第三章光学成像系统的传递函数 信息光学 教学课件

文献阅读与课程论文的要求结合第二章所学内容查阅文献5篇左右.（利用校园网图书资源，期刊文献，硕、博论文全文。）PPT演示稿（重点介绍某一方面的内容）利用C,Matlab等语言结合本章内容撰写以下论文光衍射现象的计算机仿真1、衍射理论（基尔霍夫理论，菲涅尔衍射和夫琅和费衍射，平面波理论，）2、理论应用—各种衍射屏的衍射现象仿真。（圆孔，矩形孔，光栅）以上衍射屏应具有可调参数。如光栅要考虑光栅的大小对衍射条纹的影响，圆孔考虑孔径、波长对分辩率的影响。参考材料：04覃进武、05级李祥艳，王辉同学编写的程序。以课题组形式开展。传统的光学系统像质评价 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 是星点法和分辨率法。星点法指检验点光源经过光学系统所产生的像斑，由于像差、玻璃材料不均匀以及加工和装配缺陷等使像斑不规则,很难对它作出定量计算和测量，检验者的主观判断将带入检验结果中。分辨率法虽能定量评价系统分辨景物细节的能力，但并不能对可分辨范围内的像质好坏给予全面评价。第三章光学成像系统的传递 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 光学成像系统是信息传递的系统。在一定条件下，成像系统可以看做空间不变的线性系统，因而可以用线性系统理论来研究它的性能，把输入信息分解为由本征函数构成的频率分量，研究这些空间频率分量在系统传递过程中，丢失、衰减、相移等等变化，即研究这些空间频率特性或传递函数。显然，这是一种全面评价光学系统像质的科学方法。输出像的质量完全取决于光学系统的传递特性。传递函数可由光学系统的 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 数据计算得出。虽然计算传递函数的步骤比较麻烦，但是，大容量高速度电子计算机的出现以及高精度光电测试技术的发展，使光学传递函数的计算和测量日趋完善，并得到了实际的应用。3.1相干照明衍射受限系统的点扩散函数任何平面物场分布都可以看做是无数小面元的组合，而每个面元都可以看做一个加权的函数。对于一个透镜或一个成像系统，如果能清楚地了解物平面上任一小面元的光振动通过成像系统后在像平面上造成的光振动分布情况，通过线性迭加，原则上便能求得任何物面光场分布通过系统后所形成的像面光场分布，进而求得像面强度分布。这就是相干照明下的成像过程，关键是求出任意小面元的光振动所对应的像场分布。当该面元的光振动为单位脉冲函数时，这个像场分布函数叫做点扩散函数或脉冲响应，通常用它表示物平面上（x0,y0）点的单位脉冲通过成像系统后在像平面上（xi,yi）点产生的光场分布。一般来说，它既是（x0,y0）的函数，又是(xi,yi）的函数。表示一辐输入图像可看成是一个点物的集合，只要能确定所有点物的像，就可以完备地描述这一成像系统的效应。但要注意的是，一定要把所有物点的像叠加起来，才能得到输出图像。即完全确定一个线性系统的性质，需要知道系统对于输入平面上所有可能位置上的函数输入的脉冲响应。3.1.1透镜的成像性质如图，在单色光照明下，一个薄的无像差的正透镜对透射物成实像的简单情况。下面研究四个面上的光场的复振幅分布，进而求出系统的输入和输出的关系。菲涅耳衍射公式透镜的复振幅透过率为为光瞳函数透镜后的透射光场为光波传播距离，需要再次运用菲涅耳衍射公式计算将代入上式，并弃去常量相位因子得这是一个复杂的四重积分，必须作进一步的简化。我们来看三个含有二次相位因子的项：不影响最终探测的强度分布，可以弃去。积分号内的两个二次相位因子和积分变量（x,y）、（x0,y0）有关，只有在一定的条件下才能弃去。假定点物产生的影响是一个很小的像斑，那么能够对于像面上（xi,yi）点光场产生有意义的贡献的，必定只是物面上以几何成像所对应的物点为中心的微小区域。如果在这个微小区域内的相位变化不大于几分之一弧度，则可作以下近相似。其中是系统的放大倍率。经过近似后的相位因子不再依赖于(x0,y0),它同样不会影响xiyi平面强度探测，因此，可以弃去。另外，假定选择观察平面，使它与透镜距离di满足：则积分号内关于（x,y)的二次相位因子将消失，上式正是几何光学的透镜成像定律。这样上式已大简化。我们先对(x0,y0)积分是U0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶变换，物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。