三角形的证明★★★★★☆level5过关练习Exercise1错题记录在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的一半，例题1中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.思考：若∠B、∠D都不是直角，那么当∠B与∠D满足什么等量关系时，仍可得出结论EF=BE+DF？Exercise2错题记录如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，点M是AB延长线上一点，点N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°，试探究BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明.VISIBLEPROGRESSSYSTEM13U-CANSECONDARYSCHOOLEDUCATION第二关全等三角形的综合探究2-1关卡三角形的综合探究★★★★★☆高级运用过关指南Tips学习重点：掌握全等三角形证明的一般方法及会利用模型解题.三角形的综合探究（高级运用）会全等三角形掌握全等三角的五种证明方形的重要模型法笔记例题1．已知：△ABC为等边三角形，为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD=DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点，点在AC的延长线上时，求证：BD+AB=AE；（2）如图2，当点D为线段BC上任意一点，点在AC的延长线上时，（1）的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点在线段AC上时，请直接写出BD、AB、AE的数量关系．14VISIBLEPROGRESSSYSTEM三角形的证明★★★★★☆level5过关练习Exercise1错题记录如图1，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．（1）操作发现如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是；②设△BDC的面积为S，△AEC的面积为S，则S与S的数量关系是．1212（2）猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想（1）中S与S的数量关系仍然成12立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想．（3）拓展探究已知∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，BD=CD=4，DE∥AB交BC于点E（如图4）．若在射线BA上存在点F，使S=S，请直接写出相应的BF的长．△DCF△BDEVISIBLEPROGRESSSYSTEM15