备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题12不等式A辑历年联赛真题汇编1．【2007高中数学联赛（第01试）】设实数a使得不等式对任意实数x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是()A．B．C．D．【
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
】A【解析】令，则有，排除B，D.由对称性排除C.从而只有A正确.故选A．.一般地，对k∈R，令，则原不等式为，由此易知原不等式等价于，对任意的k∈R成立.由于，所以，从而上述不等式等价于.2．【2005高中数学联赛（第01试）】使关于x的不等式有解的实数k的最大值是()A．B．C．D．【答案】D【解析】令，则，所以，当时，，故y的最大值为，所以实数k的最大值为.故选：D.3．【2004高中数学联赛（第01试）】不等式的解集为()A．B．C．D．【答案】C【解析】原不等式等价于，设，则有，解得，即，所以.故选：C.4．【2003高中数学联赛（第01试）】已知x，y都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数的最小值是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得,故，而，故当，即时，的值最小，而此时函数u有最小值，故选：D.5．【2001高中数学联赛（第01试）】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较，结果是()A．2枝玫瑰价格高B．3枝康乃馨价格高C．价格相同D．不确定【答案】A【解析】由题意得，令，联立解得，所以，因为，所以，所以.故选：A.6．【1986高中数学联赛（第01试）】设实数a，b，c满足，那么a的取值范围是()A．B．C．D．【答案】D【解析】由得，所以，即.所以1≤a≤9.故选：D.7．【1986高中数学联赛（第01试）】边长为a，b，c的三角形，其面积等于，而外接圆半径为1，若，则s与t的大小关系是().A．s>tB．s=tC．s
表
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示的区域.当x>1时，可得,当0乙.(ii)当a=1，b=时，经计算可知，甲>丙；而当a=2，b=3时，则有甲<丙，说明甲和丙的值的大小与a，b取值有关.11．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】若正整数a、b、c满足2017≥10a≥100b≥1000c，则数组(a，b，c)的个数为.【答案】574【解析】由条件知.当c=1时，有10≤b≤20.对于每个这样的正整数b，由10b≤a≤201知，相应的a的个数为202－10b.从而这样的正整数组的个数为.当c=2时，由，知b=20.进而201，故a=200，201.此时共有两组(a，b，c)综上所述，满足条件的正整数组的个数为572+2=574.12．【2016高中数学联赛（第01试）】设实数a满足，则a的取值范围是.【答案】【解析】由a<|a|可得a<0，原不等式可变形为，即，所以.又a<0，故.13．【2013高中数学联赛（第01试）】设a，b为实数，函数f(x)=ax+b满足：对任意x∈[0，1]，有.则ab的最大值为.【答案】【解析】易知，则.当，即时故ab的最大值为.14．【2012高中数学联赛（第01试）】设x，y，z∈[0，1]，则的最大值是.【答案】【解析】不妨设，则，因为，所以.当且仅当即时，上式等号同时成立.故.15．【2011高中数学联赛（第01试）】设a，b为正实数，，(a－b)2=4(ab)3，则.【答案】【解析】由得，又，即①于是②再由不等式①中等号成立的条件，得，与式②联立解得或.故.16．【2010高中数学联赛（第01试）】方程x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解(x，y，z)的个数是.【答案】336675【解析】首先易知的正整数解的个数为，把x+y+z=2010满足x≤y≤z的正整数解分为3类：(1)x，y，z均相等的正整数解的个数显然为1；(2)x，y，乙中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003；(3)设x，y，乙两两均不相等的正整数解为k.易知，所以.即.从而满足x≤y≤z的正整数解的个数为.17．【2009高中数学联赛（第01试）】在坐标平面上有两个区域M和N，M为，N是随t变化的区域，它由不等式t≤x≤t+1所确定，t的取值范围是0≤t≤1，则M和N的公共面积是函数f(t)=.【答案】【解析】由题意知.18．【2008高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(0)=2008，且对任意x∈R，满足，，则f(2008)=.【答案】【解析】解法一由题设条件知，因此有，故.解法二令，则，，即，故，得g(x)是周期为2的周期函数，所以.19．【2003高中数学联赛（第01试）】不等式的解集是.【答案】【解析】由原不等式分解可得，由此得所求不等式的解集为.当x≥0时，原不等式为，即.注意到x≥0，得，因为为偶函数.所以当x<0时，解为，故原不等式的解集为.20．【2002高中数学联赛（第01试）】若，则的最小值是.【答案】【解析】注意到，所以，由对称性只考虑y≥0，因为x>0，所以只需求x－y的最小值.令，代入有，这个关于y的二次方程显然有实根，故，所以，当时，故的最小值为.21．