是U0的傅里叶变换。上式表明成像过程经历了两次傅里叶变换，物的频谱成分在传递过程中将受到有限大小的光瞳的截取。而上式等于设为光瞳函数的傅里叶变换，即上式等于利用卷积定理得由于光波传播的线性性质，Ui本来就可以用下述迭加积分表示因此可看作系统的脉冲响应，即点扩散函数。是几何光学理想像点的坐标。我们可以定义一个新函数表示几何光学的理想像假如不考虑衍射效应，即透镜的孔径为无限大，这时点物能产生严格的点像。这时物体能准确复现。但是，实际上必须考虑透镜有限孔径的衍射效应，是一个衍射斑。上式就等于透镜孔径的夫琅和费衍射图样，其中心位于理想像点注：物平面上一点(x0,y0)经透镜成像后得到一个衍射斑这时像的光场分布等于几何光学理想像与系统脉冲响应的卷积上述结论表明，由透镜构成的成像系统可看作线性空间不变系统。其输入物和输出像之间的关系由上式卷积积分确定。可以从叠加性质和不变性两方面理解卷积成像的物理含义。把输入物看作点源的集合，它们在像平面上以几何光学理想像点为中心产生各自的衍射斑，这些衍射斑的函数形式相同，都是透镜孔径的夫琅和费衍射图样，但受到对应物点光场的适当加权。这些脉冲响应的相干叠加给出像面的复振幅分布。系统的作用正是把物平面上点的集合变换为像平面上重叠衍射斑的集合。因而像不再是物体的准确复现，而是物体的平滑变形，孔径愈小，脉冲响应愈宽，变形就愈严重。这种平滑化使像中失去物体的精细结构，尤其当这种细节变化的周期小于脉冲响应的宽度。下图是卷积成像的示意图=物函数脉冲响应像函数我们可以用下图所示的框图描述成像过程，输入物场U0首先通过几何定标器产生一个或放大或缩小的几何像这一过程中并不丢失信息。然后这个几何像再通过线性不变系统，由于衍射效应,几何像变为衍射斑的叠加，实际上得到的是经平滑变形的像在后一过程中损失了信息，我们把注意力放在这里，且直接称为输入。定标器线性不变系统光学成像过程的框图二、成像系统的一般分析1、成像系统的普遍模型考虑一个一般的成像系统，它可能由几个透镜（正透镜或负透镜）组成，透镜也不必是薄的，系统最终给出一个实像。我们将为这样一个系统建立一个普遍适用的模型。透镜组入瞳出瞳黑箱由上图可知，任意成像系统都可以分为三个部分：物平面到入瞳；入瞳到出瞳；出瞳到像平面。透镜组入瞳出瞳黑箱入瞳和出瞳是指系统限制光束的孔径光阑在物像空间的几何像。入瞳出瞳光阑对整个光学系统而言，入瞳和出瞳保持物像其轭关系。由入瞳限制的物方光束必能全部通过系统，成为被出射光瞳所限制的像方光束。光波在一、三两个部分内的传播可按菲涅耳衍射处理，而对于第二部分，即透镜系统，在等晕条件下，可把它看作一个“黑箱”。只要能够确定它两端的边端性质，整个透镜组的性质就可以确定下来，而不必考虑其内部结构。这里黑箱的两端是入瞳和出瞳。所谓边端性质应是指成像光波在入瞳和出瞳平面的物理性质。透镜组入瞳出瞳黑箱为了确定系统的脉冲响应，需要知道这个黑箱对于点光源发出的球面波的变换作用，即当入瞳平面输入发散球面波时，在出瞳平面透射波前的性质。对于实际的透镜组，这一边端性质千差万别，但总可以分为两类：衍射受限系统和有像差系统。衍射受限系统是指系统可以不考虑像差的影响，仅仅考虑光瞳产生的衍射限制。当像差很小，或者系统的孔径和视场都不大，实际光学系统就可以近似看作是衍射受限的系统。透镜组入瞳出瞳黑箱它的边端性质是：物面上任一点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，被透镜组变换为出瞳上的会聚球面波。有像差系统的边端性质是：点光源发出的发散球面波投射到入瞳上，出瞳处的波前明显偏离理想球面波。偏离的程度可由波像差描述，它决定于透镜组本身的物理结构。透镜组入瞳出瞳黑箱二、阿贝（Abbe)成像理论阿贝基于对显微镜成像的研究，1873年提出了其衍射成像理论。他认为成像过程包含了两次衍射过程。焦平面物体-2级+2级-1级+1级0级采用相干光波照明物体，可以把物体看作一个复杂的衍射光栅，衍射光波在透镜后焦平面形成物体的夫琅和费衍射图样。像把后焦面上的点看作相干的次级波源，发出子波，在像面上相干叠加产生物体的像。两次衍射过程也就是两次傅里叶变换的过程：由物面到后焦面，物体衍射光波分解为各种频率的角谱分量，即不同方向传播的平面波分量，在后焦面上得到物体的频谱。这是一次傅里叶变换过程。由后焦面到像面，各角谱分量又合成为像，这是一次傅里叶逆变换过程。焦平面物体-2级+2级-1级+1级0级像当不考虑有限光瞳的限制时，物体所有频率分量都参与成像，所得的像应逼真于物。