理论力学讲义

PAGEPAGE105理论力学讲义铜仁学院物理与电子科学系冯云光绪论一、理论力学研究对象和任务：1、研究对象；研究物体机械运动普遍遵循的基本规律并将其用严密的数学表述，使其完全可以用严格的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 来加以处理。机械运动物体在空间的相对位置随时间而改变的现象。2、任务：归纳机械运动的规律。（借助严密的数学规律进行归纳）3、表达方式；（理论力学分为矢量力学和分析力学两大部分。）（1）、矢量力学（牛顿力学）从物体之间的相互作用出发，借助矢量分析这一数学工具，运用形象思维方法，通过牛顿定律揭示物体受力与其运动状态之间的因果关系来确定物体的运动规律。特点：形象直观，易于处理简单的力学问题，范围：仅能解决经典力学问题。（在矢量力学中，涉及量多数是矢量，如力、动量、动量矩、力矩、冲量等。力是矢量力学中最关键的量。）（2）、分析力学：从牛顿力学的基础上发展起来的，它借助数学分析这一工具，运用抽象思维方法，研究力学体系整体位形变化。特点“从各种运动形态通用的物理量—能量出发，它的运用远远超出经典力学范围，也适用非力学体系。（分析力学中涉及的量多数是标量，如动能、势能、拉格朗日函数、哈密顿函数等。动能和势能是最关键的量。）（分析力学是由拉格朗日、哈密顿等人建立并完善起来的经典力学理论，它的理论体系和处理问题方法，完全不同于牛顿力学，它代表经典力学的进一步发展，它揭示出支配宏观机械运动的更普遍的规律，以致能用比较统一的方法处理力学体系的运动问题，它揭示出力学规律与其他物理的过渡起了重要作用，分析力学已经成为学习后继课程的必要基础。）二、理论力学的研究内容1、运动学：从几何的观点来研究物体位置随时间的变化规律，而未研究引起这种变化的物理原因。2、动力学：研究物体运动和物体间相互作用的联系，阐明物体运动的原因。3、静力学：研究物体相互作用下的平衡问题。（它可以看作动力学的一部分，质点、质点系，刚体）三、理论力学的研究方法1、理论力学的研究方法观察、实验， 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 实验规律，建立物理模型，提出合理假设，数学演绎、逻辑推理，探讨规律，实验验证。（即：从实践出发，经过抽象化、综合、归纳，建立公里，再应用数学演绎和逻辑推理而得到定理和结论，形成理论体系，然后再通过实践来证明理论的正确性。）2、理论力学与普通物理力学的关系以及区别：（1）方法上不一样，不再从实验开始，而是将实验规律用数学表述，从理论上进行推理，运算。（2）研究对象一样，基本规律相同，但研究更系统更深入。（3）分析力学以达朗伯原理为基础，以能量作为基本量，建立的体系与近代物理更接近。（理论力学与普通物理的力学不同点是：逻辑推理、数学演绎更强。主要数学要求是：微积分和解常系数微分方程。）四、经典力学的适用范围：(1)宏观物体；（2）低速五、理论力学的学习目的与任务:1、学习质点、质点系和刚体机械运动的一般规律，为后续课程打下坚实基础。(对机械运动有一个全面的认识。)2、运用严密的数学规律，对机械运动的规律进行理论推证。3、培养辩证唯物主义的世界观,提高分析问题解决问题的能力.4、三个方面要求：（1）准确地理解基本概念：（2）熟悉基本定律与公式；（3）能在正确条件下灵活应用。六、学习理论力学的几点注意：1、理论联系实际。2、培养科学的逻辑思维方法。3、注意表达式中的物理意义。4、认真对待作业。5、学习方法（1）作听课笔记（2）及时复习，温故而知新。6、学习态度：认真、务实教科书周衍柏，《理论力学教程》（第三版），高等教育出版社，2009年7参考书目[1]苏云荪，《理论力学》，高等教育出版社，1990年[2]梁昆淼，《力学》（上），高等教育出版社，1965年[3]梁昆淼，《力学》（下），人民教育出版社，1981年[4]许健民等，《理论力学解题分析》，江苏科学技术出版社,1981年[5]谢宝田等，《理论力学教程习题解》，中国科学技术出版社,1991年[6]H.