2021届高三3月内部特供卷 文科数学（一）试卷及答案

2021-2022学年3月份内部特供卷文科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知复数满足，是虚数单位，则（）A．B．C．D．3．设，表示两个不同的平面，表示一条直线，且，则是的（）A．充分而不必要条件B．充分必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件4．已知，，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．5．下图是某统计部门网站发布的《某市2020年国民经济和社会发展统计公报》中居民消费价格指数（CPI）月度涨跌幅度折线图（注：同比是今年第个月与去年第个月之比，环比是现在的统计周期和上一个统计周期之比）2020年居民消费价格月度涨跌幅度下列说法错误的是（）①年月CPI环比下降，同比上涨②年月CPI环比上升，同比无变化③年月CPI环比下降，同比上涨④年月CPI环比下降，同比上涨A．①③B．①④C．②④D．②③6．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A．B．C．D．7．如图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为，则称该图形是“和谐图形”．已知其中四个三角形上的数字之和为，现从，，，，这五个数中任取两个数标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A．B．C．D．8．设函数满足对，都有，且在上单调递增，，，则函数的大致图象是（）A．B．C．D．9．在四边形中，，，为等边三角形，将沿边折起，使得平面平面，则三棱锥外接球的表面积为（）A．B．C．D．10．过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，若，为坐标原点，则（）A．B．C．D．11．设函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（）A．函数在上单调递增B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位12．若函数存在两个极值点，，则的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知的内角，，所对的边分别为，，，且，，，则__________．14．已知正方形的边长为，点满足，则__________．15．设双曲线，其左焦点为，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，且与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为__________．16．在如图棱长为的正方体中，点、在棱、上，且，在棱上，为过、、三点的平面，则下列说法正确的是__________．①存在无数个点，使面与正方体的截面为五边形；②当时，面与正方体的截面面积为；③只有一个点，使面与正方体的截面为四边形；④当面交棱于点，则、、三条直线交于一点．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 过程或演算步骤．17．（12分）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）令，求证：．18．（12分）如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，，面面，且，点在棱上．（1）证明：当时，直线平面；（2）当平面时，求的体积．19．（12分）某高中社会实践小组设计了一个研究性学习项目，研究学习成绩（以单科为准）与手机使用（电子产品）的相关性，他们从全校随机抽样调查了名学生，其中有四成学生经常使用手机．名同学的物理成绩（百分制）的茎叶图如图所示．小组约定物理成绩低于分为一般，分以上为良好．（1）根据以上资料完成以下列联表，并判断有多大的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”；物理成绩一般物理成绩良好合计不使用手机经常使用手机合计（2）现将个成绩分为，，，，共组，补全频率分布直方图，并依据频率分布直方图计算这名学生的物理平均成绩的估计值；（3）从这名学生成绩高于分的人中随机选取人，求至少有一人不使用手机的概率．附表及公式：，．20．（12分）定义椭圆的“蒙日圆”的方程为，已知椭圆的长轴长为，离心率为．（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；（2）过“蒙日圆”上的任意一点作椭圆的一条切线，为切点，延长与“蒙日圆”点交于点，为坐标原点，若直线，的斜率存在，且分别设为，，证明：为定值．21．（12分）已知函数．（1）如果函数在上单调递减，求的取值范围；（2）当时，讨论函数零点的个数．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立坐标系，曲线极坐标方程为，且曲线与直线有且只有一个交点．（1）求；（2）过点且倾斜角为的直线交直线于点，交曲线异于原点的一点，，求的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数．（1）求的最小值；（2）在（1）的件下，证明：．2021-2022学年3月份内部特供卷文科数学（一）答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．答案：A解：由，，，故选A．2．答案：B解：，故选B．3．