但实际上，由于物镜有限大小光瞳的限制，物体的频率分量只有一部分能参与变换。一些高频率成分被丢失，因而产生像的失真，即影响像的清晰度或分辨率。焦平面物体-2级+2级-1级+1级0级像当高频分量具有的能量很弱，或者物镜足够大，丢失的高频分量的影响就小，像也就更近似于物。因此，光学系统的作用类相似于一个低通滤波器，它滤掉了物体的高频成分，而只允许一定范围内的低频成分通过系统，这正是任何光学系统不能传递物面全部细节的根本原因。Abbe认为衍射效应是由于有限的入瞳引起的，1896年瑞利提出衍射效应来自有限的出瞳。由于一个光瞳只不过是另一个光瞳的的几何像，这两种看法是等价的。衍射效应可以归结为有限大小的入瞳（或出瞳）对于成像光波的限制。焦平面物体-2级+2级-1级+1级0级像三、单色光照明的衍射受限系统单色光照明时，由于光传播的线性性质，像面复振幅分布可以用叠加积分表示：透镜组入瞳出瞳黑箱对衍射受限系统来说，h是由从出瞳向理想像点（Mx0,My0)会聚的球面波产生的。这里M是放大倍率。由于受有限大小光瞳的限制，该透射波传播到像平面产生一个衍射斑。由系统的边端性质，出瞳面上受到出瞳大小限制的会聚波在傍轴近似是透镜组入瞳出瞳黑箱是常数。光波传播距离di，在像面上产生的光场分布可由菲涅耳衍射公式写出透镜组入瞳出瞳黑箱U（x,y）代入上式得把常量相位因子和弃去，并把系数合并为C结果表明，单色光照明时，衍射受限系统的脉冲响应是光学系统出瞳的夫琅和费衍射图样，其中心在几何光学的理想像点略去积分号前的系数，脉冲响应就是光瞳函数的傅里叶变换,F例如，对于矩形或圆形孔径的光瞳，成像系统的脉冲响应分别是sinc函数和爱里斑。脉冲响应具有空不变性质，即物点发生变化时，像平面上的脉冲响应仅改变位置，函数形式不变。代入下式定义则这一卷积积分表明，不仅对薄的单透镜系统，而且对更普遍的情形，衍射受限的成像系统仍可以看作是线性空间不变系统。像的复振幅分布是几何光学理想像和系统出瞳所确定的脉冲响应的卷积。四、非单色照明实际的照明光源绝不会是理想单色的。事实上，照明光束的振幅和相位随时间变化的统计性质，将会对成像系统的性能产生重要的影响。非单色光照明物体时，每一物点的振幅和相位随时间作无规则变化。在像平面，与每一物点相应的脉冲响应也将随时间作无规则变化。最终像的强度分布将取决于这些脉冲响应之间的统计关系，也正是取决于物面上被照明各点振幅和相位的统计关系。考虑两种类型的照明方式：空间相干和空间非相干照明。相干照明下物面上每一点光振动的振幅和相位尽管都随时间作无规则变化，但所有点随时间变化的方式是相同的，各点之间相对相位差并不随时间变化。因而，各物点在像平面上脉冲响应也以同一方式作无规则变化，相对相位关系恒定。总的光场应按复振幅叠加。所以相干成像系统对复振幅是线性的，可直接利用单色光照明的分析结果。按照相干理论，单一点光源发出的光是空间相干的。通常采用激光器或普通光源配上针孔来得到相干照明。P非相干照明下，物面上所有点的振幅和相位随时间变化的方式是统计无关的，或无关联的。因此像平面上各个脉冲响应的变化也是统计无关的，它们必须按强度相叠加。这就是说，非相干成像系统对强度这一物理量是线性的。而且强度变换的脉冲响应正比于点源在像平面产生的光强分布，即正比于相干系统脉冲响应的模的平方。从扩展光源（独立的点光源的集合）发出的光束可看出作是空间非相干的。这一问题的更严格要求的讨论涉及到部分相干理论。我们不作进一步的讨论。P扩展面光源3.3衍射受限相干成像系统的频率响应衍射受限的相干成像系统对于复振幅的传递是线性空间不变系统。这同时意味着系统对于强度变换是非线性的。原因是此时光场是相干叠加。所以，本节的讨论仅适用于线性的复振幅变换。3.3.1相干传递函数相干成像系统的物像关系由卷积积分描述。表示几何光学的理想像是系统的脉冲响应，即点扩散函数。卷积成像是把点物看作基元物，像是点物产生的衍射图样的相干叠加。系统的特性完全由点物所成的像斑的复振幅分布所决定。我们也可以从频域分析成像过程。选择复指数函数为基元函数，考虑系统对各种频率成分的传递特性。F定义系统的输入频谱和输出频谱分别为F相干传递函数（CTF）为F由卷积定理由上式可以看出，表征了衍射受限系统在频域中的作用它使输入频谱转化为输出频谱决定于系统本身的物理结构。利用函数的比例性质和筛选性质，并略去常系数上式指出，相干传递函数（CTF）等于光瞳函数，仅在空域坐标x,y和频域坐标之间存在着一定的坐标缩放关系。如果在一个反演的坐标中来定义P，则可以去掉负号的累赘。实际光瞳函数总是取1和0两个值，所以相干传递函数也是如此，只有0和1两个值，这表明，在频域中存在一个有限通频带，此通带内全部频率分量可以通过系统而没有振幅和相位畸变。