戈德斯坦等，《经典力学》，科学出版社，1981年[7]阎康年，《牛顿的科学发现与科学思想》，湖南教育出版社，1989年[8]朱照宣，《理论力学》（上），北京大学出版社，1982年[9]朱照宣，《理论力学》（下），北京大学出版社，1982年[10]肖士珣，《理论力学简明教程》，高等教育出版社，1983年数学准备知识—矢量分析基础：一、矢量与矢量场1、矢量及表示2、标量场量场标量场空间某一区域定义一个标量函数,其值随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一标量场。如温度场,电位场,高度场等矢量场空间某一区域定义一个矢量函数,其大小和方向随空间坐标的变化而变化，有时还可随时间变化。则称该区域存在一矢量场。如速度场,电场、磁场等.二、矢量代数1、矢量和2.点乘（标量积、投影积）--对应分量相乘的和3.叉乘（矢量积）－行列式展开4、矢量代数公式三、常用坐标系1、直角坐标系：方向单位矢量：位置矢量矢量表示：2、圆柱坐标系()方向单位矢量：位置矢量矢量表示：3、球面坐标系()方向单位矢量：位置矢量：矢量表示：4、坐标变换圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系四、场论——梯度、散度和旋度1、标量场的梯度（1、）等值面（线）由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。即若标量函数为，则等值面方程为：（2）、梯度的定义（3）、梯度的物理意义1)、标量场的梯度为一矢量，且是坐标位置的函数；2)、标量场的梯度表征标量场变化规律：其方向为标量场增加最快的方向，其幅度表示标量场的最大增加率。（4）、直角、圆柱和球坐标系中梯度的表达1）在直角坐标系中2）在柱面坐标系中：3）在球面坐标系中：2、矢量场的通量散度（1）、矢量线（力线）矢量线的疏密表征矢量场的大小；矢量线上每点的切向代表该处矢量场的方向；（2）、矢量场的通量若矢量场分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则定义：矢量场的通量为矢量沿有向曲面S的通量。若S为闭合曲面物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。讨论：1）面元定义；2）3)通过闭合面S的通量的物理意义：a)若0闭合面内有产生矢量线的正源；b)若，闭合面内有吸收矢量线的负源c)若，闭合面无源。(3)、矢量场的散度的定义在场空间中任意点M处作一个闭合曲面，所围的体积为，则定义场矢量在M点处的散度为：(4)、散度的物理意义1)矢量场的散度代表矢量场的通量源的分布特性2)矢量场的散度是一个标量；3)矢量场的散度是空间坐标的函数（无源）负源源)（正源)4)矢量场的散度值表征空间中通量源的密度。讨论：在矢量场中，1）若，则该矢量场称为有源场，为源密度2）若处处成立，则该矢量场称为无源场。(5)、散度的计算在直角坐标系下3、矢量场的环流旋度(1)、矢量的环流的定义：在场矢量空间中，取一有向闭合环流的计算路径l，则称沿l积分的结果称为矢量沿l的环流。即：讨论1）线元矢量的定义；2）3）环流意义：若矢量场环流为零，矢量场无涡漩流动；反之，则矢量场存在涡漩运动---反映矢量场漩涡源分布情况。在场矢量空间中，围绕空间某点M取一面元S，其边界曲线为C，面元法线方向为，当面元面积无限缩小时，可定义、在点处沿方向的环量面密度（2）、环流面密度M表示矢量场在点M处沿方向的漩涡源密度；（3）、矢量场的旋度旋度是一个矢量，模值等于环量密度的最大值；方向为最大环量密度的方向。用表示，即：式中：表示矢量场旋度的方向；（4）、旋度的物理意义1）矢量的旋度为矢量，是空间坐标的函数；2）矢量在空间某点处的旋度表征矢量场在该点处的漩涡源密度；（5）、旋度的计算1)在直角坐标系下：五、矢量微分算子1、微分算子的定义微分算子是一个“符号”矢量（1）、直角坐标系符算梯度散度旋度从以上的过程中可以清楚地看出，算子确实把对矢量函数的微分运算转变为矢量算子与矢量的代数运算。注意：算子在上述的定义与规定下可以将它看成一矢量来按照矢量代数规则进行运算，但又不能完全将它与一普通矢量等同，因为它的分量是微分算符而不是真实矢量的分量。这样，两个普通矢量代数运算的某些性质对就不成立。例如：普通矢量有，但是，即算子进行运算时，除了上面的定义与规定外，还必须对包含有算子的算式做进一步的补充定义。（2）、圆柱坐标系（3）、在球坐标系第一章质点力学将物体抽象为只有质量的几何点加以研究是天才的做法，质点模型是物理学中最简单的理想模型，但它很有效，用它可以将物体机械运动的最基本的特征清楚地加以表述，它还是研究质点组、刚体、流体等的基础。