【2001高中数学联赛（第01试）】不等式的解集为.【答案】或或【解析】从外形上看，这是一个绝对值不等式，先求得或或，从而或或.22．【1997高中数学联赛（第01试）】设，，，记a,b,c中最大数为M，则M的最小值为.【答案】【解析】由已知条件得，，.设中的最大数为u，则.由已知条件知x，y，z均为正数，于是.所以，u≥2，且当时，u=2，故u的最小值为2，从而M的最小值为.23．【1995高中数学联赛（第01试）】在直角坐标平面上，满足不等式组的整点个数是.【答案】2551【解析】两条坐标轴及直线x+y=100所围区域(含边界)上的整点共有(个)而及x轴所围区域(边界不包括)上的整点共有(个).又，及y轴所围区域(边界不包括y=3x)上的整点也有1300个.所以，满足题设条件的整点共有(个).24．【1994高中数学联赛（第01试）】已知有向线段PQ的起点P和终点Q的坐标分别为(－1，1)和(2，2)，若直线l：x+my+m=0与PQ的延长线相交，则m的取值范围是.【答案】【解析】直线l的方程，即，显然是经过点M(0，－1)的直线方程.过点M作直线，显然，l1的斜率为，过M，Q作直线l2，则l2的斜率为.如图所示，与PQ的延长线相交的直线l应夹在l1与l2之间，即(k为l的斜率).于是，，.25．【1993高中数学联赛（第01试）】实数x，y满足，设，则的值为.【答案】【解析】解法一易知.设，代入，得.于是，有，因为，所以.解法二令，代入条件得，.因此有，，，.26．【1993高中数学联赛（第01试）】设任意实数，要使恒成立，则k的最大值是.【答案】9【解析】将原不等式改写为.即.令，于是原不等式成为，但是.当且仅当时，等号成立(即构成等比数列时，取到等号).所以.27．【1990高中数学联赛（第01试）】设n为自然数，a，b为正实数，且满足a+b=2，则的最小值是.【答案】1【解析】因为ab>0，所以，.故，当a=b=1时，上式等于1，故最小值为1.28．【1990高中数学联赛（第01试）】设n是自然数，对任意实数x，y，z恒有成立，则n的最小值是.【答案】3【解析】解法一令，题设不等式变为.一方面.所以当x=3时，不等式成立；另一方面，当时，题设不等式化为，必有n≥3，故n最小值为3.解法二.或者，直接由柯西不等式.优质模拟题强化训练1．已知,则正确的结论是( )A．B．C．D．大小不确定【答案】B【解析】因为，，又，则．2．若x､y满足|y|≤2-x，且x≥-1，则2x+y的最小值为（）A．B．C．1D．4【答案】B【解析】原题条件等价于，作出可行域如图所示，知2x+y在x=-1，y=-3时取得最小值.故选：B.3．已知个正实数，且，令，，其中，，则、的大小关系是（）.A．B．C．随而确定D．完全不确定【答案】B【解析】构造，夹角.如图，在射线、上依次取个点及，使，.由余弦定理，得，即.设与，，…，依次交于点.则由,所以.选B.4．已知点既在椭圆内部（包括边界），又在圆外部（包括边界）.若、.则的最小值为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】由已知有且.于是，.化简得.化简得.从而，.故.而.又，故其等价于.由及，知上述不等式成立.故.当，时符合条件且取到最小值.选B.5．已知.则对任意，必有（）A．B．C．D．的值不确定【答案】A【解析】因，等于成立当且仅当与一个取，另一个取1，此时，对任意，必有.故答案为:A6．对，记，.则、的大小关系为（）.A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】由，相加得.故答案为：B7．对于满足的一切实数p，不等式恒成立。则x的取值范围是（）。A．B．C．D．或【答案】D【解析】将原不等式变性得.设.则是关于的一次函数.由原不等式得，即，解得或.故答案为：D8．已知实数满足.则的最小值是（）.A．2B．3C．D．6【答案】D【解析】显然，a、b、c中至少有一个是正的，不妨设为a.由，得关于x的方程有两实根.故.结合a＞0可得a≥4.则.故答案为：D9．已知、、，且，，则的最小值为（）.A．B．C．36D．45【答案】C【解析】由，.知.当时，取得最小值36.故答案为：C10．设，，．则、的大小关系是（）．A．B．C．D．三种情况均有可能【答案】B【解析】由，有．故，即，亦即．移项即得．故答案为：B11．已知函数.当，时，与的大小关系是（）.A．B．C．D．【答案】A【解析】注意到，则.又因此，.12．已知实数、、满足.则、、这三个数中，大于1的数最多有（）个.A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】假设、、都大于1.由，知、、中至少有一个是正数，不妨设.则.从而，.因此，、、均为正数.由，得.由，得，即.所以，，得.同理，.这与矛盾.故、、不可能都大于1.事实上，、、可以有2个大于1（如取，，，则，）.故答案为：B13．若，，则的最小值为（）.A．4B．6C．8D．不存在【答案】A【解析】.当且仅当时，上式等号成立.14．设，且.则使恒成立的实数的最大值是（）.A．B．C．D．【答案】D【解析】设，且.则.从而，使不等式恒成立的实数的最大值是.15．若，则必有（）.A．B．C．D．【答案】C【解析】取，代入选项得.选C.16．设，已知对一切的x∈[0,1]，恒有|f(x)|≤1.则实数a的取值范围是().A．B．C．2≤a≤4D．【答案】D【解析】由题设知，对0≤x≤1，恒有.当x=0时，a可取任意实数.当0
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