而通带以外的频率分量完全被衰减掉。因此，衍射受限系统是一个低通滤波器，低于某一频率的分量按原样通过，高于该频率的分量将被截止。这个频率称为截止频率.相干传递函数计算和运用的例子。例1、正方形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数xy光瞳函数为相干传递函数为设是轴和轴方向的截止频率。这里是高斯像面的截止频率。实际物面的截止频率还应乘以放大倍数M。因为物被放大以后，空间频率变小。例2、圆形出瞳的衍射受限系统的相干传递函数xy为各个方向的截止频率。例3、如图所示为衍射受限系统的相干成像系统，矩形光阑缝宽l=3cm,透镜焦距f=5cm，照明光波长成像倍率M=1,如果物体是振幅透过率的理想光栅，周期d=0.01mm,求像的强度分布。解：首先确定系统的相干传递函数周/mm1,0,采用单位振幅平面波垂直照射，几何光学理想像的场分布Ug就等于物体的透过率，输入频谱输出频谱周/mm略去常系数，像光场分布为成像系统在空域和频域的作用如下图所示，从像面强度分布，还可以看出光栅仍能分辨。像与物具有相同的周期，但在两个主极大之间出现次极大，光栅条纹已经变形。系统通频带愈宽，像与物愈相似。假如周/mm物的基频成分也不能传递到像面，将看不到光栅的像。光栅成像的强度分布空域和频域的运算结果光栅成像的强度分布例4用一直径为D，焦距为f的理想单透镜对相干照明物体成像。若物方空间截止频率为oc,试问当系统的放大率M为何值时，oc有最大值？解：设物距为d0,像距为di,放大率为M。则系统的截止频率此时，物置于透镜前焦面，像在像方无穷远处，在物空间的通频带为由上式可知，只有当M为无穷大时，系统才有最大的空间截止频率例5如图表示两个相干成像系统，所用透镜的焦距都相同。单透镜系统中光阑的直径为D，双透镜系统为了获得相同的截止频率，光阑直径a应等于多大（相对D写出关系式）。解：这两个系统都有是横向放大率为1的系统，故不必区分物方截止频率和像方截止频率。对于单透镜系统的截止频率为对于双透镜系统，其孔径光阑置于频谱面上，故入瞳和出瞳分别在物方和像方无穷远处。入瞳与孔径光阑保持物像其轭关系，出瞳与孔径光阑也保持物像其轭关系。能通过光阑的最高空间频率出必定能通过入瞳与出瞳，因此，系统的截止频率可通过光阑的尺寸来计算。3.3.2相干线扩散函数和边缘扩散函数测量传递函数的方法，一种是计算或测量出系统的点扩散函数，然后对它做傅里叶变换以确定传递函数。但在有些情况下，得不到点扩散函数的精确表达式，这种方法不好使用。另一种方法是把大量频率不同的本征函数逐个输入系统，并确定每个本征函数所受到的衰减及其相移，从而得到传递函数。这种方法较第一种方法直接，但测量数目大，有时实现起来相当困难，由线扩散函数确定传递函数是另一种方法。1、线扩散函数和边缘扩散函数的概念一个物点在像面上造成的强度为点扩散函数，在理想成像下，是圆对称的。现在以一亮狭缝作为输入通过光学系统后，光强分布是往两侧散开的，散开的情况取决于光学系统的点扩散函数。因为一根亮直线或一个亮狭缝，可以看成是由许多亮点的集合组成的，这许多沿直线排列的点源的像点（点扩散函数）的叠加就构成亮直线的光强分布，这就是线扩散函数。设系统输入一线脉冲，平行于y0轴，即线性空不变系统的线扩散函数为是点扩散函数。它等于点扩散函数沿yi方向的线积分。现用一个与狭缝方向平行的刀片放置在像面上，开始时刀片完全挡住狭缝像，刀片逐渐移动，也就是逐渐放入狭缝像的光。如下图，放入光通量与图中阴影面积成比例。这样一来，在刀片的整个移动过程中，进入探测器的光通量随刀口位置的变化构成一个函数E(xi),这个函数就叫做边缘扩散函数。由上式又可得边缘扩散函数也可以用下面方法导出。对系统输入一个阶跃函数，例如均匀照明的直边或刀口形成的光分布。系统的输出阶跃响应或边缘扩散函数，即2、相干线扩散函数和边缘扩散函数在相干照明下的狭缝在像面上产生的复振幅分布叫相干线扩散函数，它的一维傅里叶变换等于系统的传递函数沿方向截面分布。FF在衍射受限系统中的相干传递函数在通频带内为常数，无论孔径形状如何，相干传递函数的截面总是矩形函数，因而将呈sinc函数变化。如对于直径为D的圆形出瞳，垂直于孔径的任意截面，都是矩形函数，即线扩散函数为F-1边缘扩散函数为展开式为1上图给出了衍射受限的相干线响应与直边响应函数。注意直边的振荡性质。直边的像不再是亮暗严格分明的，在亮区与暗区都会产生一些亮暗交替的条纹。