质点力学先研究对运动加以描述的运动学，然后研究动力学规律，在处理动力学问题中，动量定理、动能定理以及与它们对应的守恒定律不但非常有用，而且其意义超出了力学范畴。有心力是非常基本的作用力，对它做专门研究很有必要。§1.1运动的描述方法一、参照系与坐标系[物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定，为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体就叫做参照系或参考系。]1、参照系:为确定物体在空间的位置而选定的作为参照标准的某物体上固连的框架。（依据准则，确定参考系后，讨论物体运动才有意义；参考系不同，运动规律则不同。）2、坐标系:为了描述物体在空间的相对位置而在参照系上建立的数学体系。z0xj^kyz(t)y(t)x(t)r(t)P(t)（数学工具，用于定量讨论物体的运动，它与参考系相固连，是参考系的数学抽象（代表与参考系相固连的整个空间），同一参考系可建立不同的坐标系，对同一参考系不管选用什么坐标系，运动规律都相同）注意（1）参照物大小是有限的，参照系可理解为全空间的；（2）参照系是物理的，坐标系是数学的。^i（3）观察者是站在参照系的观察点上不特别说明都以地球为参照系。3、质点位置的描述（质点（particle）（理想化的抽象模型）抽掉物体的形状和大小，只保留质量的几何点。）位置矢量：自参考点（原点0）引向质点P所在位置的矢量。质点位矢在直角坐标系中的表示其大小：方向余弦：，，常用的还有极坐标系，柱坐标系，球坐标系，自然坐标系二、运动学方程及轨道1、运动方程描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度。写出质点的运动学方程是研究质点的运动学的首要任务。一般常用的方程有（1）矢量形式的运动学方程当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导的。特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。（2）直角坐标形式的运动学方程（3）自然坐标形式的运动学方程对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便，各运动参数的物理意义明确。（4）极坐标下的运动学方程当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动量的方法称为分析方法。r(t+Δt)r(t)P2ΔS·xyzP10·2、轨道：质点运动过程中空间描述出的连续曲线,运动学方程中消去t得轨道方程。(直线运动、曲线运动)三、位移、速度与加速度1、位移：位置矢量的增量在直角坐标系中注意：（1）质点的位移是矢量，其大小（2）质点的位移与坐标系的选择无关（3）路程：在一段时间内质点在其轨迹上经过的路经的总长度。(4)位移与路径不同，当时P2P1·xr(t+Δt)r(t)yz0v(t)v(t+Δt)·有限位移无限小位移2、瞬时速度定义：Δvv(t)v(t+Δt)速度的大小——速率速度的方向：1切向并指向质点前进方向。3、瞬时加速度§1.2速度、加速度的分量表示式1、直角坐标系：速度：分量式：，，大小：的方向余弦可见完全确定了（大小，方向）或：加速度：＝＋＋＝加速度大小加速度方向也同样可以用方向余弦表示2、极坐标：质点运动方程：速度：（大小变化引起的）径向速度（方向变化引起的）横向速度先求，，沿的正方向同理沿的负方向，，速度加速度第一项第二项于是：径向加速度：横向加速度：3、自然坐标系(内禀坐标系)质点沿已知平面轨道曲线运动,速度沿轨道切线方向,则将加速度分解为切向分量和法向分量,,其中分别为切线方向和法线方向的单位矢,与X轴夹角为，在轨道曲线上选一定点作为弧坐标的原点，则，规定的正方向指向增加方向。由，可得：，速度：速加度：其中：，，。自然坐标系中的速度、加速度投影分别为那么，该质点速度其大小，方向与该质点所在轨迹的切向相平行，当的方向为的方向的负方向为的方向。加速度为大小为（也称全方向其中是加速度（也称全加速度，位于密切面内）与主法向夹角。切向加速度改变质点的速度大小；法向加速度改变质点的速度方向。