答案：C解：若，，则平面和可能平行，也可能相交；若，，则，所以是的必要而不充分条件，故选C．4．答案：A解：由，，则，所以A正确；当，时，，所以B不正确；由函数为减函数，又，所以，故C不正确；当，时，，所以D不正确，故选A．5．答案：D解：观看拆线图，年月CPI环比下降，同比上涨，①正确，②错误；年月CPI环比下降，同比上涨，④正确，③错误，故选D．6．答案：D解：对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，不符合题意；对于B，函数的定义域为，关于原点对称，利用正弦函数知为奇函数，又，当时，；当时，，故不满足在区间上单调递增，不符合题意；对于C，函数的定义域为，关于原点对称，又，故为偶函数，不符合题意；对于D，函数的定义域为R，关于原点对称，又，故为奇函数，又利用指数函数知在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，符合题意，故选D．7．答案：B解：由条件可知，要使该图形为“和谐图形”，则从，，，，这五个数中任取两个数，这两个数的和是7，任选两个数包含，，，，，，，，，，共有10种情况，其中和为7的有，两种情况，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率，故选B．8．答案：A解：令，，则函数为偶函数，故排除B、D；当时，，，则，故排除C，故选A．9．答案：D解：取的中点为，连接，因为，所以三角形外接圆的圆心为，且，因为平面平面，所以平面，因为为等边三角形，所以三棱锥外接球的球心在上，设球心为，半径为，连接，，由，解得，即三棱锥外接球的表面积为，故选D．10．答案：C解：如图，作，，，则设，则，由抛物线定义可知，，，，，，因为，所以，即，得，所以，故选C．11．答案：D解：由题意可得，函数的最小正周期为，，所以，，由于函数的图象关于点对称，则，可得，，，，所以，．对于A选项，当时，，所以，函数在上单调递减，A选项错误；对于B选项，，所以，函数的图象不关于直线对称，B选项错误；对于C选项，当时，，，C选项错误；对于D选项，，所以，要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位，D选项正确，故选D．12．答案：B解：由，则，因为函数存在两个极值点，，所以，即，，，，设，则，当时，，则在上单调递减．所以，所以的取值范围是，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．答案：解：由余弦定理得，，化简得，解得，所以，故答案为．14．答案：解：，故答案为．15．答案：解：因为，所以是的中点，因为，所以垂直平分，所以，因为双曲线的两条渐近线关于对称，所以，因为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故答案为．16．答案：①②④解：由题设可得为所在棱的中点．当时，如图（1），直线分别交，于，连接并延长于，连接交于，则与正方体的截面为五边形，故①正确；当，如图（2），此时与正方体的截面为正六边形，其边长为，其面积为，故②正确；当重合或重合时，如图（3），与正方体的截面均为四边形，故③错误；在平面内，设，则，而平面，故平面，同理平面，故平面平面，即、、三条直线交于一点，故答案为①②④．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．答案：（1），；（2）证明见解析．解：（1）解：由已知，得，，，，，即，解得或（舍去），，．（2）证明：，左边，右边，因此，原式得证．18．答案：（1）证明见解析；（2）．解：（1）证明：连接与交于点，连接，，，，，，，，又面，面，平面．（2）解：平面，平面，，，是的中点，面面，点到面的距离为，点到面的距离为，．19．答案：（1）列联表见解析，有的把握认为；（2）直方图见解析，；（3）．解：（1）物理成绩一般物理成绩良好合计不使用手机经常使用手机合计，有的把握认为“物理成绩一般与经常使用手机有关系”．（2）设名学生物理平均成绩估计值为，．（3）高于分经常使用手机的有人，分别设为，，不使用手机的有人，分别设为，，，，，高于分人中随机抽取人共有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21种，则至少有一人不使用手机的概率为．20．答案：（1），；（2）证明见解析．解：（1）由题意知，，，，椭圆的方程，“蒙日圆”的方程为，即．（2）当切线的斜率存在且不为零时，设切线的方程为，则由，消去，得，，，由，消去，得，，设，，则，，，，，当切线的斜率不存在且为零时，成立，为定值．21．答案：（1）；（2）答案见解析．解：（1）因为在上单调递减，等价于在恒成立，变形得恒成立，而（当且仅当，即时，等号成立），所以．（2），令，解得，当变化时，，的取值及变化如下表：极小值所以，（ⅰ）当时，，所以在定义域内无零点；（ⅱ）当时，，所以在定义域内有唯一的零点；（ⅲ）当时，，①因为，所以在增区间内有唯一零点；②，设，则，因为，所以，即在上单调递增，所以，即，所以在减区间内有唯一的零点，所以当时，在定义域内有两个零点，综上所述：当时，在定义域内无零点；当时，在定义域内有唯一的零点；当时，在定义域内有两个零点．22．答案：（1）；（2）．解：（1）消去参数可得直线的普通方程为，由，可得，故，故曲线的普通方程为．因为曲线与直线有且只有一个交点，所以直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离为到直线，所以，解得或（舍去）．（2）直线的极坐标方程为，曲线极坐标方程为，则设点的极坐标为，点的极坐标为，，，，，，，，，．23．答案：（1）；（2）证明见解析．解：（1），在递减，在递增，当时，的最小值为．（2）证明：，当时，原式；当时，原式，，，或用如下方法：．