P扩展面光源3.4衍射受限非相干成像系统的传递函数在非相干照明下，物面上各点的振幅和相位随时间变化的方式是彼此独立的、统计无关的。这样一来，虽然物面上每一点通过系统后仍可得到一个对应的复振幅分布，但由于物面的照明是非相干的，故不能通过对这些复振幅分布的相干迭加得到像的复振幅分布，而应该先由这些复振幅分布分别求出对应的强度分布，然后将这些强度分布叠加（非相干叠加）而得到像的强度分布。若成像系统是空不变的，则非相干成像系统是强度的线性空不变系统。P扩展面光源P观察光强-响应时间内的平均值观察光强-响应时间内的平均值由于在观察时间内经历了-1到+1的所有可能的值，上式中第三项为零3.4.1非相干成像系统的光学传递函数非相干成像系统，物像关系满足下面卷积关系式式中是几何光学理想像的强度分布，K是常数，由于它不影响Ii的分布形式，所以不用给出具体表达形式。hI为强度脉冲响应或强度点扩散函数。它是点物产生的像斑的强度分布，它应该是复振幅点扩散函数绝对值的平方，即是像的强度分布对于非相干照明下的强度线性空不变系统，在频域中来描述物像关系更加方便。对上式两边进行傅里叶变换并略去无关紧要的常数后得FFF输入光强频谱函数输出光强频谱函数强度脉冲响应频谱函数下面以的傅里叶分解来 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 光强频谱的含义是实函数，其傅里叶变换是厄米型函数。故可以表示为意义：物面光强分布可以看作是不同空间频率的余弦光强分量的线性组合。各频率成分的振幅和初相位分别由光强频谱的模和幅角确定。对于呈余弦函数变化的强度分布，很自然地要讨论其对比度，或调制度，其定义为式中分别为光强分布的最大值和最小值。比如对于信号其对比度为所以对比度等到于余弦分布的振幅和背景光强（零频分量）的比值。当a=I0时，V=1为最大值，条纹看起来最清晰。这时因背景光太强，条纹看起来很不清晰。就像在阳光下看电视，不会有令人满意的收看效果。所以，从图像的视觉效果考虑，我们更关心各频率余弦分量的对比度。为此，可用零频分量的频谱值对光强频谱作归一化。输入和输出的归一化光强频谱定义为Ai(,)Ag(,)(,)因为所以Ai(,)=Ag(,)归一化的频谱公式称为非相干成像系统的光学传递函数OTF,它描述非相干成像系统在频域的效应。对于实际系统，频谱函数一般都是复函数，都可以用它的模和辐角表示。于是有Ai(,)=Ai(,)Ag(,)=Ag(,)(,)=(,)(,)Ai(,)Ag(,)Ai(,)=Ai(,)Ag(,)=Ag(,)(,)=称为调制传递函数（MTF）称为相位传递函数（PTF）和的物理意义例：一个余弦输入的光强为求其输出光强和对比度的变化解：输入光强的频谱为像面的强度分布为其傅里叶逆变换由于是一确定的常数，对像强度的相对分布没有影响可忽略不计。(,)(,)(,)(,)(0,0)(-0,-0)(-0,-0)=(0,0)=(0,0)=1将上面的式子代入前面的式中并求其傅里叶逆变换由于上式是任意的，因此可以写成一般形式结论：余弦条纹通过线性空不变系统成像后，像仍旧是同频率的余弦条纹，只是振幅减小了，相位变化了。振幅的减小和相位的变化都取决于系统的光学传递函数在该频率处的取值。物和像的对比度为像的对比度等于物的对比度与相应的频率的MTF的积，PTF给出了相应的相移。空间余弦分布的相位差体现了余弦像分布相对于物分布移动多少。当时表示错开了一个条纹，当时，说明错开了个条纹。由此可见，光学传递函数的模表示物分布中频率为的余弦基元通过系统后的衰减或者说，表示频率为的余弦物通过系统后调制度或对比度的降低，正是这个原因，才把制传递函数（MTF）。叫称为调的辐角则表示频率为余弦像分布相对理想像的横向位移量，所以也把叫做相位传递函数。光学传递函数的作用图示3.4.2OTF与CTF的联系CTF和OTF分别是描述同一个成像系统采用相干照明和非相干照明时的传递函数，它们都决定于系统的物理性质，我们应该可以找到二者的联系。沟通两者的桥梁是下面的公式。CTF和OTF分别定义为FFFF利用傅里叶变换的自相关定理和巴塞伐定理得到结论：对于同一系统来说，光学传递函数等于相干传递函数的自相关归一化函数。它对有像差和无像差的系统都成立。3.4.3衍射受限系统的OTF对于相干照明的衍射受限系统，已知令积分变量的替代不影响积分结果。由于光瞳函数只有0和1两个值，积分中的P2可以写作P。因此，衍射受限系统的OTF是光瞳函数的归一化自相关函数。研究上式，可得到OTF的重要几何解释。式中分母是光瞳的总面积S0，分子代表中心位于的经过平移的光瞳与原光瞳的重叠面积S（，），求衍射受限的OTF只不过是归一化的重叠面积计算问题。