注：（1）（完全取决于轨道本身的形状，与坐标系的选取无关内禀方程，若视轨道切线和法线（正交）为坐标系自然坐标系（2），由速度量值变化引起，不变时，匀速率曲线运动；一般不为零，是由速度方向改变引起的。例题[1]、求椭圆规尺上M点的轨道方程、速度和加速度解：1）、选择参照系，坐标系，2）、写出M点的坐标消去参数得轨道方程：速度分量：，对B点：，，于是：，，点的加速度：例[2]已知一质点的运动方程，，求，解：，例[3]已知质点沿螺旋线运动，，，求：，，解：，，，。，，§1.3平动参照（1）绝对速度、相对速度与牵连速度参考系不同,对同一物体其运动规律不同,有何联系?令是静止参考系,运动参考系,两观测者分别处于,中,二者对时间和长度进行测量,结果有无差异?宏观物体低速测量结果相同伽利略Galilean变换经典力学Newton宏观物体高速测量结果不同洛伦兹lorentz变换相对论力学Einstein，，故，，此称绝对速度即（1.3.1）此称牵连速度此称相对速度（2）绝对加速度、相对加速度与牵连加速度在经典假设下，v< 工程 路基工程安全技术交底工程项目施工成本控制工程量增项单年度零星工程技术标正投影法基本原理 问题地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大问题的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系；在分析行星的运动时,地心本身作公转，必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度大约是3×10-8厘米/秒2，一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了。四、伽利略相对性原理：（经典力学的相对性原理）在运动学中，参考系可以任意选取，在动力学中则不然！1、惯性系与非惯性系惯性参照系：即牛顿定律成立的参照系。否则称非惯性参照系可近似视地球为惯性系2、伽利略变换式定性说明：匀速直线运动船中力学现象（力学规律）与在地面上相同定量讨论：系：将时钟分别放于0，1，2，…且对准系：将时钟放于，…v<E,v为虚值，质点不能进入VE,v为虚值，质点不能进入例一维守恒力（保守力）势垒势阱对于一维守恒力（保守力）（1）区域经典禁区（2）区域内振动运动（3）经典禁区（4）区域内任意点经典力学只有时质点可越过势垒量子力学隧道效应小结：（1）若：，1、（2）若：，（3）若：，2、牛顿第二定律是二阶微分方程，守恒定律是一阶的称为第一积分，能量守恒也称能量积分，用初积分比用运动方程来得简单。§1.9有心力一、有心力的基本性质（有心运动的特点）1.有心力：有心力质点所受力的作用线始终通过定点，定点为力心；有心运动质点在有心力作用下的运动有心运动这时方向沿质点与力心联线，又分引力，斥力；有心运动在物理学中占有极其重要的地位；有心运动求解方法：运动微分方程；三个基本定理。，>0，斥力<0，引力。有心运动动量矩守恒质点作平面曲线运动选力心为原点质点作平面曲线运动运动平面垂直于选用极坐标系（1）由初始条件确定2、运动微分方程（1）直角坐标：，（2）平面极坐标（常数）是动量横向分量对O点的角动量的值动量径向分量通过O点，对O点的角动量为零。所以第二式的物理意义是有心力场中角动量守恒。3、有心力为保守力有心力为保守力，质点作有心运动时机械能守恒在极坐标系下，则这时（2）两个运动积分（关于的一阶微分方程组）解决问题的基本点：运动学特点：（1）作平面曲线运动；（2）面积速度为恒量；动力学特点：（1）动量矩守恒；（2）机械能守恒。二、轨道微分方程——比耐公式目的：求有心力作用下的运动规律。方法：从运动微分方程消去参数，得轨道微分方程，再求解运动微分方程取则又轨道微分方程又称比耐（Binet）公式其中有心力运动轨道联系在一起三、平方反比引力——行星运动其中与行星质量无关，称为太阳的高斯常数代入Binet公式得令则其解为则其中为积分常数，通过坐标变换（极轴转过一角度），使得则得轨道方程（圆锥曲线，力心在其焦点处）半正焦弦偏心率当时，极小对应近日点；由解析几何知，是几何常数椭圆抛物线双曲线※由动力学常数确定，既由判定轨道类别，与的关系？，对近日点代入上式得可见椭圆；抛物线；双曲线。