考研数学积分中值定理及其推广和应用分析

考研数学积分中值定理及其推广和应用分析a2015考研数学：积分中值定理及其推广和应用分析来源：文都教育在考研数学中，积分中值定理是一个有用的分析证明工具，考试中经常会用到。积分中值定理有3种情形：基本的积分中值定理、推广的积分中值定理、两个函数相乘时的积分中值定理。一般高等数学教材上对第一种情形的积分中值定理都有介绍说明，但对后两种情形可能没有相应说明。为了使各位考生对积分中值定理有一个更深刻的理解和更灵活的运用，那么，老师对积分中值定理及其推广和应用分析做一个全面的分析介绍，供各位考生参考。基本的积分中值定理：设函数f(x)在［a,b］上连续，则至少...

a2015考研数学：积分中值定理及其推广和应用分析来源：文都教育在考研数学中，积分中值定理是一个有用的分析证明工具，考试中经常会用到。积分中值定理有3种情形：基本的积分中值定理、推广的积分中值定理、两个函数相乘时的积分中值定理。一般高等数学教材上对第一种情形的积分中值定理都有介绍说明，但对后两种情形可能没有相应说明。为了使各位考生对积分中值定理有一个更深刻的理解和更灵活的运用，那么，老师对积分中值定理及其推广和应用分析做一个全面的分析介绍，供各位考生参考。基本的积分中值定理：设函数f(x)在［a,b］上连续，则至少存在一点gw［a,b］，使Jbf(x)dx二f(g)(b-a)a证明：设f(x)在［a,b］上的最大和最小值分别为M,m，则m0，f(x)在[a,b]上的最大和最小值分别为M,mm0，则m<— 题例1.(2008年考研数学二第(20)题)证明积分中值定理：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，则至少存在一点耳g[a,b],使得Ibf(x)dx=f(n)(b—a)；a若函数9(x)具有二阶导数，且满足叽2)>申(1)，叽2)>J3Q(x)dx，贝y至少存在一点gg(1,3)，使得0'(g)<0.2解析：(I)的证明见上面定理1的证明.(II)的证明实际上就用到上面推广的积分中值定理：由定理2知，存在ng(2,3)，使得J39(x)dx=^(n).2g)-申⑴＞02^1能)-哄2)耳一2由g)>g),利用微分中值定理’存在gie(1,2)'使得叫=由g)>側)，再利用微分中值定理’存在勺e(站)，使得应J=存在存在ge忆，g)u(1，3)，使得0’忆)=申电)yv0.12g-g21例2.(2010年考研数学三第(19)题)设函数f(x)在【0,3］上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且2f(0)=12f(x)dx=f⑵+f(3),0(I)证明：存在qe(0,2)，使f们)=f(0)；(II)证明：存在ge(0,3)，使f〃忆)=0解析：(I)的证明其实就是推广的积分中值定理：由上面定理2知，存在qe(0,2)，使12f(x)dx=2f(q)，故f们)=f(0)；0(II)的证明：由洛尔中值定理知，存在%e(0,q)，使fr(g1)=0；由连续函数的介值定理知，存在ce［2,3］，使f(c)=f(2)；f(3)=f(0)=f(q),再由洛尔中值定理知，存在ge(q,c)，使f'(g)=0,进一步用洛尔中值定理知，存在ge(g,g)u(0,3)，使f"(g)=0.2212上面就是考研数学中关于积分中值定理及其推广的应用分析，供考生们参考借鉴。在以后的时间里，老师还会陆续向考生们介绍考研数学中其它知识点和重要题型的分析，希望各位考生留意查看。最后预祝各位学子在2015考研中取得佳绩，成功实现自己的人生梦想。

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