如图，对于简单几何形状的光瞳，不难求出归一化重叠面积的数学表达式。对于复杂的光瞳，可用计算机计算OTF在一系列分立频率上的值。衍射受限系统OTF的一些性质。（1）是实的非负的函数。因此，衍射受限的非相干成像系统只改变各频率余弦光强分量的对比度，而不改变它们的相位。即只需考虑MTF，不必考虑PTF。（2）当时，两个光瞳完全重叠，归一化重叠面积为1,这正是对OTF归一化的结果。（4）当足够大时，两光瞳完全分离时，重叠面积为零。此时，=0这时光学传递函数为零，此时，无论物的对比度多大，像面上没有这些频率成分。（3）这一结论很容易从两个光瞳错开后重叠面积小于完全重叠面积得出。严格的证明要用到施瓦兹不等式。例题3.4.1衍射受限非相干成像系统的光瞳为边长l的正方形，求其光学传递函数。解：光瞳函数为光瞳函数的总面积为当P（x,y）在x方向和y方向分别位移以后得平移后的光瞳与原光瞳的重叠面积S（，）。如图可知重叠的面积为其它光学传递函数为其它其它=式中是同一系统采用相干照明时的截止频率。非相干照明系统沿，方向的截止频率是其它=例题3.4.2衍射受限非相干成像系统的光瞳为直径为圆，求其光学传递函数。解：光瞳函数的总面积为由于是圆形光瞳，OTF应该是圆对称的。只要沿轴计算OTF即可.如图所示，在x方向移动后，交叠的面积被AB分成两个相等的弓形。由几何关系式得其它3.4.4非相干线扩散函数和边缘扩散函数在非相干照明下，平行于y0轴的狭缝光源在像面上产生的线响应称为非相干线扩散函数。它与光学传递函数的关系是它是OTF沿轴截面分布的一维傅里叶变换。虽然线扩散函数与传递函数之间的关系，在相干和非相干照明时都是相同的，但由于OTF和CTF的明显不同，线扩散函数的性质也有明显的不同。F-1相干线扩散函数与孔径形状无关，总是sinc函数。而OTF是光瞳自相关的结果，非相干线扩散函数与孔径形状有关。F-1下图给出了系统具有直径为D的圆形光瞳的扩散函数，它没有零点。非相干线扩散函数与边缘扩散函数非相干边缘扩散函数曲线，没有相干边缘扩散函数中的振荡现象。3.5有像差系统的传递函数对于衍射受限系统，在相干照明下，相干传递函数H只有1和0,各种空间频率成分或者无畸变地通过系统，或者被完全挡掉。在非相干照明下的光学传递函数是非负实数，即系统只改变各频率成分的对比度，不产生相移。以上结果是在没有像差的情况下得出的，当然是理想情况，任何一个实际系统总是有像差的。像差的来源可能来自于构成系统的元件，也可能来自成像平面的位置误差，也可能来自于理想球面镜所固有的如球面像差等等。所有这些像差都会对传递函数发生影响，在相干或非相干照明下，往往都是复函数，系统将对各频率成分的相位产生影响。光学成像系统的像差，可以有各种原因引起。但不论产生像差的原因如何，其效果都是使出瞳上的出射波前偏离理想球面。一、像差对CTF的影响出瞳像面没有像差的理想波面有像差时的波面利用透镜系统边端性质，出瞳平面光场分布表示为实际波面偏离理想波面的光程差出瞳像面令P(x,y)称为广义光瞳函数这样一来，用广义光瞳函数代替原光瞳函数，就可得到有像差系统的相干点扩散函数。由此可见，相干脉冲响应不再是单纯是孔径的夫琅和费衍射图样，必须考虑波像差的影响，若像差是对称的，如球差和离焦，则物的像斑仍具有对称性。若像差是非对称的，如慧差、像散等，点物的像斑也不具有圆对称性。相干传递函数定义为相干点扩散函数的傅里叶变换。显然，系统的通频带范围仍由光瞳的形状大小决定，截止频率和无像差情况相同。像差的唯一影响是在通频带内引入与频率有关的相位畸变，使像质变差。F函数模的平方对于圆形光瞳，不再是爱里斑图样的强度分布由于像差的影响，点扩散函数的峰值明显小于没有像差时系统点扩散函数的峰值。可以把这两个峰值之比作为像差大小的指标，称为斯特列尔（Strehl)清晰度。下图为对几何成像、衍射受限系统和有像差系统的点扩散函数作了比较。二、像差对OTF的影响非相干照明下，强度点扩散函数（脉冲响应）仍是相干点扩散是两原光瞳与平移后的光瞳重叠区。上式给出了像差引起的相位畸变与OTF的直接关系。当波像差为零，所得结果与衍射受限系统一致。对于像差不为零的情况，OTF是复数。像差不仅影响各频率成分的对比度，而且也产生相移.上式给出了像差引起的相位畸变与OTF的直接关系。当波像差为零，所得结果与衍射受限系统一致。对于像差不为零的情况，OTF是复数。像差不仅影响各频率成分的对比度，而且也产生相移，可以证明有如下关系式因此像差会进一步降低成像质量。由于是厄米的，即有=它的模和辐角分别为偶函数和奇函数计算OTF的方法：（1）由广义光瞳函数先求hI，再由hI求光学传递函数。