1）椭圆e<12）抛物线e=13）双曲线e>1e＞1时为双曲线e＜1时为椭圆e=0时为圆圆锥曲线轨道e=1时为抛物线四、开普勒定律开普勒三定律1、所有行星都沿着椭圆轨道运动，太阳则位于这些椭圆的一个焦点上——轨道定律。2、任何行星到太阳的连线在相同的时间内扫过相同的面积——面积定律。1071081091010周期T(秒)半长轴r(天文单位AU）100101.00.13、任何行星绕太阳运动的周期的平方与该行星的椭圆轨道的长半轴的立方成正比——周期定律:行星运动的周期:椭圆轨道的长半轴由开普勒定律导出牛顿万有引力定律由图知r扫过的面积：由开普勒第二定律知行星对太阳的角动量行星受有心力为万有引力，力心为太阳。根据第一定律有，或，代入比耐公式：即：负号说明是引力，应与行星无关，下面证明。注意h和p对每一行星都不同，要得到万有引力定律，需要利用开普勒第三定律计算行星公转的周期。当所需的时间为一个周期=常数令五、宇宙速度和宇宙航行由得椭圆抛物线双曲线（1）第一宇宙速度（环绕速度）近似视轨道为圆形令则得又（2）第二宇宙速度（逃逸速度，脱离地球束缚）视轨道为抛物线（3）第三宇宙速度（脱离太阳束缚）已知脱离地球时要脱离太阳则又因在地面发射，则其中表示克服地球引力作的功习题课例[1]:如图所示，小环P活套在半径为R的固定大圆环和摇杆OA上，OA绕O轴以角速度转动，当时摇杆在水平位置，试求小环P的速度和加度。PRoAR解：方法（一）直角坐标法：取坐标oxy，如图所示，，故点运动方程为：；；方法（二）：自然坐标法；选取自然坐标如图所示；点的速度为：方法（三）如图所示；为极轴，为极角,,,比较以上三种方法，可见当：质点运动轨道为已知的曲线时，应用自然坐标求解较方便。由此可知坐标系改变后分量要发生变化，但物理规律（客观的）不随坐标系（主观的）选取而有所变化。如果点的轨道未知，则一般选用直角坐标求解。例[2]:质点由的正焦弦（）以出发，求到达的另一端时的速率。已知：解：建立自然坐标系由，即，，；，，例[3]：求小环的相对运动速度,及大圈对小环的约束反力。解：选圈为非惯性系，在其上建立自然坐标系：第二章质点组力学质点组是物理学中又一个理想模型，由于物体总是可以看作是质点的组合，所以它比质点模型更接近实际，但它要考虑质点间的相互作用，牵涉多个微分方程的联立求解，很复杂。因此要研究质点组运动时的一些整体性质，在这里运动定理和守恒定律比质点力学更能发挥作用。我们先引进质心概念，在建立动量、角动量和能量定理后，研究两体运动，最后给出具有统计性质的维里定理。§2.1质点组一、质点组的内力和外力1、质点组（又称质点系）：若干有相互作用的质点的集合。2、内力与外力：内力——质点组内部各质点间的相互作用；外力——质点组外物体与组内任一质点的作用力。3、内力的性质：（1）、所有内力的矢量和等于零：第个质点所受的力（2）所有内力对任一点（或对任一轴的）矩的矢量和为零。。内力总是成对出现。作用在第个质点的总力4、孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。5、质点组与独立质点集的区别：犹如绳子（或刚体）与沙子。二、质心1、质心概念的必要性：①逐个对质点加以描述和研究的方法，原则上可用但得出的是方程数目庞大的二阶微分方程组，难以解算；②况且内力一般是未知量从而问题更复杂。2、质点组研究方法：从整体上去把握质点组，但不是利用统计方法，而是以点代体，即寻找一个与“整体”等当的特殊点（或说代表点）——质心来研究.3、质点组质心的定义：相应的分量形式为对于连续体的质心，上述公式中的和号应改为积分：当密度为常数时，质心=几何中心；当重力加速度g为常矢量时，质心=重心例题[1]已知如图所示：　　解：例题[２]　求均匀细棒的质心。　　解：§2.2动量定理与动量守恒律一、动量定理（1、牛顿定律仅适合单个质点，对质点组一般都是采用隔离法，把质点组分成单个质点，然后再用牛顿定律，2、对于质点组问题一般都采用由牛顿定律导出的动量定理等来研究）设质点组由个质点组成，其中任一质点质量设为它对惯性参照系坐标原点的位矢为，作用在上诸力的合力为，对质点组而言，该合力又分为合内力及合外力（上标i和e，分别取自英文interior和exterior的首字母）。应用牛顿第二定律，质点有运动方程：（=1，2，3，……，）将这个方程加和起来有由上一节根据牛顿第三定律已知合内力为零。0于是上式变为对此式左边可进一步改写为式中：是质点组的动量。