其中进行了两变换，所以通常称之为两次变换法。这种方法可以给出完整的信息，但计算量大。采用快速傅里叶变换FFT技术后，该方法已实用化。了解这一点后，在画MTF或PTF截面曲线时可以只画曲线的正频部分。（2）由广义光瞳函数P的归一化自相关函数计算OTF，称为自相关法。它便于在任意选取的方位和频率上计算OTF的值。通常我们并不需要OTF完整的信息，而是根据使用要求，计算某些特定方位和频率的OTF数据来判断系统质量。在这种情况下，采用自相关法，计算量可大大减轻。当然，对于复杂的光阑系统，计算也比较麻烦的。3.6相干成像与非相干成像系统的比较对相干和非相干成像系统作一些比较，通过这种比较虽然不能得出那一种成像系统更好这样一个全面性的结论，但对两者之间的联系和某些基本差异的理解会更深入一些。并能根据具体情况判断种照明方式会更好一些。3.6.1、截止频率OTF的截止频率是CTF截止频率的两倍，但这并不意味着非相干照明一定比相干照相明好一些。这是因为不同系统的截止频率是对不同物理量传递而言的。对于非相干系统，它是指能够传递的强度呈余弦变化的最高频率。对于非相干系统，它是指能够传递的强度呈余弦变化的最高频率。对于相干系统是指能够传递的复振幅呈现周期性变化的最高频率。显然，从数值上对二者做简单比较是不合适的。但对于二者的最后可观察都是强度，因此直接对像强度进行比较是恰当的。OTF的截止频率是CTF截止频率的两倍，但这并不意味着非相干照明一定比相干照相明好一些。这是因为不同系统的截止频率是对不同物理量传递而言的。3.6.2、像强度频谱对于相干和非相干照相明情况下像强度进行比较，最简单的方法是考察其频谱特性。在相干和非相干照明下，像的强度可分别表示为利用卷积定理和自相关定理得到相干和非相干照明下像面强度分布的频谱为式中分别是相干和非相干像强度的频谱分别是物的复振幅频谱和相干传递函数所以在两种情况下像强度频谱可能很不相同，但仍不能就此得出结论那种情况更好一些。因为成像结果不仅依赖于系统的结构与照明光的相干性，而且也与物的空间结构有关。下面举例说明之。例：物体的复振幅透过率为将此物通过一横向放大率为1的光学系统成像。系统的出瞳半径为a的圆形孔径，并且为出瞳到像面的距离，试问对该物体成像，采用相干照明和非相干照明，何种方式好？解：当采用相干照明时，对于半径为a的圆形出瞳，其截止频率为由于系统的横向放大率为1，物和理想像等大，空间频谱结构相同。由题意可得将物函数展开成傅里叶级数得此物基频率所以在相干照明下，成像系统只充许零频分量通过，其它频谱分量均被挡住，所以物不能成像，像面呈均匀强度分布。系统的截止频率为所以零频率和基频均能通过系统参与成像。于是在像面上仍有图像存在，尽管像的基频被衰减。基于这种分析，显然非相干成像要比相干成像好。对于非相干照明，理想像的强度分布为例：在上题中，如果物体换成透过率为的物体，结论又如何？解：对于相干照明，理想像的复振幅分布为其频率为按题设系统的截止频率为且因此这个呈余弦分布的复振幅能不受影响地通过此系统成像。对于非相干照明，理想像的强度分布为其频率为按题设即小于非相干截止频率因此，此物也能通过系统成像，但幅度要受到衰减，由此看来，在这种结构下，相干照明要好于非相干照明。下面我们从像面强度频谱进行分析，也可得出上述结论在相干照明下，理想像的频谱分布和强度频谱分别为FFF在非相干照明下，像面强度频谱为因为系统的相干传递函数在沿截面内，在范围内当=0时所以像的强度谱的零频分量在两种情况下相等但对频率为的分量，由于这时所以即在这个频率上相干像强度的频谱幅值要比非相干像强度的频谱幅度大一些，所以相干像的对比度也大一些。从这个意义上说，相干照明优于非相干照明。3.6.3两点分辨率分辨率是评价系统成像质量的一个重要指标。非相干成像系统所使用的是瑞利分辨判据，用它来表示光学系统的分辨极限。对于衍射受限的圆形光瞳情况，点光源在像面上产生的衍射斑的强度分布称为艾里斑。根据瑞利分辨判据，对两个强度相等的非相干点源，若一个点源产生的艾里斑中心恰与第二个点源产生的艾里斑的第一个零点重合，则认为这两个点源刚好能够分辨。3.6.3两点分辨率若把这两个点源中心取在处，这一条件刚好满足其强度分布为刚能分辨的两个非相干点光源的像强度的分布相干照明时，两点源产生的艾里斑的按复振幅叠加。其结果强烈依赖于两点源之间的相位关系。为了说明问题，我们仍取两个像点的距离为瑞利间隔，看相干照明时是否也能分辨。因为是相干成像，两点源的像强度分布应等于复振幅相加后模的平方，即三种情况像强度分布。式中为两个点源的相对相位差。