所以总之，将质点组中每一质点的微分方程加和，且考虑到内力总和为零，得质点组的动量定理：SHAPE\*MERGEFORMAT分量形式积分形式二、质心运动定理即则或质心运动定理※质点组中每个质点如何运动并不清楚，但质心运动规律可以确定！（1、两个定理都是研究质点组运动情况，即对于质点组运动的研究是等价的，2、区别：质心运动定理是把整个质点组的质量视为集中到质心上，即把整个质点组视为一个特殊点。）三、质点组动量守恒定律若系统（质点组）动量守恒，质心作惯性运动。例]打炮置于无摩擦的铁轨上，炮身质量为，炮弹质量为，炮筒与水平面夹角α，炮弹以相对于炮口的速度V射出，求炮弹离炮时对地面的速度v和炮身反冲速率U。　　解]水平方向的动量可看作近似守恒，有：，，解出：，，=＜＞讨论：条件：结论：1、均指2、可以改变；3、不能改变，但能影响个别质点的运动；4、但则例题：长为L质量为的船，有一质量为的人，船在湖水中静止，当人从船头向船尾走的过程中，求船的运动情况。解法（一）又即质心不变；设船的移动距离为则有：人在船头时人在船尾时解法（二）取坐标原点在质心上，则设船向右移动则人移动的距离（）由质心坐标定义：得：解法（三）即：讨论：为什么人从小船上岸要比大船上岸难？[由可知：船与人上岸相反方向移动的距离是与船的质量有关的，越大越小，反之越小越大因为从小船上岸要比从大船上岸跨过的距离大些，且相同时间内变化率大些，所以从小船上岸比从大船上岸要难些。]§2.3动量矩定理与动量矩守恒律一、对固定点O的动量矩定理{）即：分量形式：二、质点组的角动量守恒定律若：讨论：1、（1）（2）（3）2、可以改变，可以改变。3、当若：则注意：内力矩不改变质点组的动量矩，但可改变个别质点的动量矩。三、对质心的动量矩定理对随质心平动的参照系mi的动力学方程为：令：则：质点组对质心的动量矩定理。均对质心。问题：质心是动点，动量矩定理与对固定点一样，原因何在？　　　§2、4质点组的动能定理和机械能守恒定律一、质点组的动能定理（对固定系）求和：注意：1）质点的位矢都以固定点O为起点；2）内力的功一般不为零。证明：证：二、机械能守恒定律若为保守力，则则即（常数）质点组机械能守恒讨论：条件：，。或：，结论：（为内外力的势能总和）。三、质点组对质心的动能定理（非惯性系）与对固定点的动能定理形式相同。对质心的动量矩定理，与对定点的形式相同（因惯性力矩为零），又一次见到质心这一特殊点的重要性。注：对任意动点一般不成立！见一般情况下使用对定点的角动量定理和对质心的动量矩定理。（从这里可以看出：惯性力对质点组作的功为零;利用质心系中的动能定理，可以克服惯性力作功是否为零的困难。这又一次体现质心系的特殊性：质心系并不是惯性系，但在质心系中的质点组动能定理仍保持惯性系中具有相同的形式，而其他坐标系无此性质。）四、柯尼希定理（与之间的关系）（）对质心的动能定理，与对定点的形式相同，再次见到质心这一特殊点的特殊性及重要性。小结：质点组动力学基本定理一般情况下，质点自由度（描述其运动所需的独立坐标数）大于7。（刚体除外）所以通过质点组动力学基本定理，一般不能确定质点组的运动规律，只能确定运动的总趋势和某些特征物理量。*关于质心的三个基本定理特别重要！价值很大！）内力和惯性力性质的简单归纳1、 内力的性质（1）、质点组的内力的矢量和为零（2）、内力对某定点的力矩和为零；3）、内力不影响质心的运动状态。（4）、内点作功不为零（刚体除外）。内力会影响各质点的运动状态。2、惯性力惯性力对质心的力矩为零，在质心系中惯性力对质点组作功为零。例质量为及的两自由质点互相以力吸引，引力与其质量成正比，与距离平方成反比，比例常数为k。开始时，两质点皆处于静止状态，其间距离为a。试求两质点的距离a/2时两质点的速度。解无外力，动量守恒（1）万有引力为保守力，机械能守恒（2）解得：，（3）用动能定理：积分得：积分能得同样结果§2、5两体问题仅受相互作用的内力，不受任何其他外力作用的两个质点（物体）组成的系统本节应重点掌握两体问题的处理方法。研究两体问题的重要性在于：许多问题，如氢原子中的电子绕原子核的运动；地球绕太阳的运动；卫星绕地球的运动等。对这类两体运动问题，将核、太阳、地球视为静止，则所得的结果必有误差。