如图画出了取结论：瑞利分辨率判据仅适用于非相干成像系统，对于相干成像系统能否分辨两个点源，要看它们的相位关系。两个点源相位相同不出现凹陷两个点完全不能分辨。与非相干照明完全相同，两个点刚好能分辨。两个点源相位相相反，凹陷为零这两点比非相干照明时分辨得更清楚**相干噪声用激光照明具有粗糙表面的物体，由于光波的高度相干性，各点源产生的相干脉冲响应之间可能产生相长或相消干涉，在像面上出现亮暗斑纹。即散斑。散斑的平均尺寸约为系统所能分辨的单元大小。当观察的物体接近光学系统分辨极限时，斑纹可能湮没有用的像。此外，光路中的灰尘或其它缺陷产生的衍射图样也会叠加到像上，这些都可称为相干噪声，它对成像是不利的。非相干照明时，点扩散函数是非负实数，它们按强度叠加的值总是大于单一脉冲响应在该点的值，不会产生散斑效应或其它相干噪声。3.6.4级联系统与光学链一、级联系统下图为两个级联在一起的线性不变系统。前一系统的输出恰是后一系统的输入。我们来考虑能否用一个总的系统来等效其作用。对于总的系统系统1系统2级联在一起的线性不变系统分别是其输入和输出和系统1系统2级联在一起的线性不变系统上式表明，总的系统仍是空间不变线性系统，总的脉冲响应为总的传递函数为系统的输出频谱推广应用到n个级联线性不变系统，总的脉冲响应和传递函数为由于卷积和乘法运算都符合交换律和结合律计算时可以不按级联次序，而依照方便决定先后次序。若传递函数用它的模和辐角表示，即级联系统的传递函数满足相乘律，简单地是各子系统的传递函数的乘积，这一事实为我们分析系统提供了很大方便。一个复杂的物理过程常常由多个环节构成，或者说受到多种因素的影响。例如，拍摄一个运动的物体的照片，不仅要考虑成像系统的传递函数，还要考虑运动造成的模糊和 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胶片分辨率的影响。这多个环节实际上构成了一个级联系统或称光学链。假如每一环节都可以看作是线性不变的，就可分别单独确定它们的传递函数，然后按相乘计算出总链的传递函数，以便掌握系统的特性。除了用于系统的分析，这一点对于系统综合也是十分有用的。例如，当需要设计一个复杂的滤波器时，可以通过几个比较简单的滤波器的组合来实现它，只要所有单个滤波器的传递函数的乘积等于总的滤波器的传递函数。用低通滤波器和高通滤波器的适当组合来实现带通滤波器就是一个明显的例子。二、光学链对于非相干成像系统，设各级联的光学传递函数为以拍摄一个运动物体为例加以说明：屏幕上最终像的质量受到的影响有：（1）摄影物镜；（2）物体运动造成的模糊;（3）胶片的性质;（4）幻灯机镜头等则总的光学传递函数12341234=则总的光学传递函数对MTF和PTF分别可以写出根据光学链的MTF和输入物的对比度，可确定输出像的对比度1234=如物体的频率是30周/mm,对比度是0.8，在该频率上摄影物镜的m1=0.8,运动模糊给出m2=0.7，胶片m3=0.4，幻灯机镜头m4=0.5。则屏上像的对比度为光学链的概念不仅用来估计最终的成像的质量，也有利于我们在总体设计的要求下分别确定各个环节的设计要求的允差。必须要考虑各个环节的匹配，片面追求单个环节的高度完善是没有意义的。上例中摄影物镜和幻灯机镜头的MTF曲线如下图所示。摄影物镜幻灯机镜头由于幻灯机镜头截止频率低，摄影物镜高频区的性能得不到利用。考虑到各因素的综合效应，可以把注意力集中在最关切的频带内，来提高和完善系统的性能。注意：在运用光学链分析方法时，应注意系统传递的基本量的统一性。不能把复振幅的线性系统和强度的线性系统级联，由CTF和OTF的乘积去得到总的传递函数。当两个光学成像系统彼此级联时，输入物体若采用非相干照明，在中间面上严格来说已不是非相干的场，而为部分相干的。后一系统对于强度传递不再是严格线性的。所以，考虑到波传播过程中光场相干性的变化，光学链分析方法只是一种近似方法。三、一些典型因素和器件的传递函数1、大气紊流如航空摄影，目标为亮线时，假定飞机不动，理想成像应是一条亮线。但因为大气紊流的影响，曝光期间线细会作无规则的晃动，可用高期函数描写亮线的像。设晃动摆幅的均方根值为a，线扩散函数为对作一维傅里叶变换，得到传递函数的截面分布2、运动模糊摄影时，若目标和相机沿x方向有相对位移，一条细线的像就变成宽度为a的宽带。a和运动速度，曝光时间有关。线扩散函数可以用矩形函数表示运动模糊的传递函数3、扫描探测器常用矩形窗口对图像作扫描记录，这一物理过程可描述为卷积过程，传递函数同运动模糊相同。4、显示器常用的阴极射线管CRT，若认为是扫描光点是亮度分布为高斯分布，则传递函数为