为了更准确研究，就应采用本节提出的两体问题的处理方法，下面以太阳和行星为例说明问题的提出：开普勒三定律只是近似成立，因为太阳和行星都是运动的，属两体问题（1、质心运动，2、相对于质心运动，3、相互运动、4、折合质量）xyzOS,MP,mC一、质心惯性系中太阳和行星的运动1、质心运动规律（惯性运动，太阳与行星s:（1）p:（2）两式相加得：或：，,即（1）ps系质心作惯性运动。（万有引力是内力质点组动量守恒）2、行星对质心运动规律，由于是质心所以：，所以：仍是平方反比引力。（2）行星绕PS系统的质心作圆锥曲线运动。3、行星相对于太阳的运动。（P相对于s的运动）（1）(2)（3）（4）两式相减得：，（）（力大，加速度大），（可以认为太阳不动，但它的质量不等于而增大为）。4、折合质量，（力不变，质量变小了，总体加速度变大。）令：，上式可以认为太阳不动，太阳的质量仍为但行星质量则不等于而减少为。（两体问题简化为单体问题）（说明：称为折合质量，显然，小于和中的较大值。该式表明：考虑太阳也在运动后，行星仍对太阳作圆锥曲线运动(但质量不为而是折合质量。)应指出：若>，由上式引起的误差极小，仍可以将太阳视为静止处理。如果上式不成立，两质量差别不太大，则必须采用两体问题处理。）二、对开普勒定律的修正对任一行星：由：（）说明：（1）由（1）式对不同行星取值不同（按开普勒第三定律上式应对于1，故开普勒第三定律只有近似的性质，只有在、远小于时才正确。）其他行星（2）讨论中仅考虑太阳和行星的互作用（两体），没有考虑其他行星的作用，实际为多体问题微扰法（摄动法）（天体力学）Example试证明，在两体问题中，其中相对速度证明：（1）（）（2）=+==§2.6质心坐标系与实验室坐标系本节应掌握质心坐标系与实验室坐标系的概念以及两粒子弹性散射（碰撞）时散射角在质心系和实验坐标系中的相互关系。研究两体问题得出：（太阳与星星运动）1、对同一坐标系：，2、对于孤立系统：，质心作惯性运动；3、化简：，，（两体问题简化为单体问题）[散射和碰撞一类问题都属两题问题，但不能简单地化为单体问题，其理由是散射的问题由于反射核的反冲，致使由实验室所测（固定系）得得散射角与等效一体的散射角不同，可由实验测出，不能由实验测出，因此在研究散射或碰撞时常用两种不同的坐标系。]一、实验室坐标系与质心坐标系1、实验室坐标系：观察者在静止坐标系观察散射过程，多为实验工作者采用。2、质心坐标系：随质心运动的坐标系，多为理论工作者采用。简述：两体相对位矢散射后的偏转角，由等值单体理论计算。单体被散射质点位矢经散射后的偏转角，可通过实验来观察。二、两种坐标系中弹性散射的不同结果1、两种坐标系中看到的弹性散射现象两体问题偏转角单体问题偏转角2、采用L-分析[完全弹性碰撞，（斜碰）特点；动量守恒，机械能守恒。]动能守恒：动量守恒：[该式表示了守恒定律的全部内容，求解这组联立方程，完全可以求出我们感兴趣的任何量，不过有点麻烦就是了，但是在质心坐标系来讨论这个问题就要简单得多，而且更具有启发性，首先我们来求质心在L-系中的速度V]设质量为的质点1以速度与另一质量为的静止质点2散射(碰撞)。此两质点的质心在散射前后即将沿方向以速度运动。在散射前，，质点1相对质心的速度，质点2相对质心的速度反向即，亦反向求和的关系。对于弹性散射＋－=讨论（1）卢瑟福散射（重核对粒子的散射）（2）中子—质子散射（3）散射范围大小、方向已知大小已知方向任意当时，质心系中反向散射反冲粒子获得全部入射能量§2.7变质量物体的运动本节应重点掌握变质量物体运动的运动方程和应用变质量物体运动方程求解具体问题的一般步骤。一、变质量问题的重要性这里的变质量问题不是指高速运动因相对论效应引起的变质量，而是指物质的增减引起的变质量。实际问题中大量存在变质量问题：雨滴下落因蒸发或凝聚发生质量变化；滚雪球；火箭飞行等。二、变质量物体的运动方程质点组动量定理如图2.7.1，一物体的质量，时刻速度为，同时一微小质量之物体以速度运动，并在时刻与合并，合并后的共同速度为，作用在Δm和m的合外力为F，则由动量定理得到:并注意到Δm和都很小，可略去得：变质量物体动力学方程（1）同时，一微小      u代表微量与未与合并以前或自分出时一瞬间的速度。公式（1）的适用条件：很小，很小。方程（1）有两方面的应用：已知合外力求物体动规律；（2）已知变质量物质的运动规律，求作用于系统上的外力。讨论两种情况，求物体的运都是时间的函数三、求解变质量物体运动问题的一般步骤。一般步骤：弄清研究对象和、选取适当的坐标系，分析作用于体系的合外力；写出方程的矢量形式和坐标分量形式；求解方程，讨论结果例[1]雨点开始自由落下时的质量为M。在下落过程中，单位时间内凝聚在它上面的水汽质量为λ。不计空气阻力，求雨点的下落距离。解：本问题的因：，故：故，即：=积分得：，故vuN例[2]机枪质量为，放在水平地面上，装有质量为的子弹，机枪在单位时间内射出子弹的质量为，其相对于地面的速度则为。如机枪与地面的摩擦系数为，试证当全部射出后，机枪后退的速度为：解：，四、火箭燃料相对飞船的速度令：通常情况下，F可忽略，vr为常数，则：，，火箭最终速度为：习题课例[1]：质量为的质点，沿倾角为的光滑直劈滑下，劈额的本身，质量为，又可在光滑水平面上自由滑动，试求：质点在水平方向的加速度；劈的加速度；劈对质点的反作用力；水平面对劈的反作用力。已知：、、、求、、、解：以地面为参照系建立坐标系系，已为参照系建立坐标系，如图所示，对组成的系统在水平方向，当下滑加速运动时，根据动量守恒定律，则也要做加速运动，故是非惯性参考系。受力分析：：，，：，-；（3）运动方程：：（1）（2）（3）（4）由（1）式得：；代入（4）（5）（6），，；例[2]：2.13长为的均匀链条伸直地平放在光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌上下垂。起始时，整个链条式静止的。试用两种不同的方法，求此条的末端滑到桌子的边缘时，链条的速度。已知（如图所示），，，。求：？解：方法（1），,,,,.解：方法（2）由动能定理，；，。解：方法（3）用吉祥鸟守恒定理来求解。设桌面为零势能面，则有：，，不作功，是保守力，，，。例[2]：2.14如图所示：已知：，求；解以绳为研究对象，选取坐标如图所示，设地板对绳索的作用力为，绳对地板的压力为，绳从空中距处自由下落后（加速度为），柔软无弹性绳忽略部分间的相互作用力，当绳在空中只剩长度此时速度为：，；根据动量定理：，（，），；，（）；。第三章刚体力学刚体也是一个理想模型，它可以看作是一种特殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间的距离不变，这使得问题大为简化，使我们能更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实际问题很有用。我们先研究刚体运动的描述，在建立动力学方程后，着重研究平面平行运动和定点运动。§3.1刚体运动的分析质点组：由多个质点构成的力学体系，其中每一个质点的运动都可能与其它质点的位置和运动有关。）刚体：一种特殊的质点组（系）；特点：质点组任意两点间的距离不因力的作用而改变。（理想模型）（刚体内各质点间的距离不随运动而变化，因而不发生体积和形状上的改变）。质点动力学质点组动力学刚体：一、描写刚体位置的独立变量1、自由度：决定质点组位置的独立坐标的个数。2、任意刚体的自由度：（自由运动）（1）一个质点：自由度；3个，直角坐标（），柱坐标（），球坐标（）（2）三个质点：[因为刚体是形状不变的质点的集合，所以其位置应由本身上不共线的三个点来确定。（3个1点，9个坐标，其中三个约束方程）]如图所示：，，；3个点，3个约束方程，独立坐标数：，即6个独立坐标数。（一个自由刚体不管它含多少个质点，一共6个自由度，刚体的任意一点都可以用随其上的某个参考点的平动和绕该参考点的转动来描述）。6个自由度中有（如图所示）三个平动自由度，三个转动自由度：一点：3个，；轴：（）3个角，（）其中方向余弦：自由度：3-1=2，即2个独立坐标数，角一个。欧勒角；（1）确定轴的取向—2个角；（2）绕轴转动一个角。二、刚体运动分类：[自由运动的刚体确定其空间位置要6个自由度，在某些条件下可少于6个]分类：定义特征独立变数平动运动中各个时刻刚体中任意两条直线平行。所有质点都具有相同的速度、加速度3个独立变数：平动（）定轴转动两个质点始终不动，整个刚体绕某固定轴转动。轴的方向不变1个独立变数：6-3-2=1（定点减3，定轴减2）平面平行运动刚体中任意一点始终在平行于某一固定平面的运动。平面运动，固定转轴方向。：6-1-2=3（2个平动，1个转动）定点转动绕固定点的转动，即转轴随时间而改变的运动。转轴方向随时间改变3个独立变数：6-3=3（3个转动变数）一般运动自由运动不受任何约束6个独立变数§3.2角速度矢量本节重点是：掌握角位移矢量、角速度矢量及其与刚